2023届大一轮复习 第55讲 直线与圆锥曲线的位置关系（含解析）

2023届大一轮复习 第55讲 直线与圆锥曲线的位置关系 一、选择题（共3小题）1. 直线 y=kx+1kR 与椭圆 x25+y2m=1 恒有公共点，则 m 的取值范围是 A. 1,55,+B. 0,5C. 1,+D. 1,5 2. 过点 0,1 作直线，使它与抛物线 y2=4x 仅有一个公共点，则这样的直线有 A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 0 条 3. 过点 2,4 作直线与抛物线 y2=8x 只有一个公共点，这样的直线有 A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条 二、填空题（共8小题）4. 直线 l:y=kx+1 与双曲线 C:x2y2=1 有且仅有一个公共点，则 k= 5. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F，且与该抛物线相交于 A，B 两点，其中点 A 在 x 轴上方若直线 l 的倾斜角为 60，则 OAF 的面积为 6. 设双曲线x2a2y2b2=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为 7. 若直线 xmy+m=0mR 与椭圆：x2+y2n=1 始终有公共点，则 n 的取值范围是 8. 直线 y=2x+b 被椭圆：9x2+4y2=144 截得的弦长为 25，则 b 的值为 9. 在椭圆 x216+y24=1，经过点 M1,1，且被这点平分的弦所在的直线方程为 10. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1ab0 的左顶点为 A，左焦点为 F，点 P 为该椭圆上任意一点若该椭圆的上顶点到焦点的距离为 2，离心率 e=12，则 APFP 的取值范围是 11. 点 Px,y 满足等式 x22+y2+x+22+y2=210，过点 2,0 的直线 I 交动点 P 的轨迹曲线 E 于 A，B 两点，若曲线 E 上存在点 C，使四边形 AOBC（O 为坐标原点）恰为平行四边形，则直线 l 的斜率为 三、解答题（共16小题）12. 已知 ABC 的两个顶点坐标是 B23,0，C23,0，ABC 的周长为 8+43，O 是坐标原点，点 M 满足 OA=2AM（1）求点 M 的轨迹 E 的方程；（2）设不过原点的直线 l 与曲线 E 交于 P，Q 两点，若直线 OP，PQ，OQ 的斜率依次成等比数列，求 OPQ 面积的最大值 13. 已知直线 l:x=x+6，圆 O:x2+y2=5，椭圆 E:y2a2+x2b2=1ab0 的离心率 e=33，直线 l 被圆 O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等（1）求椭圆 E 的方程；（2）过圆 O 上任意一点 P 作椭圆 E 的两条切线，若切线的斜率都存在，求证：两条切线斜率之积为定值 14. 已知椭圆 C 的焦点分别为 F122,0，F222,0，长轴长为 6，直线 y=x+2 交椭圆 C 于 A，B 两点，求线段 AB 的中点的坐标 15. 直线 y=kx2 交曲线 y2=8x 于 A，B 两点，若弦 AB 中点的横坐标为 2，试求 k 的值 16. 已知椭圆 x2+4y2=4，直线 l:y=x+m（1）若 l 与椭圆有一个公共点，求 m 的值；（2）若 l 与椭圆相交于 P，Q 两点，且 PQ 等于椭圆的短轴长，求 m 的值 17. 已知过点 P0,2 的直线 l 与抛物线 C:y2=4x 交于 A，B 两点，O 为坐标原点（1）若以 AB 为直径的圆经过原点 O，求直线 l 的方程；（2）若线段 AB 的中垂线交 x 轴于点 Q ，求 POQ 面积的取值范围 18. 已知点 A，B 的坐标分别是 1,0，1,0，直线 AM，BM 相交于点 M，且直线 BM 的斜率与直线 AM 的斜率的差是 2（1）求点 M 的轨迹方程 C；（2）若直线 l:xy=0 与曲线 C 交于 P，Q 两点，求 APQ 的面积 19. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1（ab0）的离心率 e=22，点 P2,1 在该椭圆上（1）求椭圆 C 的方程；（2）若点 A，B 是椭圆 C 上关于直线 y=kx+1 对称的两点，求实数 k 的取值范围 20. 如图，已知椭圆 C:x24+y23=1 的左焦点为 F1，点 P 是椭圆 C 上位于第一象限的点，M，N 是 y 轴上的两个动点（点 M 位于 x 轴上方），满足 PMPN 且 F1MF1N，线段 PN 交 x 轴于点 Q（1）若 F1P=52，求点 P 的坐标；（2）若四边形 FMPN 为矩形，求点 M 的坐标；（3）求证：PQQN 为定值 21. 