2023届大一轮复习 第51讲 椭圆的方程（含解析）

2023届大一轮复习 第51讲 椭圆的方程 一、选择题（共10小题）1. 椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为 A. 4B. 12C. 13D. 14 2. 已知方程 x2m1+y22m=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是 A. ,2B. 1,2C. ,11,2D. ,11,32 3. 设定点 F10,3，F20,3，动点 P 满足条件 PF1+PF2=a+9aa0，则点 P 的轨迹是 A. 椭圆B. 线段C. 不存在D. 椭圆或线段 4. 已知椭圆 x24+y22=1 上有一点 P，F1，F2 是椭圆的左，右焦点，若 F1PF2 为直角三角形，则这样的点 P 有 A. 3 个B. 4 个C. 6 个D. 8 个 5. 设椭圆 x2a2+y2b2=1ab0 的左、右焦点分别为 F1，F2，上顶点为 B，若 BF2=F1F2=2，则该椭圆的方程为 A. x24+y23=1B. x23+y2=1C. x22+y2=1D. x24+y2=1 6. 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P 是侧面 BB1C1C 内一动点，若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离相等，则动点 P 的轨迹所在曲线是 A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线 7. 若方程 x2k4+y210k 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 A. 4,+B. 4,7C. 4,10D. 7,10 8. 设椭圆的标准方程为 x2k3+y25k=1，若其焦点在 x 轴上，则 k 的取值范围是 A. k3B. 3k5C. 4k5D. 3kb0 的左、右焦点分别为 F1，F2，M 为椭圆上一动点，F1MF2 面积的最大值为 12ab，则椭圆的离心率为 A. 12B. 1C. 35D. 31 10. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1ab0 和圆 O:x2+y2=b2，过椭圆 C 上一点 P 引圆 O 的两条切线，切点分别为 A，B若椭圆上存在点 P，使得 PAPB=0，则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是 A. 12,1B. 0,22C. 22,1D. 12,22 二、填空题（共7小题）11. 平面内动点 P 到点 F0,2 的距离和到直线 l:y=2 的距离相等，则动点 P 的轨迹方程为是 12. 直线 x2y+2=0 过椭圆 x2a2+y2b2=1 的左焦点 F1 和一个顶点 B，则椭圆的方程为 13. 曲线 3x2+ky2=6 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是 14. 已知椭圆 C:x22+y2=1 的两焦点为 F1，F2，点 Px0,y0 满足 0x022+y020 的离心率 e=32，求实数 m 的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标 21. 设椭圆 x2a2+y2b2ab0，已知椭圆的短轴长为 4，离心率为 55求椭圆的方程答案1. D【解析】因为椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，所以 1m=21，解得 m=142. D【解析】由题意得 m10,2m0,2mm1, 即 m1或m1,m2,m32, 所以 1m32 或 m0,10k0,k410k, 解得 7k5k0，即 2k8,5k0, 所以 k4,k5, 所以 4k59. A【解析】显然，当 M 在椭圆短轴端点时，F1MF2 面积取最大值，则 12ab=122cb，所以 a=2c，所以离心率 e=12故选A10. C【解析】由 PAPB=0，可得 APB=90，利用圆的性质，可得 OP=2b所以 OP2=2b2a2，所以 a22c2，所以 e212，又因为 0e1，所以 22e1故选C11. x2=8y12. x25+y2=1【解析】直线 x2y+2=0 与 x 轴的交点为 2,0，即为椭圆的左焦点，故 c=2直线 x2y+2=0 与 y 轴的交点为 0,1，即为椭圆的上顶点，故 b=1 所以 a2=b2+c2=5， 所以椭圆的方程为 x25+y2=113. 3,+14. 2,22【解析】由点 Px0,y0 满足 0x022+y021，可知 Px0,y0 一定在椭圆内（不包括原点），因为 a=2，b=1，所以由椭圆的定义可知 PF1+PF24，则 2c=4，所以动点 M 的轨迹是以 0,2 和 0,2 为焦点，长轴长是 6 的椭圆，则 a=3，c=2，所以 b2=94=5，所以 M 的轨迹方程为 x29+y25=118. x210+y25=119. 设所求椭圆的标准方程为 x2a2+y2b2=1ab0设焦点 F1c,0，F2c,0c0因为 F1AF2A，所以 F2AF2A=0，而 F1A=4+c,3，F2A=4c,3，所以 4+c4c+32=0，所以 c2=25，即 c=5所以 F15,0，F25,0，所以 2a=AF1+AF2=4+52+32+452+32=10+90=410所以 a=210，所以 b2=a2c2=210252=15所以所求椭圆的标准方程为 x240+y215=120. 椭圆方程可化为 x2m+y2mm+3=1，由 mmm+3=mm+2m+30，可知 mmm+3，所以 a2=m，b2=mm+3，c=a2b2=mm+2m+3，由 e=32，得 m+2m+3=32，解得 m=1故椭圆的标准方程为 x2+y214=1，则 a=1，b=12，c=32所以椭圆的长轴长为 2，短轴长为 1；两焦点坐标分别为 32,0，32,0；四个顶点坐标分别为 1,0，1,0，0,12，0,1221. 设椭圆的半焦距为 c，依题意，2b=4，ca=55，又 a2=b2+c2，可得 a=5，b=2，c=1所以，椭圆的方程为 x25+y24=1第5页（共5 页）