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专题检测(三)数列、推理与证明(本卷满分150分,考试用时120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共计60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知等差数列an中,a7a916,a41,则a12的值是A15B30C31 D64解析由等差数列的性质得a7a9a4a12,因为a7a916,a41,所以a1215.故选A.答案A2在数列an中,a12,an1,则a2 010等于A2 BC D3解析由条件可得:a12,a2,a3,a43,a52,a6,所以数列an是以4为周期的周期数列,所以a2 010a2.故选B.答案B3(2011东营模拟)等差数列an的前n项和为Sn,已知a113,S3S11,当Sn最大时,n的值是A5 B6C7 D8解析由S3S11,得a4a5a110,根据等差数列的性质 ,可得a7a80,根据首项等于13可推知这个数列递减,从而得到a70,a80,故n7时Sn最大故选C.答案C4设Sn是等差数列an的前n项和,若,则等于A. B.C. D.解析由等差数列的求和公式,可得,可得a12d且d0,所以,故选A.答案A5已知等比数列an的前n项和Snt5n2,则实数t的值为A4 B5C. D.解析a1S1t,a2S2S1t,a3S3S24t,由an是等比数列,知24t,显然t0,解得t5.答案B6(2011皖南八校联考)观察下图:12343456745678910则第()行的各数之和等于2 0092.A. 2 010 B2 009C1 006 D1 005解析由题设图知,第一行各数和为1;第二行各数和为932;第三行各数和为2552;第四行各数和为4972;,第n行各数和为(2n1)2,令2n12 009,解得n1 005.答案D7(2011武汉重点中学1月联考)已知正项等比数列an,a12,又bnlog2an,且数列bn的前7项和T7最大,T7T6,且T7T8,则数列an的公比q的取值范围是AqBqCq或q Dq或q解析bnlog2an,而an是以a12为首项,q为公比的等比数列,bnlog2anlog2a1qn11(n1)log2q.bn1bnlog2q.bn是等差数列,由于前7项之和T7最大,且T7T6,所以有解得log2q,即q.故选B.答案B8已知数列A:a1,a2,an(0a1a2an,n3)具有性质P:对任意i,j(1ijn),ajai与ajai两数中至少有一个是该数列中的一项现给出以下四个命题:数列0,1,3具有性质P;数列0,2,4,6具有性质P;若数列A具有性质P,则a10;若数列a1,a2,a3(0a1a2a3)具有性质P,则a1a32a2.其中真命题有A4个 B3个C2个 D1个解析31,31都不在数列0,1,3中,所以错;因为数列1,4,5具有性质P,但1524,即a1a32a2,且a110,所以错;数列0,2,4,6中ajai(1ij4)在此数列,所以正确,所以选D.答案D9设函数f(x)xmax的导函数为f(x)2x2.则数列(nN)的前n项和是A. B.C. D.解析依题意得f(x)mxm1a2x2,则ma2,f(x)x22x,数列的前n项和等于,选C.答案C10等差数列an的前16项和为640,前16项中偶数项和与奇数项和之比为2218,则公差d,的值分别是A8, B9,C9, D8,解析设S奇a1a3a15,S偶a2a4a16,则有S偶S奇(a2a1)(a4a3)(a16a15)8d,.由解得S奇288,S偶352.因此d8,.故选D.答案D11(2011衡水模拟)数列an满足a1,an1aan1(nN),则m的整数部分是A3 B2C1 D0解析依题意,得a1,a2,a32,an1an(an1)20,数列an是递增数列,a2 010a32,a2 01011,122.由an1aan1得,故2(1,2),因此选C.答案C12已知等比数列an中,a21,则其前3项的和S3的取值范围是A(,1 B(,1)(1,)C3,) D(,13,)解析等比数列an中,a21,S3a1a2a3a21q.当公比q0时,S31q12 3,当公比q0时,S3112 1,S3(,13,)答案D二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共计16分把答案填在题中的横线上)13观察下列等式:可以推测:132333n3_(nN,用含有n的代数式表示)解析第二列等式右端分别是11,33,66,1010,1515,与第一列等式右端比较即可得,132333n3(123n)2n2(n1)2.故填n2(n1)2.答案n2(n1)214(2011广东)已知an是递增等比数列,a22,a4a34,则此数列的公比q_.解析由a22,a4a34得方程组q2q20,解得q2或q1.又an是递增等比数列,故q2.答案215在公差为d(d0)的等差数列an中,若Sn是数列an的前n项和,则数列S20S10,S30S20,S40S30也成等差数列,且公差为100d.