已知离心率为 22 的椭圆 C：x2a2+y2b2=1ab0 经过点 2,1，A，B，M 为椭圆上三点，且满足 MA=MB（1）求椭圆 C 的方程；（2）当 A，B 关于原点 O 对称时，是否存在定圆，使得 AM 恒与该定圆相切，若存在，求出该定圆的方程，若不存在，说明理由 22. 设抛物线 的方程为 y2=4x，点 P 的坐标为 1,1（1）过点 P，斜率为 1 的直线 l 交抛物线 于 U，V 两点，求线段 UV 的长；（2）设 Q 是抛物线 上的动点，R 是线段 PQ 上的一点，满足 PR=2RQ，求动点 R 的轨迹方程；（3）设 AB，CD 是抛物线 的两条经过点 P 的动弦，满足 ABCD点 M，N 分别是弦 AB 与 CD 的中点，是否存在一个定点 T，使得 M，N，T 三点总是共线?若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，说明理由 23. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1ab0 的离心率为 53，短轴的两个端点和右焦点构成的三角形面积为 25（1）求椭圆 C 的方程（2）已知斜率为 k 的直线 l 经过点 Aa,0，且直线 l 与椭圆 C 交于点 P（P 不在 x 轴上），若点 Q 在 y 轴的负半轴上，APQ 是等边三角形，求 k 的值 24. 已知椭圆 C：x2a2+y2=1a0，过椭圆 C 的右顶点和上顶点的直线与圆 x2+y2=23 相切（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 M 是椭圆 C 的上顶点，过点 M 分别作直线 MA，MB 交椭圆 C 于 A，B 两点，设这两条直线的斜率分别为 k1，k2，且 k1+k2=2，证明：直线 AB 过定点 25. 如图，椭圆 E:x2a2+y2b2=1ab0 的离心率是 22，点 P0,1 在短轴 CD 上，且 PCPD=1（1）求椭圆 E 的方程；（2）设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 A，B 两点是否存在常数 ，使得 OAOB+PAPB 为定值?若存在，求 的值；若不存在，请说明理由 26. 已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1（ab0）的离心率为 32，Aa,0，B0,b，O0,0，OAB 的面积为 1（1）求椭圆 C 的方程（2）设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N求证：ANBM 为定值 27. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1ab0 的离心率为 32，F 是其右焦点，直线 y=kx 与椭圆交于 A，B 两点，AF+BF=8（1）求椭圆的标准方程；（2）设 Q3,0，若 AQB 为锐角，求实数 k 的取值范围答案1. A2. C3. B【解析】由题意知，点 2,4 在抛物线 y2=8x 上，所以过点 2,4 作与抛物线 y2=8x 只有一个公共点的直线有 2 条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行4. 1 或 2【解析】由 y=kx+1,x2y2=1 得 1k2x22kx2=0当 1k2=0，即 k=1 时，方程有唯一解，满足题意当 1k20 时，=4k2+81k2=0，即 k=2，此时方程有唯一解，满足题意5. 3【解析】如图，过点 A 作准线的垂线段 AM，设 AF=t，则 AM=t，FN=12t，因为 AM=PN=PF+FN，所以 t=2+12t，所以 AF=t=4，所以 AN=23，所以 SOAF=12OFAN=36. 5【解析】【分析】先根据双曲线方程表示出渐近线方程与抛物线方程联立，利用判别式等于0求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，则双曲线的离心率可得 【解析】解：依题意可知双曲线渐近线方程为y=bax，与抛物线方程联立消去y得x2bax+1=0渐近线与抛物线有一个交点=b2a24=0，求得b2=4a2，c=a2+b2=5ae=ca=5故答案为：5 【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质和圆锥曲线之间位置关系常需要把曲线方程联立根据判别式和曲线交点之间的关系来解决问题7. 