2023届大一轮复习 第47讲 两条直线的位置关系（含解析）

2023届大一轮复习 第47讲 两条直线的位置关系 一、选择题（共9小题）1. 若直线 kx+1ky3=0 和直线 k1x+2k+3y2=0 互相垂直，则 k= A. 3 或 1B. 3 或 1C. 3 或 1D. 1 或 3 2. 过点 P4,1 且与直线 3x4y+6=0 垂直的直线方程是 A. 4x+3y13=0B. 4x3y19=0C. 3x4y16=0D. 3x+4y8=0 3. 点 1,1 到直线 xy+1=0 的距离是 A. 12B. 32C. 22D. 322 4. 若两条直线 ax+2y1=0 与 3x6y1=0 垂直，则 a 的值为 A. 4B. 4C. 1D. 1 5. “直线 l1：2x+m+1y+4=0 与直线 l2：mx+3y2=0 平行”是“m=2”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 直线 l 的方程为 y=xtan+2，则 A. 一定是直线的倾斜角B. 一定不是直线的倾斜角C. 180 一定是直线的倾斜角D. 不一定是直线的倾斜角 7. P 点在直线 3x+y5=0 上，且 P 点到直线 xy1=0 的距离为 2 ，则 P 点坐标为 A. 1,2B. 2,1C. 1,2 或 2,1D. 2,1 或 1,2 8. 已知 P 为直线 y=kx+b 上一动点，若点 P 与原点均在直线 xy+2=0 的同侧，则 k，b 满足的条件分别为 A. k=1，b2C. k1，b2 9. 已知 P1a1,b1 与 P2a2,b2 是直线 y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于 x 和 y 的方程组 a1x+b1y=1,a2x+b2y=1 的解的情况是 A. 无论 k，P1，P2 如何，总是无解B. 无论 k，P1，P2 如何，总有唯一解C. 存在 k，P1，P2，使之恰有两解D. 存在 k，P1，P2，使之有无穷多解 二、多选题（共1小题）10. 若两平行直线 3x2y1=0，6x+ay+c=0 之间的距离为 21313，则实数 c 的值是 A. 2B. 4C. 5D. 6 三、填空题（共6小题）11. 已知直线 ax2y1=0 与直线 3xy+1=0 垂直，则 a= 12. 设直线 l1:x2y+2=0 的倾斜角为 1，直线 l2:mxy+4=0 的倾斜角为 2，若 2=1+90，则实数 m= 13. 已知 A2,0，B4,0，动点 P 满足 PA=22PB，则 P 到原点的距离为 14. 已知两条直线 mxy2=0 和 m+2xy+1=0 互相垂直，那么实数 m= 15. 已知 A1,0，B3,2，C0,4，点 D 满足 ABCD，且 ADBC，则点 D 的坐标是 16. l1，l2 是分别经过点 A1,1，B0,1 的两条平行直线，当 l1，l2 间的距离最大时，直线 l1 的方程是 四、解答题（共9小题）17. 已知直线 l1:m2x+m+2y+1=0，l2:m24xmy3=0（1）若 l1l2，求实数 m 的值；（2）若 l1l2，求实数 m 的值 18. 是否存在实数 k, 使直线 l1:k3x+4ky+1=0 与直线 l2:2k3x2y+2k=0 平行?若存在，求 k 的值；若不存在，请说明理由 19. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ABC 的三个顶点的坐标分别为 A3,2，B4,3，C1,2（1）求 ABC 中，BC 边上的高线所在直线的方程；（2）求 ABC 的面积 20. 已知 ABC 的两个顶点的坐标分别是 A2,1，B4,3，且 ABC 的垂心坐标为 H0,2分别求 BC，AC 边所在的直线方程 21. 已知点 P2,1（1）求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线 l 的方程；（2）求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程，最大距离是多少?（3）是否存在过点 P 且与原点的距离为 6 的直线?若存在，求出方程；若不存在，请说明理由 22. 设集合 M=l直线l与直线y=2x相交,且以交点的横坐标为斜率，问：（1）点 2,2 与 M 中哪条直线的距离最小?（2）设 a 是正实数，点 P2,a 与 M 中的直线距离的最小值记为 dmin，求：dmin 的解析式 23. 在直线 l:3xy1=0 上求一点 P，使得：（1）P 到 A4,1 和 B0,4 的距离之差最大；（2）P 到 A4,1 和 C3,4 的距离之和最小 24. 已知直线 l:y=12x1（1）求点 P3,4 关于 l 对称的点 Q；（2）求 l 关于点 2,3 对称的直线方程 25. 