2023届大一轮复习 第49讲 直线与圆的位置关系（含解析）

2023届大一轮复习 第49讲 直线与圆的位置关系 一、选择题（共11小题）1. 直线 3xy+m=0 与圆 x2+y22x2=0 相切，则实数 m 等于 A. 3 或 3B. 3 或 33C. 33 或 3D. 33 或 33 2. 已知圆的方程为 x2+y22x+6y+8=0，那么下列直线中经过圆心的直线方程为 A. 2xy+1=0B. 2x+y+1=0C. 2xy1=0D. 2x+y1=0 3. 已知直线 l 过点 2,0，当直线 l 与圆 x2+y2=2x 有两个交点时，其斜率 k 的取值范围是 A. 22,22B. 2,2C. 24,24D. 18,18 4. 若直线 1+ax+y+1=0 与圆 x2+y22x=0 相切，则 a 的值为 A. 1,1B. 2,2C. 1D. 1 5. 已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，直线 3x+4y+4=0 与圆 C 相切，则圆 C 的方程为 A. x2+y22x3=0B. x2+y2+4x=0C. x2+y2+2x3=0D. x2+y24x=0 6. 已知圆 x22+y+12=16 的一条直径通过直线 x2y+3=0 被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为 A. 3x+y5=0B. x2y=0C. x2y+4=0D. 2x+y3=0 7. 设实数 x，y 满足 x+22+y2=3，那么 yx 的取值范围是 A. 33,33B. ,3333,+C. 3,3D. ,33,+ 8. 过点 P1,1 的直线，将圆形区域 x,yx2+y24 分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 A. x+y2=0B. y1=0C. xy=0D. x+3y4=0 9. 正弦曲线 y=sinx 上切线的斜率等于 12 的点为 A. 3,32B. 3,32 或 3,32C. 2k+3,32kZD. 2k+3,32 或 2k3,32kZ 10. 圆 x2+y2+2x+4y3=0 上到直线 x+y+1=0 的距离为 2 的点共有 A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 11. 直线 x2y3=0 与圆 C:x22+y+32=9 交于 E，F 两点，则 ECF 的面积为 A. 32B. 25C. 355D. 34 二、多选题（共2小题）12. 已知圆 C:x32+y32=72，若直线 x+ym=0 垂直于圆 C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则 m= A. 2B. 4C. 6D. 10 13. 已知直线 x2y+a=0 与圆 O：x2+y2=2 相交于 A，B 两点（O 为坐标原点），且 AOB 为等腰直角三角形，则实数 a 的值为 A. 6B. 5C. 6D. 5 三、填空题（共11小题）14. 直线 x+3y+1=0 被圆 C:x2+y22x3=0 截得的弦长为 15. 若直线 3x+4y=b 与圆 x2+y22x2y+1=0 相切，则实数 b= 16. 直线 l 与圆 x2+y2+2x4y+1=0 相交于两点 A,B ，弦 AB 的中点为 (0,1) ，则直线 l 的方程为 17. 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为圆心的圆被直线 x3y=4 截得的弦长为 43 ，则圆 O 的方程为 18. 已知圆 C:x12+y32=9 的圆心 C 在直线 l 上，且 l 与直线 x+y2=0 平行，则 l 的方程是 19. 已知圆 C:x2+y2+2x+ay3=0 （ a 为实数）上任意一点关于直线 l:xy+2=0 的对称点都在圆 C 上，则 a= 20. 已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M0,5 在圆 C 上，且圆心到直线 2xy=0 的距离为 455，则圆 C 的方程为 21. 