2023届大一轮复习 第24讲 三角恒等变换（2）（含答案）

2023届大一轮复习 第24讲 三角恒等变换（2） 一、选择题（共2小题）1. 若 sin2=14，且 4,2，则 cossin 的值为 A. 32B. 32C. 32D. 34 2. 已知 sinsin=132，coscos=12，则 cos 的值为 A. 12B. 32C. 34D. 1 二、多选题（共2小题）3. 在 ABC 中，若 sinC+sinBA=sin2A，则 ABC 的形状 A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 锐角三角形 4. 已知函数 fx=sin562x2sinx4cosx+34，则下列关于函数 fx 的描述正确的是 A. fx 在区间 0,3 上单调递增B. fx 图象的一个对称中心是 3,0C. fx 图象的一条对称轴是 x=6D. 将 fx 的图象向右平移 3 个单位长度后，所得函数图象关于 y 轴对称 三、填空题（共8小题）5. 已知 cos+6=13，0,2，则 sin= 6. 若 cos=13，则 cos2= 7. 已知 tan54=15，则 tan= 8. 计算：tan65tan3533tan65tan35= 9. 已知 tantan+4=23，则 sin2+4 的值是 10. 已知 是第四象限角，且 cos=45 ，那么 sin+4cos26 的值为 . 11. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知角 的顶点和 点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上一点 M 坐标为 1,3，则 tan+4= 12. 若 tan=34，2,，则 sin+6= 四、解答题（共12小题）13. 证明下列恒等式：（1）cos4sin4=cos2；（2）11tan11+tan=tan2 14. 证明下列恒等式：（1）cos32+=sin；（2）sin32=cos 15. 已知 sin=55，且 为第二象限角（1）求：sin2 的值（2）求：cos4 的值 16. 已知 A，B 都是锐角，sinA=1314，sinB=1114求：（1）sinA+B 的值；（2）求 A+B 的值 17. 已知 tan+=12，cos=7210，且 ，0,2（1）求 cos2sin2+sincos 的值（2）求 sin2+ 的值 18. 已知 ， 为锐角，cos=17，cos+=1114（1）求 sin+ 的值（2）求 cos 的值 19. 已知函数 fx=sin2xsin2x6，xR（1）求 fx 的最小正周期；（2）求 fx 在区间 3,4 上的最大值和最小值 20. 已知函数 fx=cosxsinx3cosx，xR（1）求 fx 的最小正周期和最大值；（2）讨论 fx 在区间 3,23 上的单调性 21. 已知函数 fx=23cos2x+sin2x3+1，xR（1）求 fx 的单调递增区间；（2）当 x4,4 时，求 fx 的值域 22. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： sin213+cos217sin13cos17； sin215+cos215sin15cos15； sin218+cos212sin18cos12； sin218+cos248sin18cos48； sin225+cos255sin25cos55（参考公式：sin=sincoscossin， cossin=coscossinsin， sin2=2sincos， cos2=cos2sin2=2cos21=12sin2）（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为一三角恒等式 sin2+cos230sincos30= ，并证明你的结论 23. 已知函数 fx=23sinxcosx+2cos2x1xR（1）求函数 fx 的最小正周期及在区间 0,2 上的最大值和最小值；（2）若 fx0=65，x04,2，求 cos2x0 的值 24. 已知函数 fx=sin2x+2sinxsin2x+3sin232x（1）若 tanx=12，求 fx 的值；（2）求函数 fx 最小正周期及单调递减区间答案1. B2. B3. A， B【解析】因为 sinC+sinBA=sin2A，所以 sinA+B+sinBA=sin2A所以 sinAcosB+cosAsinB+sinBcosAcosBsinA=2sinAcosA，所以 2sinBcosA=2sinAcosA所以 cosAsinAsinB=0，所以 cosA=0 或 sinA=sinB因为 0A，B，所以 A=2，或 A=B所以 ABC 为直角三角形或等腰三角4. A， C【解析】fx=sin562x2sinx4cosx+34=12cos2x+32sin2x+sin2xcos2x=12cos2x+32sin2xcos2x=sin2x6. 由 2k22x62k+2kZ，得 k6xk+3kZ，当 k=0 时，0,36,3，故A正确； f3=sin2=10，故B不正确； f6=sin2=1，故C正确；将 fx 的图象向右平移 3 个单位长度得到函数 y=sin2x56 的图象，显然不关于 y 轴对称，故D不正确5. 26166. 797. 32【解析】由题意得 tan54=tan54=tan4=1tan1+tan=15，解得 tan=328. 339. 