川大继续教育《工程数学》复习资料2020.pdf

工程数学复习资料 1、填空。 （ 1）已知 1 ( ) co s sine ik， 2 ( ) sin co se ij，则内积 )()( 21 ee _0 （求解过程： 0s ins ins inc o s ） _ ，外积 )()( 21 ee _ j kji c o s 0c o ss i n s i n0c o s _。 （ 2） ( ) 2 cos 3F 的傅立叶逆变换 ()ft _ ( 3) ( 3)tt （查阅傅立叶变 换的性质） _。 （ 3）已知 ( ) ( )f t F F ，设 1 ( ) 2 ( ) * ( )g t f t f t ， 20( ) 3 ( ) * ( )g t f t f t t则 11( ) ( ) _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,G g t F 22( ) ( ) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _G g t F 。 解： 02212( ) 2 ( ) , ( ) 3 ( )itG i F G e F （查阅傅立叶变换的性质） (4)如果 )(tf 的傅立叶变换为 )(wF ，则 )3( tf 的傅立叶变换为 )3(31 wF , )6( tf 的 傅立叶变换为 )(6 wFeiw 。 (5)如果 )(tf 的傅立叶变换为 )(wF ,则 )(5 tfeit 的傅立叶变换为 )5( wF ， )(tF 的傅立叶 变换为 )(2 wf 。 (6) )(t 为单位脉冲函数，则 dttt )21s in ()2( ， dttt )sin()( -1 。 2、求 kjiA )1(s in4c o s3)( tttt 在 0t 处的极限 . 解： ki3 （求解过程： kitimltimltimltiml tttt 3)1(s i n4c o s3)( 0000 kjiA ） 3、已知 kjiA 232)( ttt ，求 dtt)(A2 0 。 解： kji 842 （求解过程 2 0 22 0 2 0 2 0 22 0 32)32()(A kjikji dtttd tdtdtttdtt = kji 842 ） 4、设 kjir ttt sincos 求 dtdr 和 2 2dtdr 。 解： kji ttdtdr c o ss in ， ji ttdt rd s inco s 2 2 5、设数量场 zxyzzxM 223)( 22 ，求 )(M 在点 )3,2,1(0M 处沿着矢量 , xyzxyz 的方向导数。 解： 762 求解过程： zxxM 26)( 将 )3,2,1(0M 代入 1226)( )3,2,1( zxxM zyM 2)( 将 )3,2,1(0M 代入 62)( )3,2,1( zyM xyzzM 222)( 将 )3,2,1(0M 代入 4222)( )3,2,1( xyzzM )3,2,1(0M 处沿着矢量 , xyzxyz 为 6,3,2, l 方向余弦 76236 6c o s 222 73236 3c o s 222 72236 2c o s 222 则方向导数 7627247367612c o sc o sc o s)( 000 MMM zyxlM 6、设 kjiA ）（）（）（ zxzxyxyxzxyzzy 223232322 ，求 A 的散度 Adiv 。 解： 0 求解过程： 02222223232322 xxz zxzxyy xyxzx xyzzyd iv ）（）（）（A 7、已知矢量场 kjiA 222 xyzxyz ，求 A 的旋度 Arot 。 解： kji )2()2()2( zxzyzyxyx kji kji A )2()2()2( 222 zxzyzyxyx xyzxyz zyxr o t 8、证明 2 2 2( 2 ) ( 2 ) ( 2 )A x y z y x z z x y i j k为有势场，并求其势函数。 证明略，势函数 2 2 21 ( ) 23 x y z xyz C kjiA )2()2()2( 222 xyzxzyyzx 求解过程： 先求 A 的旋度 0)22()22()22( 222 222 kji kji A zzyyxx xyzxzyyzx zyxr o t 旋度为 0，则是 A是有势力场。 令 yzxzyxP 2),( 2 ， xzyzyxQ 2),( 2 ， xyzzyxR 2),( 2 取 ),( 0000 zyxM 为坐标原点 )0,0,0(O ，带入下公式 zzyyxx dzzyxRdyzyxQdxzyxPzyxu 000 ),(),(),(),( 000 则 xyzzyx dzxyzdyydxxu zyx 2)(31 )2()0()0( 333 0 2 0 2 0 2 所以势函数 uv ，所有势函数的全体为 2 2 21 ( ) 23 x y z xyz C 9、证明。设 u 和 v 是数性函数， 是哈密顿算子，求证 uvvuuv )( 。 证明： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) uv uv x y z uv uv uv x y z v u v u v u u v u v u v x x y y z z v v v u u u uv x y z x y z u v v u i j k i j k i j k i j k i j k 10、求矩形脉冲 其他 0 40 3)( ttf 的 Fourier变换。 