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3.1.1 空间向量及其加减运算,起点,终点,复习回顾： 平面向量,2、平面向量的加法、减法与数乘运算,向量加法的三角形法则,3、平面向量的加法、减法与数乘运算律,推广:,（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；,（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。,一个质量分布均匀的正三角形钢板，重量为500N,在它的三个顶点处同时受力，每个力与它相邻的三角形两边之间的夹角都是60o，且大小均为200N，问钢板将如何运动？,思考,从建筑物上找向量的影子,在空间里既有大小又有方向的量叫做空间向量。,一、空间向量的相关概念,1、空间向量,2、长度或模,在空间里既有大小又有方向的量,3、向量的表示方法,向量的大小叫做向量的长度或模,起点,终点,6、相反向量,7、相等向量,4、零向量,5、单位向量,长度为0的向量,长度为1的向量,长度相同而方向相反的向量,长度相同而且方向也相同的向量,注意：这些概念和平面向量都是一样的哦！,A,B,B,零向量的方向是任意的,思考：如何理解零向量的方向？,O,A,B,结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内， 内，成为同一平面内的两个向量。,思考：平面是否唯一？,探究一：空间任意两个向量是否都可以平移到同一平面内？为什么？,O,结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。,O,A,B,C,探究二：空间向量如何进行加减运算？,O,A,B,C,空间向量加法交换律：,探究三：空间向量的加法是否满足交换律？,b + a,a + b,=,O,A,B,C,O,A,B,C,空间向量的加法是否满足结合律？,=,二、空间向量的加减运算及其运算律,加法交换律：,加法结合律：,2、空间向量的加法的运算律：,1、空间向量的加减运算 加法：三角形法则和平行四边形法则 减法：三角形法则,新课讲授,新课讲授,新课讲授,例如:,定义:,我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢?,显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律,例1、给出以下命题： （1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同； （2）若空间向量 满足 ，则 ； （3）在正方体 中，必有 ； （4）若空间向量 满足 ，则 ； （5）空间中任意两个单位向量必相等。 其中不正确命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4,C,变式：如图所示，长方体中 （1）写出与向量 相等的其余向量； （2） 写出与向量 相反的向量。,例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图),A,B,C,D,平行六面体：平行四边形ABCD平移向量 到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体.,记做ABCD- A1B1C1D1,例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图),G,M,始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量,F1,F2,F1=10N,F2=15N,F3=15N,例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。,例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。,例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。,例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。,A,B,M,C,G,D,练习1,在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简,A,B,M,C,G,D,(2)原式,练习1,在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简,A,B,C,D,D,C,B,A,练习2,在立方体AC1中,点E是面AC 的中心,求下列各式中的x,y.,E,A,B,C,D,D,C,B,A,练习2,E,在立方体AC1中,点E是面AC 的中心,求下列各式中的x,y.,A,B,C,D,D,C,B,A,练习2,E,在立方体AC1中,点E是面AC 的中心,求下列各式中的x,y.,作业,作业：P86页练习,
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