《极限运算法则》PPT课件.ppt

复习,时,当,说明,左极限,右极限,函数极限与数列极限的关系,函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.,第五节 极限运算法则,一、无穷小与无穷大,二、极限的运算法则,新课,第一章,一、无穷小与无穷大1. 无穷小,(infinitesimal ).,注意：,2) 无穷小与函数极限的关系:,引理,意义,1) 将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,都是无穷小,2、无穷大,定义: 绝对值无限增大的变量称为无穷大.,定义中| f(x) |M 换成 f(x) M (或 f(x) -M )即有,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,当,时,当,时,注： 与不存在的关系, 即为不存在，,但不存在并不都是 ,也有左右极限不相等情况.,证,当,时,注意,1. 无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,3. 在自变量的同一变化过程中，两个无穷大的和、差与商是没有确定的结果的，此类问题是未定式的问题,4. 无穷大是一种特殊的无界变量 , 但是无界变量未必是无穷大.,无穷大 无界,(如：作业本P6 四),思考：函数 在(-,+)内是否有界？,又当x +时这个函数是否为无穷大？,解：, M0, x0=2M,有 | y(x0) | =(2M)cos(2M),M,无界, M0, X 0 ,但有x1=,X,使得| y(x1) | = (2X+/2)cos(2X+/ 2),M,不是无穷大,=2M,R,2X+/ 2,= 0,无穷大几何意义：,铅直渐近线 (vertical asympotote),(斜渐近线P67题14),3. 无穷大与无穷小的关系,定理3 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,二、极限的运算法则1. 极限运算法则,定理,注意：极限四则运算的条件！,？,思考题,在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？ 为什么？,解:,没有极限,假设 有极限，,有极限，,由极限运算法则可知：,必有极限，,与已知矛盾，,故假设错误,2. 求极限方法举例,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例2,解,例3,(消去零因子法),消去无穷,例4 (1),(1)解: 原式,(分母有理化),(2) 解,(2),(分子有理化),解,(3),例4,解,通分,以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.,例6,解,无穷小因子分出法:,例6,解,例6,解,小结:,不存在,例7,解,先变形再求极限.,(还如:书习题P50 (11)(12) ),拆项相消,例8,解,(利用无穷小的性质),例9,通分,例10,解,b,10,b,3. 复合函数的极限运算法则,定理 （复合函数的极限运算法则）,意义:,幂指函数,对幂指函数有如下结论：,(A0且A1, B为常数),但如,若,补充,(书P56 ),三、小结,1、主要内容:,两个定义;四个定理;三个推论.,2、几点注意:,无穷小与无穷大是相对于过程而言的.,（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；,（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.,（3）无穷大是一种特殊的无界变量 , 但是无界变量未必是无穷大.,1. 极限的四则运算法则及其推论;,2. 极限求法;,1) 多项式与分式函数代入法求极限;,2) 消去零因子法求极限;,3) 无穷小因子分出法求极限;,5) 利用无穷小运算性质求极限;,6) 利用左右极限求分段函数在分段点处的极限;,4) 分母或分子有理化.,解,练习:,另解,练习:,一、填空题:,练 习 题,练习题答案,一、填空题:,练 习 题,二、求下列各极限:,练习题答案,