解： )2sin(6 2 wew iw 或 )1(3 4 wieiw 4 0 4 0 4 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) () 3 3 3 1 3 3 cos( 2 ) sin( 2 ) cos( 2 ) sin( 2 ) 3 ( 2 sin( 2 ) 6 sin 2 it it it i i i i i i i F f t f t e dt e dt e i e i e e e i e i i i ei i e F 11、求函数 )cos()( wttf 的 Laplace变换。 解： 22 ws s )0(Re s 解题过程：当 Re S0 时，有 0 0 ( ) ( ) 00 22 cos 1 () 2 1 2 1 1 1 2 st st i t i t s i t s i t e tdt e e e dt ee s i s i s i s i s s 12、已知 ki)(1 e ， ji)(2 e ，求 : )()( 21 ee 。 解： kji 求解过程： kji kji 011 101 13、求 kjiA ttett tttt 1)(5s i n43s i ns i n3)( 在 0t 处的极限 . 解： kjiA 2 0 54)(lim ett 求解过程： 111 3 3s i n s i n 3s i n s i n 33s i ns i n3 000 t t t t iml t t t t imlttiml ttt 4s in4s in4 00 t timlt timl tt 14、已知 kjiA ttt 23)( 2 ，求 dtt)(A3 0 。 解： kji 3927 kjikjiA 392723)( 3 0 3 0 3 0 23 0 dttd tdttdtt 15、设 kjir ttt 4s in3c o s2 求 dtdr 和 2 2dtdr 解： kji 4c o s3s in2 ttdtdr ， ji ttdt rd s in3c o s2 2 2 16、设数量场 22 zxyzxy(M ) ，求 )(M 在点 )2,1,1(0M 处沿着矢量 2, 2,1 的方 向导数。 解： 方向导数为 34)31,32,32()2,4,5( 先求三个偏导数 21 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1lim )1(lim)1(lim)(lim eee t e e e t e e t eet t t et e tt t tt t t t t tt t xzyxM 2)( 2 将 )2,1,1(0M 代入 52)( 2 )2,1,1( xzyxM zxyyM 2)( 将 )2,1,1(0M 代入 42)( )2,1,1( zxyyM 2)( xyzM 将 )2,1,1(0M 代入 2)( 2 )2,1,1( xyzM 再求矢量 1,2,2 的方向余弦 321)2(2 2c o s 222 3 21)2(2 2c o s 222 311)2(2 1c o s 222 则方向导数 343123 24325c o sc o sc o s)( 000 MMM zyxlM 17、设 kjiA 224 zxyx ，求 A 的散度 Adiv ,并求 Adiv 在 )3,1,1(M 处的值。 解： 8224 zx 求解过程： zxzzyxyxxd iv 22424 2 A 将 )3,1,1(M 代入 Adiv ，得 8624 Adiv 18、已知矢量场 kjiA xyzxyz 762 ，求 A 的旋度 Arot 。 解： kji zyx 45 19 、 证 明 。 设 u 是 数 性 函 数 ， A 是 矢 性 函 数 ， 是 哈 密 顿 算 子 ， 求 证 AAA uuu )( 。 解： ()( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) yxz y x y z yxz x y z uAuA uA u x y z AAAu u u A u A u A u x x y y z z AAA u u u u u u A A A x y z x y z uu A AA 20、求函数 ttf 3sin)( 的傅立叶变换。 答案： ( 3 ) 3 ( 1 ) 3 ( 1 ) ( 3 ) 4 i 求解过程： )3s ins in3(41s in s in4s in33s in 3 3 ttt ttt 由 )()( s i n 000 itF 和傅立叶变换的性质 )3(3)3(3)1(3)1(341)3s i ns i n3(41 s i n 3 ittt FF 21、证明（卷积定理）。若给定两个函数 1()ft， 2()ft，记 1 1 2 2( ) ( ), ( ) ( ),F f t F f tFF， kji kji A zyx xyzxyz zyxr o t 45 762 则有 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )f t f t F FF 。 证明：由卷积与傅里叶变换定义，有 1 2 1 2 () 12 12 12 12 12 ( ) * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) it i t i t ii i i f t f t f f t d e dt f f t e dt e d f e f e d d f e d f e d F F F FF 令 22、已知矢量 3 10A i j ， 54B i j ，求（ 1）点乘 BA ，（ 2）叉乘 BA 。 