光学成像系统的传递函数.ppt

第三章 光学成像系统的传递函数 Transfer Function of Optical Image Systems,目的:从单透镜的点扩散函数入手, 研究评价透镜成像质量的频域方法,将透镜成像看成线性不变系统的变换,脉冲响应,物平面上小面元的光振动为单位脉冲即函数时，通过透镜产生的像场分布函数称为点扩散函数或脉冲响应。通常用 表示。,第三章 光学成像系统的传递函数 3.1 相干照明衍射受限系统的点扩散函数,单色光照明 紧靠物后的复振幅分布:U0(x0,y0),(x0,y0)点处发出的单位脉冲为 d (x0-x0, y0 -y0) 沿光波传播方向，逐面计算后面三个特定平面上的场分布。可最终导出一个点源的输入输出关系。,可写成:,x0, y0 平面上的一个点源，在透镜前平面上产生的分布。,利用菲涅耳公式，透镜前表面:,透镜后的透射光场复振幅:,透镜后表面xi,yi平面: 再次运用菲涅耳衍射公式：,弃去常数位相因子,有:,物像平面的共轭关系满足高斯公式,3.1 相干照明衍射受限系统的点扩散函数,3.1 相干照明衍射受限系统的点扩散函数,点扩散函数简化成 :,不参与积分,不影响观察面强度分布,可以直接略去.,成像透镜的横向放大率,也可略去,3.1 相干照明衍射受限系统的点扩散函数,于是， 可以写成 的形式，即,在近轴成像条件下，透镜成像系统是空不变的。 透镜的脉冲响应等于透镜孔径的夫琅和费衍射图样，其中心位于理想像点处。透镜孔径的衍射作用,决定于孔径线度相对于波长和像距的比例。,对孔径平面上的坐标做如下变换：,透镜的点扩散函数表达式 ：,|M|=di/d0,3.1 相干照明衍射受限系统的点扩散函数,透镜的点扩散函数表达式 ：,这时物点成像为一个像点，即几何光学理想像。,此时透镜的点扩散函数变成：,当孔径大小比l大得多时，可认为ldi 0，则在 x-y 坐标中，,3.2 相干照明衍射受限系统的成像规律,理想成像：点物通过系统后形成点像。实际像质受多种因素限制 衍射受限系统：不考虑系统的几何像差，像质仅仅受到系统衍射 效应的限制，即成像光束大小的限制。,成像系统的黑箱模型,3.2 相干照明衍射受限系统的成像规律,当像差很小或者系统的孔径和视场都不大，实际光学系统就可 近似看做衍射受限系统。这时物面上任一点源发出的发散球面波投射到入瞳上，被光组变换为出瞳上的会聚球面波。,衍射效应可以归结为入瞳(阿贝理论）或出瞳（瑞利理论）对于成像光波的限制，本课程采用瑞利的说法。,物方：发出球面波; 像方：以理想像点为中心的会聚球面波，它照明出射光瞳的有限孔径。在像平面（照明光波的会聚平面）产生以理想像点为中心的出瞳孔径的夫琅和费衍射花样。,点扩散函数为,3.2 相干照明衍射受限系统的成像规律,经过坐标变换，得到与理想单透镜点扩展函数相同的形式：,若略去积分号前的系数，脉冲响应就是出瞳函数的傅里叶变换，即衍射受限系统的脉冲响应是光学系统出瞳的夫琅和费衍射图样，其中心在几何光学的理想像点处。,如果光瞳足够大，过渡到几何光学的理想成像：,3.2 相干照明衍射受限系统的成像规律,本节的目的：确定在相干照明下，某一给定的物复振幅分布通过衍射受限系统后，在像平面上形成的像复振幅分布和光强分布。,照明光源的相干性问题: 物理图像,A, B两点光振动相干, 则引起的以A, B为中心的两个分布也相干. 应将其干涉图样求出后,再作模方求强度。,A.B 两点在像面上某点引起的复振幅没有确定的位相关系。观察到的强度是多个像点强度的叠加，即非相干叠加。,3.2 相干照明衍射受限系统的成像规律,设物的复振幅分布为U0(x0, y0)，一个复杂的光场可以分解成若干点光源光场的叠加。