类比上述结论,相应地在公比为q(q1)的等比数列bn中,若Tn是数列bn的前n项积,则有_答案,也成等比数列,且公比为q10016经计算发现下列正确不等式:2,2,2,根据以上不等式的规律,试写出一个对正实数a,b成立的条件不等式:_.解析当ab20时,有2,a,b(0,)给出的三个式子的右边都是2,左边都是两个根式相加,两个被开方数都是正数且和为20,又2,所以根据上述规律可以写出一个对正实数a,b成立的条件不等式:当ab20时,有2,a,b(0,)答案当ab20时,有2,a,b(0,)三、解答题(本大题共6小题,共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)设等差数列an的前n项和为Sn,公比是正数的等比数列bn的前n项和为Tn.已知a11,b13,a3b317,T3S312,求an,bn的通项公式解析设an的公差为d,bn的公比为q.由a3b317得12d3q217,由T3S312得q2qd4.由、及q0解得q2,d2.故所求的通项公式为an2n1,bn32n1.18(12分)(2011江西师大附中模拟)已知等比数列an的公比q1,4是a1和a4的等比中项,a2和a3的等差中项为6,若数列bn满足bnlog2an(nN)(1)求数列an的通项公式;(2)求数列anbn的前n项和Sn.解析(1)因为4是a1和a4的等比中项,所以a1a4(4)232.从而可知a2a332.因为6是a2和a3的等差中项,所以a2a312.因为q1,所以a3a2.联立,解得所以q2,a12.故数列an的通项公式为an2n.(2)因为bnlog2an(nN),所以anbnn2n.所以Sn12222323(n1)2n1n2n.2Sn122223(n1)2nn2n1.得,Sn222232nn2n1n2n1.所以Sn22n1n2n1.19(12分)已知等差数列an满足:a37,a5a726.an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn;(2)令bn(nN),求数列bn的前n项和Tn.解析(1)设等差数列an的公差为d,由于a37,a5a726,所以a12d7,2a110d26,解得a13,d2.由于ana1(n1)d,Sn,所以an2n1,Snn(n2)(2)因为an2n1,所以a14n(n1),因此bn.故Tnb1b2bn,所以数列bn的前n项和Tn.20(12分)已知椭圆C:1(ab0)具有性质:若M,N是椭圆上关于原点O对称的两点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值,试写出双曲线1(a0,b0)具有类似特性的性质并加以证明解析可以通过类比得:若M,N是双曲线1(a0,b0)上关于原点O对称的两点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值证明设点M(m,n),则N(m,n),又设点P的坐标为P(x,y),则kPM,kPN,注意到1,点P(x,y)在双曲线1上,故y2b2,n2b2,代入kPMkPN可得:kPMkPN(常数),即kPMkPN是与点P的位置无关的定值21(12分)(2011湖南)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M,M的价值在使用过程中逐年减少从第2年到第6年,每年初M的价值比上年初减少10万元;从第7年开始,每年初M的价值为上年初的75%.(1)求第n年初M的价值an的表达式;(2)设An,若An大于80万元,则M继续使用,否则须在第n年初对M更新证明:须在第9年初对M更新解析(1)当n6时,数列an是首项为120,公差为10的等差数列,an12010(n1)13010n;当n6时,数列an是以a6为首项,为公比的等比数列,又a670,所以an70n6.因此,第n年初,M的价值an的表达式为an(2)证明设Sn表示数列an的前n项和,由等差及等比数列的求和公式得当1n6时,Sn120n5n(n1),An1205(n1)1255n;当n7时,由于S6570,故SnS6(a7a8an)570704780210n6,An.易知An是递减数列,又A88280,A97680,所以须在第9年初对M更新22(14分)(2011洛阳模拟)已知数列an中,a11,an1c.(1)设c,bn,求数列bn的通项公式;(2)求使不等式anan13成立的c的取值范围解析(1)an122,2,即bn14bn2.bn14,又a11,故b11,所以是首项为,公比为4的等比数列,bn4n1,bn.(2)a11,a2c1,由a2a1得c2.用数学归纳法证明:当c2时,anan1.(i)当n1时,a2ca1,命题成立;(ii)假设当nk(k1,kN)时,akak1,则当nk1时,ak2ccak1.故由(i)(ii)知当c2时,anan1.当c2时,令,由anan1c得an.当2c时,an3.当c时,3,且1an,于是an1(an)(an),an1(1)当nlog3时,an13,an13.因此c不符合要求所以c的取值范围是.
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