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G单元 立体几何 目录G单元 立体几何1G1 空间几何体的结构1G2 空间几何体的三视图和直观图10G3 平面的基本性质、空间两条直线24G4 空间中的平行关系24G5 空间中的垂直关系39G6 三垂线定理59G7 棱柱与棱锥60G8 多面体与球68G9空间向量及运算69G10 空间向量解决线面位置关系72G11 空间角与距离的求法72G12 单元综合91G1 空间几何体的结构【名校精品解析系列】数学理卷2015届河南省安阳一中等天一大联考高三阶段测试（三）（201412）word版】(9)如图的几何体是长方体 的一部分，其中 则该几何体的外接球的表面积为(A (B) (C) ( D)【知识点】几何体的结构. G1【答案】【解析】B 解析：该几何体的外接球即长方体的外接球，而若长方体 的外接球半径为R ，则长方体的体对角线为2R，所以，所以该几何体的外接球的表面积，故选 B. 【思路点拨】分析该几何体的外接球与长方体的外接球的关系，进而得结论. 【名校精品解析系列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】15正方体为棱长为1，动点分别在棱上，过点的平面截该正方体所得的截面记为，设其中，下列命题正确的是_.（写出所有正确命题的编号）当时，为矩形，其面积最大为1；当时，为等腰梯形；当时，设与棱的交点为，则；当时，以为顶点，为底面的棱锥的体积为定值。【知识点】正方体的特征G1【答案】【解析】 解析：当时，为矩形，其最大面积为1，所以错误；当时，截面如图所示，所以正确；当时，如图，设S与棱C1D1的交点为R，延长DD1，使DD1QR=N，连接AN交A1D1于S，连接SR，可证ANPQ，由NRD1QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N，可得，正确；当y=1时，以B1为顶点，S为底面的棱锥B1-APC1M如图所示，该四棱锥的体积为,所以正确综上可知答案为.【思路点拨】可结合线面平行的性质作出其截面，结合其截面特征进行解答.【名校精品解析系列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】15正方体为棱长为1，动点分别在棱上，过点的平面截该正方体所得的截面记为，设其中，下列命题正确的是_.（写出所有正确命题的编号）当时，为矩形，其面积最大为1；当时，为等腰梯形；当时，设与棱的交点为，则；当时，以为顶点，为底面的棱锥的体积为定值。【知识点】正方体的特征G1【答案】【解析】 解析：当时，为矩形，其最大面积为1，所以错误；当时，截面如图所示，所以正确；当时，如图，设S与棱C1D1的交点为R，延长DD1，使DD1QR=N，连接AN交A1D1于S，连接SR，可证ANPQ，由NRD1QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N，可得，正确；当y=1时，以B1为顶点，S为底面的棱锥B1-APC1M如图所示，该四棱锥的体积为,所以正确综上可知答案为.【思路点拨】可结合线面平行的性质作出其截面，结合其截面特征进行解答.【名校精品解析系列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】15正方体为棱长为1，动点分别在棱上，过点的平面截该正方体所得的截面记为，设其中，下列命题正确的是_.（写出所有正确命题的编号）当时，为矩形，其面积最大为1；当时，为等腰梯形；当时，设与棱的交点为，则；当时，以为顶点，为底面的棱锥的体积为定值。【知识点】正方体的特征G1【答案】【解析】 解析：当时，为矩形，其最大面积为1，所以错误；当时，截面如图所示，所以正确；当时，如图，设S与棱C1D1的交点为R，延长DD1，使DD1QR=N，连接AN交A1D1于S，连接SR，可证ANPQ，由NRD1QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N，可得，正确；当y=1时，以B1为顶点，S为底面的棱锥B1-APC1M如图所示，该四棱锥的体积为,所以正确综上可知答案为.【思路点拨】可结合线面平行的性质作出其截面，结合其截面特征进行解答.【名校精品解析系列】数学文卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】15正方体为棱长为1，动点分别在棱上，过点的平面截该正方体所得的截面记为，设其中，下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）当时，为矩形，其面积最大为1；当时，为等腰梯形；当时，为六边形；当时，设与棱的交点为，则。【知识点】正方体的特征G1【答案】【解析】 解析：当时，为矩形，其最大面积为1，所以错误；当时，截面如图所示，所以正确；当时，截面如图，所以错误；当时，如图，设S与棱C1D1的交点为R，延长DD1，使DD1QR=N，连接AN交A1D1于S，连接SR，可证ANPQ，由NRD1QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N，可得，正确；综上可知正确的序号应为.【思路点拨】可结合线面平行的性质作出其截面，结合其截面特征进行解答.G2 空间几何体的三视图和直观图【数学理卷2015届湖北省部分高中高三元月调考（201501）】4.