1,+【解析】由题知直线 xmy+m=0mR 过定点 0,1，因为直线 xmy+m=0mR 与椭圆 x2+y2n=1 始终有公共点，所以 n0,n1,02+12n1, 所以 n18. 561199. x+4y5=0【解析】设直线与椭圆的交点为 Ax1,y1，Bx2,y2，则 x1216+y124=1,x2216+y224=1, 由 ，得 y1y2x1x2=4x1+x216y1+y2因为 x1+x2=2,y1+y2=2, 所以 y1y2x1x2=14，所以所求直线的方程为 y1=14x1，即 x+4y5=010. 0,12【解析】因为椭圆的上顶点到焦点的距离为 2，所以 a=2因为离心率 e=12，所以 c=1，b=a2c2=3，则椭圆的方程为 x24+y23=1，所以点 A 的坐标为 2,0，点 F 的坐标为 1,0设 Px,y，2x2，则 APFP=x+2,yx+1,y=x2+3x+2+y2由椭圆的方程得 y2=334x2，所以 APFP=x2+3x34x2+5=14x+624因为 x2,2，所以 APFP0,1211. 1【解析】由椭圆定义知动点 P 的轨迹方程为 x2a2+y2b2=1ab0，且 a=10，c=2，所以 b2=a2c2=104=6，所以动点 P 的轨迹方程为：x210+y26=1，若直线 lx 轴，则平行四边形 AOBC 中，点 C 与点 O 关于直线 l 对称，此时点 C 坐标为 C4,0，因为 410，所以点 C 在椭圆 E 外，所以直线 l 与 x 轴不垂直，故可设直线 l 的方程为 y=kx2，设点 Ax1,y1，Bx2,y2，则联立 y=kx2,x210+y26=1 整理得 3+5k2x220k2x+20k230=0，则由题知：x1+x2=20k23+5k2，y1+y2=12k3+5k2，因为四边形 AOBC 为平行四边形，所以 OA+OB=OC，所以点 C 的坐标为 20k23+5k2,12k3+5k2，代入椭圆方程得：20k23+5k2210+12k3+5k226=1，解得 k2=1，所以 k=112. （1） 已知 AB+AC=8BC，所以，点 A 的轨迹是以 B，C 为焦点的椭圆（不含左右顶点）因为，2a=8，c=23，所以，a=4，b=2所以，点 A 的轨迹方程为 x216+y24=1y0设 Mx,y，Ax0,y0，由 OA=2AM 得，x0=2x,y0=2y, 又 x0216+y024=1故，点 M 的轨迹 E 的方程为 2x216+2y24=1，即 x24+y2=1y0（2） 由题意可知，直线 l 的斜率存在且不为 0，故可设直线 l 的方程为 y=kx+mm0，Px1,y1，Qx2,y2，由 y=kx+m,x24+y2=1, 消去 y 得 1+4k2x2+8kmx+4m21=0，则 =64k2m2161+4k2m21=164k2m2+10，即 4k2m2+10，且 x1+x2=8km1+4k2，x1x2=4m211+4k2，故 y1y2=kx1+mkx2+m=k2x1x2+kmx1+x2+m2因为直线 OP，PQ，OQ 的斜率依次成等比数列，所以 y1x1y2x2=k2x1x2+kmx1+x2+m2x1x2=k2，即 8k2m21+4k2+m2=0，又 m0，所以 k2=14，即 k=12由 0，及直线 OP，OQ 的斜率存在，得 0m20设满足题意的椭圆 E 的两条切线的斜率分别为 k1，k2，则 k1k2=y0232x02因为点 P 在圆 O 上，所以 x02+y02=5，所以 k1k2=5x0232x02=1所以两条切线斜率之积为定值 1 .14. 95,1515. 直线 y=kx2 与抛物线 y2=8x，联立 y=kx2,y2=8x 消去 y，得 kx22=8x，即 k2x24k+8x+4=0，设此方程两根为 x1，x2，由已知，得 x1+x2=4k+8k2=4，解方程，得 k=1，k=2分别代入检验只有 k=2 满足上述方程 0所以所求的 k 值为 216. （1） 联立直线与椭圆的方程，得 x2+4y2=4,y=x+m, 即 5x2+8mx+4m24=0，由于直线 l 与椭圆有一个公共点，则 =8016m2=0，所以 m=5（2） 设 Px1,y1，Qx2,y2，由（1）知：x1+x2=8m5，x1x2=4m245，则 PQ=1+k2x1x2=4255m2=2解得 m=30417. （1） 设直线 AB 的方程为 y=kx+2k0，设 Ax1,y1，Bx2,y2，由 y2=4x,y=kx+2, 得 k2x2+4k4x+4=0*，则由 =4k4216k2=32k+160，得 k12，x1+x2=4k4k2=44kk2，x1x2=4k2，所以 y1y2=kx1+2kx2+2=k2x1x2+2kx1+x2+4=8k，因为以 AB 为直径的圆经过原点 O，所以 