即：,令,物面上每个脉冲的响应的相干叠加，便是像的复振幅分布,3.2 相干照明衍射受限系统的成像规律,设物的复振幅分布为U0(x0, y0)，在相干照明下，物面上各点是完全相干的。由于光波传播的线性性质，像的复振幅分布可以表达为物的复振幅分布与脉冲响应函数的叠加积分:,与U0(x0, y0)具有完全相同的分布，但是被放大了M倍，因此可视为理想像,令,3.2 相干照明衍射受限系统的成像规律,物理意义：衍射受限成像系统可看成线性空不变系统。 物通过衍射受限系统后的像分布是理想像和点扩散函数的卷积。,像平面的复振幅分布,像的强度分布为:,3.2 相干照明下衍射受限系统的成像规律,衍射受限成像系统的点扩散函数与光瞳函数的关系,相干照明下衍射受限成像系统的脉冲响应为光瞳函数的傅里叶变换,已经证明了：,并有:,可导出,令,3.3 衍射受限系统的相干传递函数Coherent Transfer Function of Diffraction-Limited System,相干照明下的衍射受限系统，对复振幅的传递是线性空不变的。像的复振幅分布是理想像和点扩散函数的卷积。,频域中描述系统的成像特性的频谱函数 Hc(u,v) 称为衍射受限系统的相干传递函数，记作CTF。,成像特性在空域中的描述：,成像特性在频域中的描述：,在反转坐标系中，或对于对称光瞳：,相干传递函数等于光瞳函数,3.3 衍射受限系统的相干传递函数相干传递函数等于光瞳函数 : 讨论,在反转坐标系中，或对于对称光瞳,在这些近似下，Hc(u,v)=1，像的频谱是物频谱的精确复现。过渡到几何光学近似: 像平面上得到几何光学的理想像,对于实际光学系统，有一个由光瞳大小决定的有限通频带。比例变化(diu, div)决定了截止频率.,3.3 衍射受限系统的相干传递函数相干传递函数等于光瞳函数 : 例,为沿各个方向的截止频率(像面截止频率),相干传递函数:,物面上的截止频率 fcuto=|M| fcut,1. 出瞳为直径D的圆形孔径,3.3 衍射受限系统的相干传递函数相干传递函数等于光瞳函数 : 例,2. 出瞳为边长a的正方形,相干传递函数:,为沿u轴和v轴方向的 截止频率(像面截止频率),系统的最大截止频率在与 x 轴成45角方向,3.3 衍射受限系统的相干传递函数相干传递函数的角谱解释,考虑像面上光轴附近很小的区域. 从出瞳平面出射并能到达此区域的平面波, 最大倾角为qx:,在近轴近似下, sin qx l/2di,沿x方向(u轴)的截止频率:,3.3 衍射受限系统的相干传递函数：例,M=1的相干成像系统 di = 2f = 10cm， = 10-4cm 光阑缝宽l=3cm,解: 相干系统对复振幅分布进行线性变换。 思路：像的强度分布像复振幅分布像复振幅频谱 几何像复振幅的频谱（物频谱）相干传递函数,求像的强度分布.,3.3 衍射受限系统的相干传递函数：例,只有零频和基频的频谱成分能够通过.,输入频谱:,注意:不是余弦光栅,空频有无限多个谐波分量.,截止频率,输出频谱:,像的复振幅分布:,3.3 衍射受限系统的相干传递函数：例,每个狭缝产生会聚球面波,将孔径(单缝)的F.T.投射到像平面上.产生许多位移的衍射图样，它们相干叠加.,3.3 衍射受限系统的相干传递函数：例,光栅线仍能分辨,但已平滑变形, 并出现附加结构.,3.4 衍射受限系统的非相干传递函数 1、非相干成像系统的光学传递函数（OTF）,本节的目的：确定在非相干照明下，某一给定的物强度分布通过衍射受限系统后，在像平面上形成的像强度分布。,照明光源的相干性问题: 物理图像,3.4 衍射受限系统的非相干传递函数 1、非相干成像系统的光学传递函数（OTF）,光强脉冲响应hI(xi,yi)与复振幅点扩展函数的关系:,在非相干照明下物像关系可以表示为（空域）:,非相干成像系统是光强度的线性空不变系统,在相干照明时,复振幅变换的脉冲响应可写为,相干成像系统是光场复振幅的线性空不变系统 非相干成像系统是光强度的线性空不变系统,1、非相干成像系统的光学传递函数（OTF）,为了考察衍射受限系统在非相干照明下成像的频率响应特性,可以对空域关系式作F.T.