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是( ) A. B. C. D. 【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案】C【解析】俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，故底面外接圆半径r=，由主视图中棱锥的高h=1，故棱锥的外接球半径R满足：R=，故该几何体外接球的体积V=R3=.【思路点拨】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，求出底面外接圆半径和棱锥的高，进而利用勾股定理，求出其外接球的半径，代入球的体积公式，可得答案【数学文卷2015届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考（201501）】4某几何体的三视图如右上图所示，则该几何体的体积是（ ） A B C Da2aa正视图左视图俯视图【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案】C【解析】由三视图知几何体为圆锥的，则V=Sh=【思路点拨】根据三视图得到为圆锥的，再根据体积公式求出体积。【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（201501）】11多面体的三视图如图所示，则该多面体表面积为（单位）A B CD【知识点】三视图求表面积.G2【答案】【解析】A 解析：根据多面体的三视图可知该几何体如下图所示：由题意得：,所以,所以,在三角形ABD中，,所以该几何体的表面积为这四个面的面积和，故选A。【思路点拨】先根据多面体的三视图判断出该几何体形状，然后分别求出各个面的面积，再求和即可。【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】7一个几何体的三视图如图示，则这个几何体的体积为( ) A B C D【知识点】三视图G2【答案】【解析】D 解析：由三视图可知该几何体为正方体截取一个角之后剩余的部分，如图，所以其体积为，则选D.【思路点拨】由三视图求几何体的体积，关键是判断原几何体形状，可在熟悉的几何体的三视图基础上进行解答.【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】7一个几何体的三视图如图示，则这个几何体的体积为( ) A B C D【知识点】三视图G2【答案】【解析】D 解析：由三视图可知该几何体为正方体截取一个角之后剩余的部分，如图，所以其体积为，则选D.【思路点拨】由三视图求几何体的体积，关键是判断原几何体形状，可在熟悉的几何体的三视图基础上进行解答.【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】7一个几何体的三视图如图示，则这个几何体的体积为( ) A B C D【知识点】三视图G2【答案】【解析】D 解析：由三视图可知该几何体为正方体截取一个角之后剩余的部分，如图，所以其体积为，则选D.【思路点拨】由三视图求几何体的体积，关键是判断原几何体形状，可在熟悉的几何体的三视图基础上进行解答.【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（201501）】15.多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位） 【知识点】三视图求几何体体积.G2【答案】【解析】 解析：根据多面体的三视图可知该几何体如下图所示：由题意得：，且, ,故答案为。【思路点拨】先根据多面体的三视图判断出该几何体形状，然后利用锥体的体积公式即可。【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（201501）】15.多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位） 【知识点】三视图求几何体体积.G2【答案】【解析】 解析：根据多面体的三视图可知该几何体如下图所示：由题意得：，且, ,故答案为。【思路点拨】先根据多面体的三视图判断出该几何体形状，然后利用锥体的体积公式即可。【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【知识点】三视图G2【答案】【解析】A 解析：由三视图可知该几何体为一个倒放的三棱柱，其底面积为，高为3，所以其体积为，则选A.【思路点拨】由三视图求几何体的体积时，应先分析几何体的特征在进行求值.【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【知识点】三视图G2【答案】【解析】A 解析：由三视图可知该几何体为一个倒放的三棱柱，其底面积为，高为3，所以其体积为，则选A.【思路点拨】由三视图求几何体的体积时，应先分析几何体的特征在进行求值.【名校精品解析系列】数学理卷2015届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性测试（201501）word版】3一个几何体的三视图及其尺寸(单位：)如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）。