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专题检测(三)数列、推理与证明(本卷满分150分，考试用时120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共计60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知等差数列an中，a7a916，a41，则a12的值是A15B30C31 D64解析由等差数列的性质得a7a9a4a12，因为a7a916，a41，所以a1215.故选A.答案A2在数列an中，a12，an1，则a2 010等于A2 BC D3解析由条件可得：a12，a2，a3，a43，a52，a6，所以数列an是以4为周期的周期数列，所以a2 010a2.故选B.答案B3(2011东营模拟)等差数列an的前n项和为Sn，已知a113，S3S11，当Sn最大时，n的值是A5 B6C7 D8解析由S3S11，得a4a5a110，根据等差数列的性质 ，可得a7a80，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a70，a80，故n7时Sn最大故选C.答案C4设Sn是等差数列an的前n项和，若，则等于A. B.C. D.解析由等差数列的求和公式，可得，可得a12d且d0，所以，故选A.答案A5已知等比数列an的前n项和Snt5n2，则实数t的值为A4 B5C. D.解析a1S1t，a2S2S1t，a3S3S24t，由an是等比数列，知24t，显然t0，解得t5.答案B6(2011皖南八校联考)观察下图：12343456745678910则第()行的各数之和等于2 0092.A. 2 010 B2 009C1 006 D1 005解析由题设图知，第一行各数和为1；第二行各数和为932；第三行各数和为2552；第四行各数和为4972；，第n行各数和为(2n1)2，令2n12 009，解得n1 005.答案D7(2011武汉重点中学1月联考)已知正项等比数列an，a12，又bnlog2an，且数列bn的前7项和T7最大，T7T6，且T7T8，则数列an的公比q的取值范围是AqBqCq或q Dq或q解析bnlog2an，而an是以a12为首项，q为公比的等比数列，bnlog2anlog2a1qn11(n1)log2q.bn1bnlog2q.bn是等差数列，由于前7项之和T7最大，且T7T6，所以有解得log2q，即q.故选B.答案B8已知数列A：a1，a2，an(0a1a2an，n3)具有性质P：对任意i，j(1ijn)，ajai与ajai两数中至少有一个是该数列中的一项现给出以下四个命题：数列0,1,3具有性质P；数列0,2,4,6具有性质P；若数列A具有性质P，则a10；若数列a1，a2，a3(0a1a2a3)具有性质P，则a1a32a2.其中真命题有A4个 B3个C2个 D1个解析31,31都不在数列0,1,3中，所以错；因为数列1,4,5具有性质P，但1524，即a1a32a2，且a110，所以错；数列0,2,4,6中ajai(1ij4)在此数列，所以正确，所以选D.答案D9设函数f(x)xmax的导函数为f(x)2x2.则数列(nN)的前n项和是A. B.C. D.解析依题意得f(x)mxm1a2x2，则ma2，f(x)x22x，数列的前n项和等于，选C.答案C10等差数列an的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为2218，则公差d，的值分别是A8， B9，C9， D8，解析设S奇a1a3a15，S偶a2a4a16，则有S偶S奇(a2a1)(a4a3)(a16a15)8d，.由解得S奇288，S偶352.因此d8，.故选D.答案D11(2011衡水模拟)数列an满足a1，an1aan1(nN)，则m的整数部分是A3 B2C1 D0解析依题意，得a1，a2，a32，an1an(an1)20，数列an是递增数列，a2 010a32，a2 01011，122.由an1aan1得，故2(1,2)，因此选C.答案C12已知等比数列an中，a21，则其前3项的和S3的取值范围是A(，1 B(，1)(1，)C3，) D(，13，)解析等比数列an中，a21，S3a1a2a3a21q.当公比q0时，S31q12 3，当公比q0时，S3112 1，S3(，13，)答案D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共计16分把答案填在题中的横线上)13观察下列等式：可以推测：132333n3_(nN，用含有n的代数式表示)解析第二列等式右端分别是11,33,66,1010,1515，与第一列等式右端比较即可得，132333n3(123n)2n2(n1)2.故填n2(n1)2.答案n2(n1)214(2011广东)已知an是递增等比数列，a22，a4a34，则此数列的公比q_.解析由a22，a4a34得方程组q2q20，解得q2或q1.又an是递增等比数列，故q2.答案215在公差为d(d0)的等差数列an中，若Sn是数列an的前n项和，则数列S20S10，S30S20，S40S30也成等差数列，且公差为100d.