求像的频谱.(忽略常系数),非相干成像系统是强度变换的线性空不变系统.,物像关系满足卷积积分.,像强度分布是物体上所有的点源产生的像斑按强度叠加的结果,3.4 衍射受限系统的非相干传递函数 1、非相干成像系统的光学传递函数（OTF）,令零频处取值为1, 而变化部分(非零频分量)取值即为相对零频值的大小， 即获得归一化频谱:,实际上我们并不关心像的总强度(包括零频分量在内),而是关心其变化程度(即携带信息的那部分光强相对于零频分量的比值）,所以可以对以上各个频谱函数,用各自的零频分量进行归一化处理.,3.4 衍射受限系统的非相干传递函数 1、非相干成像系统的光学传递函数（OTF） 归一化频谱,定义: 光强点扩展函数的归一化频谱为光学传递函数 Optical Transfer Function, OTF,Ai(u,v) = Ag(u,v) . HI(u,v),3.4 衍射受限系统的非相干传递函数 2、OTF与CTF 的关系,光学传递函数与相干传递函数分别描述同一系统采用非相干和相干光照明时的传递函数，它们都取决于系统本身的物理性质。,光学传递函数等于同一系统相干传递函数的归一化自相关函数。,这一结论对有像差的系统和没有像差的系统都完全成立, 3.4 衍射受限系统的非相干传递函数 3 、衍射受限的OTF,对于衍射受限系统，已知 ： 是光瞳函数,上式表明衍射受限系统的OTF是光瞳函数的归一化自相关函数,对于光瞳函数只有1和0两个值的情况，分母中的P2可以写成P。, 3.4 衍射受限系统的非相干传递函数 3 、衍射受限的OTF: 几何解释,两个错开光瞳的相对位置, 与指定空频分量相对应., 3.4 衍射受限系统的非相干传递函数 3 、衍射受限的OTF例1.出瞳为边长l 的正方形:,OTF的截止频率是CTF的两倍, 3.4 衍射受限系统的非相干传递函数 3 、衍射受限的OTF 例: 出瞳是直径为D的圆形孔径,以上两例都可以看出：OTF的截止频率是相同光瞳的CTF截止频率的2倍。,D,3.4 衍射受限系统的非相干传递函数 3 、衍射受限的OTF: OTF的一般性质,3.4 衍射受限系统的非相干传递函数 调制传递函数（MTF）,相应地, f(u, v)称为相位传递函数。（什么情况下有虚部）,其中 M(u, v)(即OTF的模) 称为调制传递函数MTF（Modulation Transfer Function）,对于中心对称的光瞳(光瞳函数为实偶函数), OTF是实函数, 故OTF=MTF。,描述了系统对各频率分量施加的相移,3.4 衍射受限系统的非相干传递函数 调制传递函数（MTF）,调制度 modulation , 又称为对比度、反衬度，是评价像 质的定量方法之一。,MTF的重要性,3.4 衍射受限系统的非相干传递函数调制传递函数（MTF）,例如：光强分布为余弦型,所以均值为1(B=1) 的余弦型光强变化幅度A就是调制度。,为余弦振幅与均值之比,可以证明：,3.4 衍射受限系统的非相干传递函数调制传递函数（MTF）,展开卷积式:,3.4 衍射受限系统的非相干传递函数调制传递函数（MTF）,输入像调制度: V入 = m,空频为u0 ,调制度为m的余弦条纹，经过非相干成像系统后,成为空频u0 ,调制度为 m|OTF|u=u0的余弦条纹. 这也是OTF的物理意义,由于|MTF|MTF(0,0)|=1, 所以成像后的对比度一定下降。,上述分析适合于任何复杂物体的非相干光照明成像。