A BC D 俯视图正(主)视图 8 5 5 8侧(左)视图 8 5 5（第3题图）【知识点】三视图 G2【答案】D【解析】解析：由三视图可得该几何体是底面为8的正四棱锥，且正四棱锥的斜高为5，所以侧面积为：，故选择D.【思路点拨】根据三视图可得该几何体是底面为8的正四棱锥，且正四棱锥的斜高为5，即可求得其侧面积.【名校精品解析系列】数学理卷2015届河南省安阳一中等天一大联考高三阶段测试（三）（201412）word版】(20)（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P -ABCD中，ADDB，其中三棱锥P- BCD的三视图如图所示，且 (1)求证：AD PB(2)若PA与平面PCD所成角的正弦值为 ，求AD的长【知识点】几何体的三视图；垂直关系的判定；线面角的意义. G2 G5 G11【答案】【解析】（1）证明：见解析；（2）6. 解析：由三视图可知又，又。 (2)由(1)可知，PD,AD,BD两两互相垂直，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系.设AD= ,结合sinBDC= 可得.所以设为平面PCD 的法向量，由题意得即，令y=3,则x=4,z=0，得平面PCD的一个法向量. 设PA与平面PCD 所成角为，可得，解之得，即AD=6.【思路点拨】（1）由三视图得此几何体的结构特点，从而得AD平面PBD，进而得结论；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解. 【名校精品解析系列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】6一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积是（）A B C. D.【知识点】三视图G2【答案】【解析】D 解析：由三视图可知该四棱锥各侧面都是直角三角形，因为底面正方形的边长为，四个侧棱长依次为，所以其侧面积为，所以选D.【思路点拨】由三视图求面积或体积，关键是由三视图正确判断原几何体特征.【名校精品解析系列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】6一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积是（）A B C. D.【知识点】三视图G2【答案】【解析】D 解析：由三视图可知该四棱锥各侧面都是直角三角形，因为底面正方形的边长为，四个侧棱长依次为，所以其侧面积为，所以选D.【思路点拨】由三视图求面积或体积，关键是由三视图正确判断原几何体特征.【名校精品解析系列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】6一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积是（）A B C. D.【知识点】三视图G2【答案】【解析】D 解析：由三视图可知该四棱锥各侧面都是直角三角形，因为底面正方形的边长为，四个侧棱长依次为，所以其侧面积为，所以选D.【思路点拨】由三视图求面积或体积，关键是由三视图正确判断原几何体特征.【名校精品解析系列】数学文卷2015届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试（201501）】5如图，若一个空间几何体的三视图中，直角三角形的直角边长均为1，则该几何体的体积为( )A B C D【知识点】由三视图求面积、体积G2【答案】【解析】B 解析：由三视图知，此几何体是一个有一个侧枝垂直于底面且底面是边长为1的正方形，其高也为1，故该几何体的体积为，故选B【思路点拨】由三视图还原出实物图的结构特征及数据，由三视图可以看出此物体是一个四棱锥，根据相关的体积公式求出其体积【名校精品解析系列】数学文卷2015届重庆一中高三12月月考（201412）word版】13.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是_【知识点】三视图G2【答案】【解析】3 解析：由三视图可得出该几何体为四棱锥，体积为V=3，解得x=3，故答案为3.【思路点拨】关键在于看出该几何体为四棱锥，再利用体积计算公式得到关于x的方程，即可解答.【名校精品解析系列】数学文卷2015届湖北省部分高中高三元月调考（201501）】5已知某三棱锥的三视图均为腰长为 2的等腰直角三角形（如图），则该棱锥的表面积为（ ）A BC D【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案】A【解析】由三视图得，该几何体为底面和两个侧面为直角边边长为2的等腰直角三角形，另外一个侧面是一个边长为2的等边三角形，故该棱锥的表面积为S=322+(2)2=.【思路点拨】先由三视图判断出几何体的形状及度量长度，然后利用三棱锥的表面积公式求出该几何体的表面积【名校精品解析系列】数学文卷2015届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性测试（201501）word版】11若某棱锥的三视图(单位：)如图所示，则该棱锥的体积等于。