已知三条直线：l1:2xy+a=0a0；l2:4x2y1=0；l3:x+y1=0，且 l1 与 l2 间的距离是 7510（1）求 a 的值；（2）能否找到一点 P，使 P 同时满足下列三个条件：点 P 在第一象限；点 P 到 l1 的距离是点 P 到 l2 的距离的 12；点 P 到 l1 的距离与点 P 到 l3 的距离之比是 2:5若能，求点 P 的坐标；若不能，请说明理由答案1. C【解析】因为直线 kx+1ky3=0 和直线 k1x+2k+3y2=0 互相垂直，所以 kk1+1k2k+3=0，解得 k=1 或 k=32. A【解析】因为两直线垂直，直线 3x4y+6=0 的斜率为 34，所以所求直线的斜率 k=43，则直线方程为 y1=43x4，化简得 4x+3y13=03. D【解析】点 1,1 到直线 xy+1=0 的距离是：11+112+12=32=3224. A【解析】因为两条直线 ax+2y1=0 与 3x6y1=0 垂直，所以 a236=1，解得 a=45. B【解析】“直线 l1：2x+m+1y+4=0 与直线 l2：mx+3y2=0 平行”“m=2 或 m=3”“m=2”“直线 l1：2x+m+1y+4=0 与直线 l2：mx+3y2=0 平行”，“直线 l1：2x+m+1y+4=0 与直线 l2：mx+3y2=0 平行”是“m=2”的必要不充分条件6. D【解析】y=xtan+2 中斜率为 tan，但 并不一定为倾斜角7. C【解析】设 P 点坐标为 x,53x，则 P 点到直线 xy1=0 的距离 d=x53x12=4x62=2，所以 2x3=1，所以 x=1 或 x=2所以 P 点坐标为 1,2 或 2,18. A【解析】设点 P 的坐标为 x0,kx0+b，于是 00+22x0kx0+b+220，即 1kx0b+20 对任意实数 x0 均成立，于是有 1k=0，且 b+209. B【解析】P1a1,b1 与 P2a2,b2 是直线 y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，直线 y=kx+1 的斜率存在，所以 k=b2b1a2a1，即 a1a2，并且 b1=ka1+1，b2=ka2+1，所以 a2b1a1b2=ka1a2ka1a2+a2a1=a2a1 a1x+b1y=1,a2x+b2y=1, b2 b1 得：a1b2a2b1x=b2b1，即 a1a2x=b2b1所以方程组有唯一解故选B10. A， D【解析】依题意知，63=a2c1，解得 a=4，c2，即直线 6x+ay+c=0 可化为 3x2y+c2=0，又两平行线之间的距离为 21313，所以 c2+132+22=21313，解得 c=2或611. 23【解析】因为直线 ax2y1=0 与直线 3xy+1=0 垂直，所以 3a+21=0，解得 a=2312. 2【解析】因为 2=1+90，故 tan2=1tan1=2，所以 m=213. 22【解析】设 P 坐标为 x,y，由题意可知 x22+y2=22x42+y2，化简得 x2+y2=8，所以 P 到原点的距离为 x2+y2=2214. 1【解析】由两直线垂直得 mm+2+1=0，解得 m=115. 10,6【解析】设 Dx,y，由已知得 kAB=231=1，kBC=4203=23，显然直线 CD，AD 的斜率都存在，kCD=y4x，kAD=yx1因为 ABCD，ADBC，所以 kABkCD=1，kAD=kBC，所以 1y4x=1,yx1=23, 解得 x=10,y=6, 即 D10,616. x+2y3=0【解析】当两条平行直线与 A 、 B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大因为 A1,1 、 B0,1，所以 kAB=1101=2，所以当 l1，l2 间的距离最大时，直线 l1 的斜率为 k=12，所以当 l1，l2 间的距离最大时，直线 l1 的方程是 y1=12x1，即 x+2y3=017. （1） （方法一）因为 l1l2，所以 m2m=m+2m24，解得 m=2 或 m=1 或 m=4，验证知两直线不重合，所以 m=2 或 m=1 或 m=4 时，l1l2（方法二）当 l1 斜率不存在，即 m=2 时，代入直线方程，知 l1l2；当 l2 斜率不存在，即 m=0 时，代入直线方程，知 l1 与 l2 既不平行又不垂直；当 l1，l2 斜率存在，即 m0，m2 时，可求 l1，l2 的斜率分别为 k1=m2m+2，k2=m24m，截距分别为 b1=1m+2，b2=3m，若 l1l2，由 k1=k2，b1b2，解得 m=2 或 m=1 或 m=4；综上，当 m=2 或 m=1 或 m=4 时，l1l2（2） （方法一）因为 l1l2，所以 m2m24+mm+2=0，解得 m=2 或 m=1 或 m=4（方法二）若 l1l2，由 k1k2=1，解得 m=1 或 m=4综上，当 m=2 或 m=1 或 m=4 时，l1l218. k=3或519. （1） 因为直线 BC 的斜率 kBC=3+24+1=1，所以 BC 边上的高线的斜率 k=1，所以 BC 边上的高线所在直线的方程为 y2=x+3，即 x+y+1=0（2） 因为 B4,3，C1,2，所以 BC=232+142=52由 B4,3，C1,2，得到直线 BC 的方程为 xy1=0，所以点 A 到直线 BC 的距离 d=3212=32，所以 SABC=125232=1520. 