过点 P1,4 作圆 x2+y24x6y+12=0 的切线，则切线长为 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2+y28x+15=0，若直线 y=kx2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值为 23. 若圆 O:x2+y2=16，点 P 在直线 x=8 上，过 P 点引圆 O 的两条切线 PA，PB，切点为 A，B，则 OAB 面积 S 的取值范围是 24. 圆 x2+y24x=0 在点 P1,3 处的切线方程为 四、解答题（共6小题）25. 求圆心为 C2,1，且截直线 y=x1 所得弦的弦长为 22 的圆的方程 26. 已知圆 O:x2+y2=r2（O 为原点）与 x 轴不重合的动直线 l 过定点 Dm,0mr0且与圆 O 交于 P，Q 两点（允许 P，Q 重合），点 S 为点 P 关于 x 轴的对称点（1）若 m=2，r=1，P，Q 重合，求直线 SQ 与 x 轴的交点坐标；（2）求 OSQ 面积的最大值 27. 回答问题：（1）若圆 C 的方程是 x2+y2=r2，求证：过圆 C 上一点 Mx0,y0 的切线方程为 x0x+y0y=r2（2）若圆 C 的方程是 xa2+yb2=r2，则过圆 C 上一点 Mx0,y0 的切线方程为 ，并证明你的结论 28. （1）点 Pa,b 在圆 C：x2+y2=r2r0 上，求过点 P 的圆的切线方程；（2）若点 Pa,b 在圆 C：x2+y2=r2r0 内，判断直线 ax+by=r2 与圆 C 的位置关系 29. 已知圆 C:x12+y+22=10，求满足下列条件的圆的切线方程（1）与直线 l1:x+y4=0 平行；（2）与直线 l2:x2y+4=0 垂直；（3）过切点 A4,1 30. 已知圆 C：x2+y2=r2r0，若直线 l1：xy+2=0 与圆 C 相交于 A，B 两点，且 AB=22（1）求圆 C 的方程（2）请从条件、条件这两个条件中选择一个作为点 P 的坐标，求过点 P 与圆 C 相切的直线 l2 的方程 2,3； 1,3答案1. C【解析】圆的标准方程为 x12+y2=3，圆心 1,0 到直线的距离 d=3+m3+1=3 时，直线与圆相切，解得 m=3 或 332. B3. C【解析】设 l 的直线方程为 y=kx+2，将直线方程与圆方程联立 y=kx+2,x2+y2=2x. 消 y 得 k2+1x2+4k22x+4k2=0，直线与圆有两个交点，即 0，所以 k 的取值范围为 24,244. D5. D【解析】设圆 C 的圆心坐标为 a,0，则 d=3a+40+432+42=2，a=2 或 a=143（舍），于是圆心为 2,0，所以圆的方程为 x22+y2=226. D【解析】直径所在直线与 x2y+3=0 垂直且过圆心，方程为 y1=2x27. C【解析】如图所示，方程 x+22+y2=3 表示：以 2,0 为圆心，3 为半径的圆，代数式 yx=y0x0 的几何意义是：圆上的点与 0,0 连线的斜率，由图象可得，当直线 y=kx 与圆相切时，yx 分别取到最大值和最小值，由 3=2kk2+1 得，k=3，所以 yx 的取值范围是 3,38. A【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，通过观察图形，显然只需该直线与直线 OP 垂直即可9. D【解析】设斜率等于 12 的切线与曲线的切点为 Px0,y0因为 yx=x0=cosx0=12，所以 x0=2k+3 或 x0=2k3kZ，所以 y0=32 或 y0=3210. C11. B12. A， D【解析】圆 C:x32+y32=72 的圆心 C 的坐标为 3,3，半径 r=62，因为直线 x+ym=0 垂直于圆 C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，所以圆心到直线的距离为 22，则有 d=6m1+1=22，解得 m=2或10，故选A、D13. B， D【解析】因为直线 x2y+a=0 与圆 O：x2+y2=2 相交于 A，B 两点（O 为坐标原点），且 AOB 为等腰直角三角形，所以 O 到直线 AB 的距离为 1，由点到直线的距离公式可得 a12+22=1，所以 a=514. 23【解析】圆 C 的标准方程为 x12+y2=4，则圆心 1,0 到直线 x+3y+1=0 的距离 d=1，则直线 x+3y+1=0 被圆 C 截得的弦长为 241=2315. 