,人眼的调制传递函数,引自南开大学郭欢庆的博士学位论文,3 、衍射受限的OTF 例,M=1的非相干成像系统 di = 2f = 10cm， = 10-4cm 光阑缝宽l=2cm,求像的强度分布.,思路: 首先求出物(几何像)强度的频谱，并确定系统的OTF与截止频率在通频带内对于每个物频谱分量求出OTF的值求出像频谱综合出像强度,3.4 衍射受限系统的非相干传递函数 3 、衍射受限的OTF 例,(4) 输入的归一化频谱中有三项通过: u = 0, + 100周/mm, 相应的OTF值: tri(0)=1, tri(+1/2)=1/2,与理想几何像相比, 光栅线仍能分辨, 但清晰度降低, 3.4 衍射受限系统的非相干传递函数 3 、衍射受限的OTF 例,与理想几何像相比, 光栅线仍能分辨, 但清晰度降低,如果2f01/d,将看不到光栅像.,本例中基频传递值小于零频, 保证了像面强度值非负.,3.5 有像差系统的传递函数,衍射受限系统的相干传递函数只有两个取值：0或1，表明各种频率分量要不无畸变地通过系统，要不完全被挡掉； 非相干照明条件、衍射受限系统的光学传递函数是非负的实函数，即系统只改变各频率分量的对比度，不产生相移； 衍射受限系统是不考虑像差的理想光学系统。当系统因为各种原因出现像差时，传递函数在相干或非相干照明条件下均为复函数，成像过程将伴随各频率分量位相的变化。,3.5 有像差系统的传递函数,在衍射受限系统中，单位脉冲,通过系统后变换成,光瞳面上以理想像点为中心的球面波。对于有像差的光学系统，不论产生像差的原因如何，其效果都是使光瞳面上的出射波前偏离理想球面。若出瞳面上各点光程差用W(x,y) 表示，则其引起的位相差为kW(x,y)。若定义广义光瞳函数为：,则与前面相类似，归一化点扩展函数为：,3.5 有像差系统的传递函数,相干传递函数为相干点扩散函数的付里叶变换，即：,系统的通带范围仍然由光瞳大小决定，截止频率与无像差的情况相同； 像差的存在使得通带范围内引入了与频率相关的位相畸变，像质变差； 在非相干照明条件下强度点扩散函数仍是相干点扩散函数模的平方。由于像差的影响，点扩散函数的峰值明显小于没有像差情况下点扩散函数的峰值。将两者之比定义为斯特列尔（Strehl)比，是衡量像差大小的重要指标。,3.5 有像差系统的传递函数,有像差系统的光学传递函数是广义光瞳函数的归一化自相关函数：,广义光瞳函数的位相因子不影响分母的积分值，它仍是光瞳的总面积。而分子的积分区域仍是光瞳与光瞳错位后的重叠区域。即：,利用许瓦兹不等式可以证明：,3.5 有像差系统的传递函数,说明像差会进一步降低成像质量。,光学传递函数是厄米型函数，即：,说明光学传递函数模为偶函数，辐角是奇函数。,3-6 相干与非相干成像系统的比较Review,相干成像非相干成像,像强度,空 域,频 域,3-6 相干与非相干成像系统的比较Review (续),相干成像非相干成像,有衰减的低通滤波器, MTF=|OTF|1,边长l的方瞳:,直径l的圆瞳:,频 域,3.6 相干与非相干成像系统的比较1. 截止频率 Cutoff Frequency,OTF的截止频率是CTF截止频率的两倍。 但这并不意味着非相干照明一定比相干照明好。,不同系统的截止频率是对不同物理量传递而言的,无法 从数值上做简单比较 对于相干系统,截止频率指能够传递的复振幅呈周期变 化的最高频率。对于非相干系统，指能够传递的强度呈 余弦变化的最高频率。,3.6 相干与非相干成像系统的比较2. 像强度的频谱 Frequency Spectrum of Image Intensity,相干照明,非相干照明,像强度:,像的频谱:,3.6 相干与非相干成像系统的比较对空间频率分量的传递作用,相干成像系统是一个理想的带通滤波器，在与光瞳函数对应的通带内传递函数值为1。