设 Cx,y，则 CHAB，AHBC， y2x=32,y+3x4=2x=67,y=237, 直线 BC 的方程为 y=2x+5，直线 AC 的方程为 y=45x+13521. （1） 过点 P 的直线 l 与原点的距离为 2，而点 P 的坐标为 2,1，显然，过点 P2,1 且垂直于 x 轴的直线满足条件，此时直线 l 的斜率不存在，其方程为 x=2若斜率存在，设 l 的方程为 y+1=kx2，即 kxy2k1=0由已知得 2k1k2+1=2，解得 k=34此时 l 的方程为 3x4y10=0综上可得直线 l 的方程为 x=2 或 3x4y10=0（2） 作图可得过点 P 与原点 O 的距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线，如图所示由 lOP，得 klkOP=1，所以 kl=1kOP=2由直线方程的点斜式，得 y+1=2x2，即 2xy5=0所以直线 2xy5=0 是过点 P 且与原点 O 的距离最大的直线，最大距离为 55=5（3） 由（2）可知，过点 P 不存在到原点的距离超过 5 的直线，因此不存在过点 P 且到原点的距离为 6 的直线22. （1） 设直线 l:y2k=kxk，即 kxy+k2k=0，点 2,2 到 l 的距离 d=2k2+2kk21+k2=k2+21+k2=1+k2+11+k22，当且仅当 1+k2=1，即 k=0 时，取到最小值 2，此时 l 为 y=0（2） P 到 l 的距离 d=k2+a1+k2=1+k2+a11+k2，令 t=1+k21,+，则 dt=t+a1t，t1,+当 a10，即 0a1 时，dt 在 t1,+ 上单调递增，dmin=d1=a；当 0a11，即 11，即 a2 时，dt 在 t1,+ 上先减后增，当 t=a1 时，取到最小值，dmin=da1=2a1综上，dmin=a,0223. （1） 如图，设点 B 关于 l 的对称点 B 的坐标为 a,b，则 kBBkl=1，即 3b4a=1所以 a+3b12=0. 又由于线段 BB 的中点坐标为 a2,b+42，且在直线 l 上，所以 3a2b+421=0，即 3ab6=0. 解 得 a=3,b=3，所以 B3,3于是 AB 的方程为 y131=x434，即 2x+y9=0解 3xy1=0,2x+y9=0, 得 x=2,y=5. 即 l 与 AB 的交点坐标为 2,5，故 P 点坐标为 2,5（2） 如图，设 C 关于 l 的对称点为 C，求出 C 的坐标为 35,245所以 AC 所在直线的方程为 19x+17y93=0，从而可得 AC 和 l 的交点坐标为 117,267，故 P 点坐标为 117,26724. （1） 设点 Qx0,y0，由于 PQl，且 PQ 的中点在 l 上，有 y04x03=2,y0+42=12x0+321, 解得 x0=295,y0=85, 所以点 Q295,85（2） 在 l 上任取一点，如 M0,1，则点 M 关于点 2,3 对称的点为 N4,7因为所求直线过点 N 且与 l 平行，所以方程为 y7=12x4，即 x2y+10=025. （1） 直线 l2:2xy12=0，所以两条平行直线 l1 与 l2 间的距离为 d=a1222+12=7510，所以 a+125=7510，即 a+12=72，又 a0，解得 a=3（2） 假设存在点 P，设点 Px0,y0若点 P 满足条件，则点 P 在与 l1，l2 平行的直线 l:2xy+c=0 上，且 c35=12c+125，即 c=132或116，所以直线 l 的方程为 2x0y0+132=0 或 2x0y0+116=0；若点 P 满足条件，由点到直线的距离公式，有 2x0y0+35=25x0+y012，即 2x0y0+3=x0+y01，所以 x02y0+4=0 或 3x0+2=0；由于点 P 在第一象限，所以 3x0+2=0 不可能，联立方程得 2x0y0+132=0,x02y0+4=0, 解得 x0=3,y0=12（舍去）；联立方程得 2x0y0+116=0,x02y0+4=0, 解得 x0=19,y0=3718. 所以存在点 P19,3718 同时满足三个条件第9页（共9 页）