2 或 12【解析】因为直线 3x+4y=b 与圆心 1,1，半径为 1 的圆相切，所以 3+4b32+42=1b=2或1216. xy+1=017. x2+y2=1618. x+y4=0【解析】设直线为 x+y+m=0，代入点 1,3 得 m=419. 2【解析】由题意知圆心 1,a2 在直线 l 上，即 1+a2+2=0 ，解得 a=2 20. x22+y2=9【解析】设 Ca,0，a0，则 2a5=455，解得 a=2，所以 r=22+5=3，故圆 C 的方程为 x22+y2=921. 322. 43【解析】圆 C 的方程可化为 x42+y2=1，所以圆心为 4,0，半径为 1由题意知直线 y=kx2 上至少存在一点 Ax0,kx02，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有交点，所以存在 x0R，使得 ACmin1+1=2又 ACmin 为点 C 到直线 y=kx2 的距离，则 4k21+k22，解得 0k43，所以 k 的最大值为 4323. SOAB0,4324. x3y+2=0【解析】先由半径与切线的垂直关系求得切线斜率为 33，则过 1,3 切线方程为 x3y+2=025. 设圆的方程为 x22+y+12=r2r0由题设知，圆心到直线 y=x1 的距离为 d=21112+12=2又直线 y=x1 被圆截得的弦长为 22，所以 22=2r2d2，即 22=2r22解得 r=2所以所求圆的方程为 x22+y+12=426. （1） 设直线 l:y=kx2，则 d=1=2k1+k2，k=33，直线 l:y=33x2，联立 x2+y2=1,y=33x2 解得：x=12，即直线 SQ 与 x 轴的交点坐标是 12,0（2） 设直线 l:x=ty+m，联立 x=ty+m,x2+y2=r2 得 1+t2y2+2tmy+m2r2=0，设 Px1,y1，Qx2,y2，Sx1,y1，则 y1+y2=2tm1+t2，y1y2=m2r21+t2，直线 lSQ:y+y1=y2+y1x2x1xx1，令 y=0 得 x=y1x2+y2x1y1+y2=2ty1y2+my1+y2y1+y2=r2m，即直线 SQ 过定点 r2m,0，所以 SOSQ=12r2my1+y2=r2t+1t，由 0，tm2r2r（1）m2r2r1，即 m2r 时，当 t=m2r2r 时，Smax=r3m2r2m2，（2）0m2r2r1，即 rm2r 时，当 t=1 时，Smax=r2227. （1） 略（2） xax0a+yby0b=028. （1） （方法一）因为切线 l 与半径 OP 垂直（O 为圆 C 的圆心），又可求出直线 OP 的斜率，所以可得切线 l 的斜率，再由点斜式得到切线方程（但要注意斜率是否存在，详细过程略）（方法二）设 Qx,y 为所求切线上任一点，则 PQOP=0，即 xa,yba,b=0整理得 ax+by=a2+b2又因为 P 在圆上，所以 a2+b2=r2，故所求的切线方程为 ax+by=r2（2） 由已知，得 a2+b2r2r2=r所以此直线与圆 C 相离29. （1） 设切线方程为 x+y+b=0，则 12+b2=10，所以 b=125，所以切线方程为 x+y+125=0（2） 设切线方程为 2x+y+m=0，则 22+m5=10，所以 m=52，所以切线方程为 2x+y52=0（3） 因为 kAC=2+114=13，所以过切点 A4,1 的切线斜率为 3，所以过切点 A4,1 的切线方程为 y+1=3x4，即 3x+y11=030. （1） 设圆心 C0,0 到直线 l1 的距离为 d，则 r2d2=AB22，即 d2=r22，因为 d=21+1=2，所以 r2=4，所以圆 C 的方程为 x2+y2=4（2） 当直线 l2 斜率不存在时，l2 方程为 x=2，恰好与圆 C 相切，当直线 l2 斜率存在时，设 l2 方程为 y+3=kx2，即 kxy2k3=0，则圆心 C 到 l2 的距离为 r=2k3k2+1=2，即 2k+32=4k2+4，即 12k+9=4，所以 k=512，所以直线 l2 的方程为 512x+y+136=0，综上所述，直线 l2 的方程为 5x+12y+26=0 或 x=2因为 1+3=4，所以点 D1,3 在圆 C 上，即点 D 为切点，则 kCD=31=3，因为 CDl2，所以 kl2=33，所以直线 l2 的方程为 y3=33x1，即 x+3y4=0第8页（共8 页）