类比上述结论，相应地在公比为q(q1)的等比数列bn中，若Tn是数列bn的前n项积，则有_答案，也成等比数列，且公比为q10016经计算发现下列正确不等式：2，2，2，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b成立的条件不等式：_.解析当ab20时，有2，a，b(0，)给出的三个式子的右边都是2，左边都是两个根式相加，两个被开方数都是正数且和为20，又2，所以根据上述规律可以写出一个对正实数a，b成立的条件不等式：当ab20时，有2，a，b(0，)答案当ab20时，有2，a，b(0，)三、解答题(本大题共6小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)设等差数列an的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列bn的前n项和为Tn.已知a11，b13，a3b317，T3S312，求an，bn的通项公式解析设an的公差为d，bn的公比为q.由a3b317得12d3q217，由T3S312得q2qd4.由、及q0解得q2，d2.故所求的通项公式为an2n1，bn32n1.18(12分)(2011江西师大附中模拟)已知等比数列an的公比q1,4是a1和a4的等比中项，a2和a3的等差中项为6，若数列bn满足bnlog2an(nN)(1)求数列an的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和Sn.解析(1)因为4是a1和a4的等比中项，所以a1a4(4)232.从而可知a2a332.因为6是a2和a3的等差中项，所以a2a312.因为q1，所以a3a2.联立，解得所以q2，a12.故数列an的通项公式为an2n.(2)因为bnlog2an(nN)，所以anbnn2n.所以Sn12222323(n1)2n1n2n.2Sn122223(n1)2nn2n1.得，Sn222232nn2n1n2n1.所以Sn22n1n2n1.19(12分)已知等差数列an满足：a37，a5a726.an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn(nN)，求数列bn的前n项和Tn.解析(1)设等差数列an的公差为d，由于a37，a5a726，所以a12d7,2a110d26，解得a13，d2.由于ana1(n1)d，Sn，所以an2n1，Snn(n2)(2)因为an2n1，所以a14n(n1)，因此bn.故Tnb1b2bn，所以数列bn的前n项和Tn.20(12分)已知椭圆C：1(ab0)具有性质：若M，N是椭圆上关于原点O对称的两点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值，试写出双曲线1(a0，b0)具有类似特性的性质并加以证明解析可以通过类比得：若M，N是双曲线1(a0，b0)上关于原点O对称的两点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值证明设点M(m，n)，则N(m，n)，又设点P的坐标为P(x，y)，则kPM，kPN，注意到1，点P(x，y)在双曲线1上，故y2b2，n2b2，代入kPMkPN可得：kPMkPN(常数)，即kPMkPN是与点P的位置无关的定值21(12分)(2011湖南)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.(1)求第n年初M的价值an的表达式；(2)设An，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新证明：须在第9年初对M更新解析(1)当n6时，数列an是首项为120，公差为10的等差数列，an12010(n1)13010n；当n6时，数列an是以a6为首项，为公比的等比数列，又a670，所以an70n6.因此，第n年初，M的价值an的表达式为an(2)证明设Sn表示数列an的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当1n6时，Sn120n5n(n1)，An1205(n1)1255n；当n7时，由于S6570，故SnS6(a7a8an)570704780210n6，An.易知An是递减数列，又A88280，A97680，所以须在第9年初对M更新22(14分)(2011洛阳模拟)已知数列an中，a11，an1c.(1)设c，bn，求数列bn的通项公式；(2)求使不等式anan13成立的c的取值范围解析(1)an122，2，即bn14bn2.bn14，又a11，故b11，所以是首项为，公比为4的等比数列，bn4n1，bn.(2)a11，a2c1，由a2a1得c2.用数学归纳法证明：当c2时，anan1.(i)当n1时，a2ca1，命题成立；(ii)假设当nk(k1，kN)时，akak1，则当nk1时，ak2ccak1.故由(i)(ii)知当c2时，anan1.当c2时，令，由anan1c得an.当2c时，an3.当c时，3，且1an，于是an1(an)(an)，an1(1)当nlog3时，an13，an13.因此c不符合要求所以c的取值范围是.
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