正视图左视图俯视图5343（第11题图）【知识点】三视图 G2【答案】【解析】解析：由三视图知几何体为三角形削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，几何体的体积故答案为.【思路点拨】由三视图知几何体为直三削去一个三棱锥，画出其直观图，根据棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，计算三棱柱与三棱锥的体积，再求差可得答案G3 平面的基本性质、空间两条直线G4 空间中的平行关系【数学（理）卷2015届四川省成都市高中毕业班第一次诊断性检测（201412）word版】17（本小题满分12分）如图，为正三角形，平面，为的中点，（）求证：平面；（）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值【知识点】线面平行，空间向量解决线面位置关系 G4 G10【答案】【解析】（）略（）（）证明：作的中点，连结 在中，又据题意知， ，四边形为平行四边形 ，又平面，平面 平面4分（），平面 在正中，三线两两垂直 分别以为轴，建系如图 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则 平面的一个法向量为 又平面的一个法向量为 平面与平面所成的锐二面角的余弦值8分【思路点拨】（）求证线面平行，可以利用线线平行，本题很容易找出；（）分别求平面与平面的法向量， ，即可求出余弦值【数学（理）卷2015届四川省成都市高中毕业班第一次诊断性检测（201412）word版】8已知，是两条不同直线，是两个不同的平面，且，则下列叙述正确的是 （A）若，则 （B）若，则 （C）若，则 （D）若，则【知识点】线线关系，线面关系 G4 G5【答案】【解析】D解析：A中m，n可能异面；B中，可能相交；C中可能或，故选D.【思路点拨】熟悉空间中线线，线面关系的判断，逐一排除即可.【数学理卷2015届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考（201501）】9如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变, 则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为( ) A B C D【知识点】空间几何体的结构G4【答案】D【解析】蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆直径为1.鸡蛋的表面积为，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离为.而截面到底面的距离即为三角形的高，所以球心到底面的距离为.【思路点拨】先求出球心到截面的距离为，再求球心到底面的距离为。【数学理卷2015届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考（201501）】9如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变, 则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为( ) A B C D【知识点】空间几何体的结构G4【答案】D【解析】蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆直径为1.鸡蛋的表面积为，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离为.而截面到底面的距离即为三角形的高，所以球心到底面的距离为.【思路点拨】先求出球心到截面的距离为，再求球心到底面的距离为。【数学文卷2015届四川省绵阳中学高三上学期第五次月考（201412）】18（本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，为的中点。（1）若，求证：平面平面；（2）点在线段上，试确定的值，使平面；【知识点】平面与平面垂直的判定 直线与平面平行的性质及直线与直线平行的性质 G4 G5【答案】（1）证明详见解析;（2）.【解析】解析：(1)连四边形菱形,，正三角形, 为中点, 的中点, 又平面平面平面平面(2)当时,平面下面证明,若平面,连交于由可得,平面,平面,平面平面, 即:;【思路点拨】（1）由已知条件可证根据平面与平面垂直的判定定理即可求证平面平面（2）连结交于，由可证,即得,由直线与平面平行的性质，可证,即得，所以即.【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（201501）】19（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面,分别为上的动点，且 （）若，求证： （）求三棱锥体积最大值【知识点】线面平行的判定定理；三棱锥的体积.G4 G7【答案】【解析】（）见解析；（） 解析：（）分别取和中点、，连接、，则,所以,四边形为平行四边形,又4分（）在平面内作,因为侧棱底面,所以平面底面,且平面底面,所以,所以7分（或平面中，所以）因为,所以,10分12分的最大值为【思路点拨】（）分别取和中点、，连接、，然后利用线面平行的判定定理即可；（）结合已知条件把体积转化成含的解析式，进而求出最大值即可。