在此通带外传递函数值为0。,只有相应于光瞳开孔的空频带分量才能通过系统，像方复振幅才有相应的分量。（带通滤波）,则相干传递函数为,对空间频率分量的传递作用（滤波器）,必须注意： CTF是对物复振幅频谱的传递能力 OTF是对物强度谱的传递能力。,如何理解？ 非相干系统考虑的是像强度的频谱，不是复振幅的频谱。只要光瞳不是0，有光通过光瞳到达像面，就会有像强度的平均值，即像频谱的零频分量。,同一物函数若振幅谱的最高空频为u0，则强度谱的最高空频通常为2 u0，扩展到2倍（注意有特例）。 而对于同一形状的对称光瞳（方孔或圆孔）OTF的截止频率均为CTF的2倍。故截止频率也是相当的（注意有特例）。,3.5 相干与非相干成像系统的比较对空间频率分量的传递作用,讨论它们在相干照明和非相干照明下成像，哪一种光照为好？,讨论：从像强度的频谱分析入手,物A:,3.5 相干与非相干成像系统的比较对空间频率分量的传递作用: 例,相干截止频率 （注意: a是半径）,此物函数的基频为2/b，大于相干照明条件下系统的截止频率。,3.5 相干与非相干成像系统的比较对空间频率分量的传递作用: 例,非相干光照明：,采用单位强度的平面波垂直照明，像强度就是物的强度透过率:,物A的强度透过率：,3.5 相干与非相干成像系统的比较对空间频率分量的传递作用: 例,对物A而言，非相干光照明优于相干照明。,原因: 此特殊物体的振幅谱与强度谱有相同的空频， 该空频高于CTF的截止频率，而低于OTF的截止频率。,3.5 相干与非相干成像系统的比较3. 两点分辨 Resolution,瑞利分辨判据: 用来表示理想非相干成像光学系统的分辨极限,评判系统成像质量的一个重要指标,对于衍射受限的圆形光瞳，点光源在像面上产生艾里斑分布,对两个强度相等的非相干点源，若一个点源产生的艾里斑中心恰与第二个点源产生的艾里斑的第一个零点（x = 3.83)重合，则认为这两个点源刚好能够分辨。,像面上得到的最小分辨极限 等于艾里斑图样的中心亮斑半径，即：,此时总的强度分布：,3.5 相干与非相干成像系统的比较3. 两点分辨 Resolution相干照明情形,若仍取两个像点的距离为瑞利间隔，因为是相干成像，两点源的像强度分布应为其复振幅相加模的平方，即,相干照明时，两点源产生的艾里斑按复振幅叠加，叠加的结果强烈依赖于两点源之间的相位关系。,=0：完全不能分辨 =/2：刚好能够分辨； =：比非相干照明时分辨得更为清楚。,瑞利分辨判据仅适用于非相干成像,本章作业,1、一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为 放在图3.5所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在xoz平面内，与z轴夹角为。透镜焦距为f，孔径为D。 (1)求物体透射光场的频谱； (2)使像平面出现条纹的最大角等于多少？求此时像面强度分布； (3) 若采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与=0时的截止频率比较，结论如何？ 2、非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。小圆孔的直径都为2a, 出瞳到像面的距离为di ,光波长为,这种系统可用来实现非相干低通滤波. 系统的截止频率近似为多大? 3、光学传递函数在=0处都等于1,这是为什么? 光学传递函数的值可能大于1吗? 如果光学系统真的实现了点物成点像,这时的光学传递函数怎样? 4、一个衍射受限系统，其光瞳是边长为l的正方形，若在其光瞳的中心放一边长为l/2的不透明正方形屏。画出H（，0）的函数图。,谢 谢,