AOB=90，即 OAOB=0，所以 OAOB=x1x2+y1y2=4k2+8k=0，解得 k=12，即直线 l 的方程为 y=12x+2（2） 设线段 AB 的中点坐标为 x0,y0，则由（I）得 x0=x1+x22=22kk2，y0=kx0+2=2k，所以线段 AB 的中垂线方程为 y2k=1kx22kk2，令 y=0，得 xQ=2+22kk2=2k22k+2=21k122+32，又由（I）知 k12，且 k0，得 1k2，所以 xQ20122+32=2，所以 SPOQ=12POOQ=122xQ2所以 POQ 面积的取值范围为 2,+18. （1） 设 Mx,y，则 kAM=yx+1，kBM=yx1，所以 yx1yx+1=2所以所求轨迹方程为 y=x21（x1 且 x1）（或 y0）（2） 设 Px1,y1，Qx2,y2由 y=x21,xy=0 消去 y，得 x2x1=0，所以 x1+x2=1,x1x2=1. 所以 PQ=1+121241=10又因为点 A 到直线 PQ 的距离为 d=12=22，所以 SAPQ=12PQd=22方法二： SAPQ=12AQy1y2=121x1x2=12x1+x224x1x2=52.19. （1） 由题意知 e=ca=22，即 c2=12a2，b2=a2c2=12a2 将点 P2,1 代入椭圆 C 的方程，可得 2a2+1b2=1, 由可得 a2=4，b2=2所以椭圆 C 的方程为 x24+y22=1（2） 设 Ax1,y1，Bx2,y2（y1y2）是椭圆 C 上关于直线 y=kx+1 对称的两点，且弦 AB 的中点为 x0,y0由题意可知直线 y=kx+1 的斜率 k0，又直线 y=kx+1，恒过定点 0,1，则 x12+y112=x22+y212因为点 A，B 在椭圆上，所以 x12=42y12，x22=42y22，所以 42y12+y112=42y22+y212，化简可得 y12y22=2y1y2，即 y1+y2=2所以 y0=y1+y22=1又因为 AB 的中点在 y=kx+1 上，所以 y0=kx0+1，所以 x0=2k由 x2+2y2=4,y=1 得 x=2所以 02k2 或 22k0，解得 k2，即实数 k 的取值范围是 ,22,+20. （1） 设 Px1,y1x10,y10，由题意，F11,0，所以 F1P=x1+12+y12=52，又 x124+y123=1，所以 x1=1,y1=32, 所以点 P 坐标为 1,32（2） 连接 F1P，交 MN 于点 R，则 R 为 F1P 中点，且 R 为 MN 中点，所以 P1,32，R0,34，设 M0,mm0，N0,n，则 m+n=32，又 F1MF1N=1,m1,n=1+mn=0，所以 m=2，故点 M 的坐标是 0,2（3） 由（2）知，F1MF1N=1,m1,n=1+mn=0，所以 n=1m，由题意，MPNP=x1,y1mx1,y1n=x12+y12m+ny1+mn=0，又 x124+y123=1，所以 y12+3m1my19=0，所以 y1=3m 或 y1=3m（舍去），所以 PQQN=y1yN=3m1m=3，为定值21. （1） 由题设：1b2a2=22,4a2+1b2=1, 解得 a2=6，b2=3，所以椭圆 C 的方程为 x26+y23=1（2） 直线 AB 的斜率不存在时，由对称性不妨设直线 AM 方程为 y=22x+3，原点 O 到直线 AM 的距离为 2，同理，直线 AB 的斜率为 0 时，原点 O 到直线 AM 的距离为 2直线 AB 的斜率存在且不为 0 时，设直线 AB 的方程为 y=kx，则因为 MA=MB，所以直线 OM 的方程为 y=1kx，由 y=kx,x2+2y2=6, 得 2k2+1x2=6，所以 xA2=62k2+1，同理 xM2=6k2k2+2，设原点 O 到直线 AM 的距离为 d，因为直线 AM 方程为 yMyAx+xMxAy+yAxMxAyM=0，所以 d2=yAxMxAyM2yMyA2+xMxA2=kxAxM+1kxAxM21kxMkxA2+xMxA2=k2+12k2xA2xM2k2+1k2xM2+k2+1xA2=k2+1xA2xM2xM2+k2xA2=6k2+12k2+16k2k2+26k2k2+2+6k22k2+1=2, 综上，原点 O 到直线 AM 的距离为 2所以，存在定圆 x2+y2=2，使得 AM 恒与该定圆相切22. （1） 根据条件可知直线 l 方程为 y=x1+1，即 x+y2=0，联立 y2=4x,x+y2=0, 整理得 x28x+4=0，则 xU+xV=8，xUxV=4，所以线段 UV=1+1xUxV=2xU+xV24xUxV=26444=46（2） 设 Rx0,y0，Qx,y，则 PR=x01,y01，RQ=xx0,yy0，根据 PR=2RQ，则有 2xx0=x01，2yy0=y01，所以 x=3x012，y=3y012，因为点 Q 在抛物线 上，所以 3y0122=43x012，整理得 3y012=83x01，即点 R 的运动轨迹方程为 3y12=83x1（3） 设 Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3，Dx4,y4，根据题意直线 AB，CD 的斜率存在且不为 0，不妨设 AB 的方程为 y=kx1+1，联立 y=kx1+1,y2=4x. 