答案：点乘 25BA ，（ 2）叉乘 kBA 62 求解过程： 3 5+10（ -4） =-25 k kji 62 045 0103 23、已知 kjiA 22 1 111)( ttttt ，求 dtt)( 。 答案 Cttt kji a r c t a nln1 2 求解过程 Ctttdt ttttdtt kjikji a r c t a nln11 111)(A 222 ， C 为常 数。 24、设 kjir tte t co sln2 求 dtdr 和 2 2dtdr 。 解： kjir ttedtd t s in12 2 kjir ttedtd t c o s14 2222 25、求函数 223u x y y在点 (2,3)M 处沿曲线 2 1yx朝 x 增大一方的方向导数。 解：方向导数为 60 17 求解过程： xyxu 6)( 将 )3,2(,M 代入 36)( )3,2( xM yxyu 23)( 2 将 )3,2(M 代入 6)( )3,2( yM 由 12 xy ，得 jiji )1( 2 xxyxr , jiji xyxr 2 将 )3,2(M 代入 r ji 4 r ， r 方向余弦 17141 1c o s 22 17441 4c o s 22 则方向导数 1760174617136c o sc o s)( 00 MM yuxulu 26、设 kjiA ）（）（）（ zxzxyxyxzxyzzy 223232322 ，求 A 的散度 Adiv 和旋度 Arot 。 解： 0Adiv 0rot A 27、证明。设 u 是数性函数， 是哈密顿算子，请根据 的定义，求证 0)( u 。 解： 证明 (略 ) 证明过程： 0)( zyx uuu zyxu kji 28、根据 Fourier 变换的定义，求函数 2 1| 0 2 1| 2 )( | t te tf t 的 Fourier变换。 答案： )2s i n2( c o s11 4)( 21 2 wwweww F 。 1 0 2 1 0 2 1 0 ( 1 ) ( 1 ) 2 1 0 2 1 ( 1 ) 0 ( 1 ) 2 1 0 2 1 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) () 22 2( ) 2 1 ( 1 1 2 2 - ( - ) 1 4 1 it t i t t i t i t i t it it i i i i F F f t f t e dt e e dt e e dt e dt e dt e e ii e e i e e i e ） 1 2 2 1 (cos sin ) 22 e 29、根据 Laplace 变换的定义，求函数 2)( ttf 的 Laplace 变换。 答案： 32s 。 22 0 stt t e d tL 令 st z ， z 为复变量，则 2 2 2 2100 1 s t zt t e d t z e d z sL 根据柯西积分定理 22 2 1 3 00 3 3 11 1 ( 3 ) 2 ztz e dz t e dt ss s s 30、已知 )(5)(1 tutf ， )(2)( 22 tuetf t ， )(tu 是单位阶跃函数，求 )(1tf 和 )(2tf 的卷 积 )(*)( 21 tftf 答案： )1(5 2te 31、设 kjir tte t co s4ln2 求 dtdr 和 2 2dtdr 。 答案 : kjir ttedtd t s in12 2 kjir ttedtd t c o s14 222 2 32、已知 kjiA 2313 和 kjiB 564 ，判断 A与 B的位置关系是正交、平行还是 其它，并请证明结论。 答案：正交 33、 如果 )(tf 的傅立叶变换为 )(wF ，则 )3(tf 的傅立叶变换为 , )6( tf 的傅立叶 变换为 。 1 2 1 2 2( ) 0 22 0 22 0 22 2 ( ) * ( ) ( ) ) 52 10 1 10 2 5 ( 1 ) 5( 1 ) t t t t tt tt t f t f t f f t d ed e e d ee ee e （ 答案 ： )3(31 wF , )(6 wFeiw 。 34、若函数 ),( yxf 在点 )2,1(M 沿 i1L 的方向导数为 2，沿 ji2L 的方向导数为 21 ， 求 ),( yxf 在 )2,1(M 处的梯度。 答案： 2i-j 35、设 kjiA 423 22 yzyzxxz ，求 A 在点 )1,2,1(M0 处的散度 Adiv 和旋度 Arot 。 答案 : 323 8 y zz2xz Adiv )8,3,2( 4x y z3x yy2x2z 2y z yz2x- z 224 423 kji kji A x zyx r ot 36、求矩形脉冲 其他 0 40 3)( ttf 的 Fourier变换。 答案： )2sin(6 2 wew iw 或 )1(3 4 wieiw 37、证明 kjiA 22323 32 yzxzxxyz 为保守场，并计算曲线积分。 答案 : 0)2xz-(2xz4xyz)-(4xyz)2-(2 2222 kjiA zxzxrot ，因此是保 守场。 38、根据 Laplace 变换的定义，求函数 2)( ttf 的 Laplace 变换。 答案： 3/2S 求解过程：参见教程第 8 章例题 8.1.5