210【解析】由 tantan+4=tantan+11tan=tan1tantan+1=23，得 3tan25tan2=0，解得 tan=2，或 tan=13 sin2+4=sin2cos4+cos2sin4=22sin2+cos2=222sincos+cos2sin2sin2+cos2=222tan+1tan2tan2+1, 当 tan=2 时，上式 =2222+12222+1=210；当 tan=13 时，上式 =22213+1132132+1=210综上，sin2+4=21010. 5214【解析】依题意，有 sin=35 ， sin+4cos26=sincos4+cossin4cos2=3522+452224521=5214 .11. 2312. 3341013. （1） cos4sin4=cos2+sin2cos2sin2=cos2sin2=cos2（2） 11tan11+tan=1+tan1tan1+tan1tan=2tan1tan2=tan214. （1） cos32+=cos2+=sin+=sin=sin.（2） sin32=sin2+=cos=cos.15. （1） 因为 为第二象限角，所以 cos0，又因为 sin=55，所以 cos=255， sin2=2sincos=255255=45.（2） cos4=coscos4+sinsin4=25522+5522=1010.16. （1） 32（2） 12017. （1） 因为 0,2，又因为 cos=7210，所以 sin=210，所以 cos2sin2+sincos=981002100+14100=1110.（2） 因为 sin=210，cos=7210，所以 tan=17，又因为 tan+=12，所以 tan+tan1tantan=12，所以 2tan+27=117tan， 157tan=57， tan=13，又因为 0,2，所以 sin=1010，cos=31010，所以 sin2=2sincos=2101031010=35, cos2=cos2sin2=9010010100=45, sin2+=sin2cos+sincos2=357210+21045=25250=22.18. （1） 因为 0,2，0,2，所以 +0,，所以 cos=17，所以 sin=1149=437，因为 cos+=1114，所以 sin+=111142=5314（2） cos=cos+， cos=cos+cos+sin+sin=111417+5314437=4998=12.19. （1） 由已知，有 fx=1cos2x21cos2x32=1212cos2x+34sin2x12cos2x=34sin2x14cos2x=12sin2x6, 所以的最小正周期 T=22=；（2） 当 2+2k2x62+2k，kZ 时，函数 fx 单调递增，所以 6+kx3+k，kZ 时，fx 单调递增，所以 fx 在区间 3,6 上是减函数，在区间 6,4 上是增函数， f3=14，f6=12，f4=34，所以 fx 在区间 3,4 上的最大值为 34，最小值为 1220. （1） 由题意，得 fx=cosxsinx3cos2x=12sin2x321+cos2x=12sin2x32cos2x32=sin2x332. 所以 fx 的最小正周期 T=22=，其最大值为 132（2） 当 x3,23 时，令 t=2x3，则 t3,，当 t3,2 时，fx 单调递增；当 t2, 时，fx 单调递减，即：当 x3,512 时，fx 单调递增；当 x512,23 时，fx 单调递减21. （1） 由题意 fx=sin2x+32cos2x1+1=sin2x+3cos2x+1=2sin2x+3+1. 由 2k22x+32k+2kZ，得 2k562x2k+6kZ，所以 k512xk+12kZ，所以 fx 的单调递增区间为 k512,k+12kZ（2） 因为 x4,4，所以 2x+36,56，所以 sin2x+312,1，所以 fx0,322. （1） 选择式： sin215+cos215sin15cos15=112sin30=34, 所以该常数为 34（2） 34，证明如下： sin2+cos230sincos30=sin2+cos30cos+sin30sin2sincos30cos+sin30sin=sin232cos+12sin2sin32cos+12sin=sin2+34cos214sin2=34sin2+34cos2=34.23. （1） fx=3sin2x+cos2x=2sin2x+6，所以 T=，又 x0,2，所以 2x+66,76，由函数图象知 fx1,2，即最大值为 2，最小值为 1（2） 由题意 sin2x0+6=35，而 x04,2，所以 2x0+623,76，所以 cos2x0+6=1sin22x0+6=45，所以 cos2x0=cos2x0+66=4532+3512=34310.24. （1） fx=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=sin2x+2sinxcosx+3cos2xsin2x+cos2x=tan2x+2tanx+3tan2x+1=175.（2） fx=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=2sin2x+4+2 fx 的最小正周期为 T=22=由 2+2k2x+432+2k，解得 8+kx58+k，kZ所以 fx 的单调递减区间为 8+k,58+k，kZ第9页（共9 页）