整理得 k2x22k2k+2x+1k2=0，则 x1+x2=2k2k+2k2，所以可得 Mk2k+2k2,1k，同理可得 N1+k+2k2,k，则 kMN=1k+kk2k+2k21+k+2k2=k22k2k，所以直线 MN 的方程为 y=k22k2kx1+k+2k2k=k22k2kx3，即直线 MN 过点 3,0，故存在一个定点 T3,0，使得 M，N，T 三点总是共线23. （1） 由题意得：e=ca=53,122bc=25,a2=b2+c2, 解得：a2=9，b2=4，c2=5所以椭圆方程为：x29+y24=1（2） 设 Ax1,y1，Px2,y2，Q0,y0，AP 中点为 M，则 x1=3，y1=0，AP：y0=kx+3，即 y=kx+3kk0，y=kx+3k,4x2+9y2=364+9k2x2+54k2x+81k236=00，所以 x1+x2=54k24+9k2，x1x2=81k2364+9k2，所以 xM=x1+x22=27k24+9k2，yM=kxM+3k=12k4+9k2， AP=1+k2x1+x224x1x2=241+k214+9k2因为 APQ 为等边三角形，所以 QMAP，且 QM=32AP， y012k4+9k20+27k24+9k2=1k，得 y0=15k4+9k2， QM=y012k4+9k22+0+27k24+9k22=27k2+k44+9k2=32241+k214+9k2, 得 k2=1627，因为 y00，所以，x1+x2=4k2k2+1，x1x2=22k2+1从而 OAOB+PAPB=x1x2+y1y2+x1x2+y11y21=1+1+k2x1x2+kx1+x2+1=24k2+212k2+1=12k2+12. 所以，当 =1 时，12k2+12=3，OAOB+PAPB=3 为定值当直线 AB 斜率不存在时，直线 AB 即为直线 CD，此时 OAOB+PAPB=OCOD+PCPD=2=3，故存在常数 =1综上可知，存在常数 =1，使得 OAOB+PAPB 为定值 326. （1） 由题意得 ca=32,12ab=1,a2=b2+c2, 解得 a=2，b=1所以椭圆 C 的方程为 x24+y2=1（2） （方法 1）由（1），知 A2,0，B0,1设 Px0,y0，则 x02+4y02=4当 x00 时，直线 PA 的方程为 y=y0x02x2令 x=0，则 yM=2y0x02，从而 BM=1yM=1+2y0x02直线 PB 的方程为 y=y01x0x+1令 y=0，得 xN=x0y01，从而 AN=2xN=2+x0y01所以 ANBM=2+x0y011+2y0x02=x02+4y02+4x0y04x08y0+4x0y0x02y0+2=4x0y04x08y0+8x0y0x02y0+2=4. 当 x0=0 时，y0=1，BM=2，AN=2，所以 ANBM=4综上，ANBM 为定值（方法 2）点 P 在曲线 x22+y12=1 上，不妨设 P2cos,sin，当 k 且 k+2（kZ），直线 AP 的方程为 y0=sin2cos1x2，令 x=0，得 yM=sin1cos，直线 BP 的方程为 y1=sin12cosx0，令 y=0，得 xN=2cos1sin，所以 ANBM=21cos1sin1sin1cos=221sin1cos1sin1cos=22=4（定值）当 =k 或 =k+2（kZ）时，M，N 是定点，易得 ANBM=4综上 ANBM=427. （1） 设 F1 为椭圆的左焦点，连接 F1B，由椭圆的对称性可知，AF=F1B，所以 AF+BF=BF1+BF=2a=8，所以 a=4，又 e=32=ca，a2=b2+c2，解得 c=23，b=2，所以椭圆的标准方程为 x216+y24=1（2） 设点 Ax1,y1，Bx2,y2，则 QA=x13,y1，QB=x23,y2，联立 x216+y24=1,y=kx, 得 4k2+1x216=0，所以 x1+x2=0，x1x2=164k2+1，因为 AQB 为锐角，所以 QAQB0，所以 QAQB=x13x23+y1y2=93x1+x2+x1x2+y1y2=93x1+x2+1+k2x1x2=9161+k24k2+10, 解得 k3510 或 k3510第15页（共15 页）