【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（201501）】19（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面,分别为上的动点，且 （）若，求证： （）求三棱锥体积最大值【知识点】线面平行的判定定理；三棱锥的体积.G4 G7【答案】【解析】（）见解析；（） 解析：（）分别取和中点、，连接、，则,所以,四边形为平行四边形,又4分（）在平面内作,因为侧棱底面,所以平面底面,且平面底面,所以,所以7分（或平面中，所以）因为,所以,10分12分的最大值为【思路点拨】（）分别取和中点、，连接、，然后利用线面平行的判定定理即可；（）结合已知条件把体积转化成含的解析式，进而求出最大值即可。【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】19.（本小题满分12分）正方形与梯形所在平面互相垂直，点M是EC中点。（1）求证：BM/平面ADEF；（2）求三棱锥的体积.【知识点】平行关系 棱锥的体积G4 G7【答案】【解析】（1）略；（2） 解析：(1)证明：取DE中点N，连接MN，AN，在EDC中，M、N分别为EC，ED的中点，所以MNCD，且MN=CD由已知ABCD，AB=CD，所以MNAB，且MN=AB所以四边形ABMN为平行四边形，所以BMAN，又因为AN平面ADEF，且BM平面ADEF，所以BM平面ADEF；（2）因为EC的中点，所以，因为,且DE与CD相交于D所以 因为,所以AB/平面CDE ，到面的距离,即为 .【思路点拨】证明线面平行通常结合线面平行的判定定理进行证明，求三棱锥体积时，若以所给底面求体积不方便时，可考虑换底面求体积.【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】19.（本小题满分12分）正方形与梯形所在平面互相垂直，点M是EC中点。（1）求证：BM/平面ADEF；（2）求三棱锥的体积.【知识点】平行关系 棱锥的体积G4 G7【答案】【解析】（1）略；（2） 解析：(1)证明：取DE中点N，连接MN，AN，在EDC中，M、N分别为EC，ED的中点，所以MNCD，且MN=CD由已知ABCD，AB=CD，所以MNAB，且MN=AB所以四边形ABMN为平行四边形，所以BMAN，又因为AN平面ADEF，且BM平面ADEF，所以BM平面ADEF；（2）因为EC的中点，所以，因为,且DE与CD相交于D所以 因为,所以AB/平面CDE ，到面的距离,即为 .【思路点拨】证明线面平行通常结合线面平行的判定定理进行证明，求三棱锥体积时，若以所给底面求体积不方便时，可考虑换底面求体积.【名校精品解析系列】数学理卷2015届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性测试（201501）word版】20（本小题满分15分）如图，在几何体中， 平面，平面，又，。 （1）求与平面所成角的正弦值； （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值。 （第20题图）【知识点】空间平行、垂直，以及线面成角等知识 G4 G5 G11【答案】（1）；（2）.【解析】解析：过点作的垂线交于,以为原点,分别以为轴建立空间上角坐标系,又,则点到轴的距离为1,到轴的距离 为。则有,。 （4分） （1）设平面的法向量为， 则有，取，得，又，设与平面所成角为，则，故与平面所成角的正弦值为。 （5分） （2）设平面的法向量为， ， 则有，取，得。 ， 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值是. （5分）【思路点拨】过点作的垂线交于,以为原点,分别以为轴建立空间上角坐标系，求得点坐标，进而得到平面的法向量，利用线面角公式求得；求得平面的法向量，以及（1）中平面的法向量，利用二面角公式求得.【名校精品解析系列】数学理卷2015届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性测试（201501）word版】4在空间给出下面四个命题(其中、为不同的两条直线,、为不同的两个平面),/ /,/,/ ,/,/,/,/其中正确的命题个数有（ ）。A1个 B2个 C3个 D4个【知识点】空间中直线与平面的位置关系 G4 G5【答案】C【解析】解析：由线面垂直及线面平行的性质，可知,/，故正确；，故错误根据线面垂直的性质；两平行线中的一个垂直于平面，则另一个也垂直于平面可知：若，则，又，故正确由,可得平面都与直线确定的平面平行，则可得，故正确综上知，正确的有，故选择C. 【思路点拨】根据线面垂直、线面平行的性质，可判断；由可判断；根据两平行线中的一个垂直于平面，则另一个也垂直于平面及面面垂直的判定定理可判断；由已知可得平面都与直确定的平面平行，则可得，可判断.【名校精品解析系列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】5已知是平面，是直线，则下列命题不正确的是（）A若则 B若则C若则 D若，则【知识点】平行关系与垂直关系G4 G5【答案】【解析】D 解析：由线面垂直的性质得A选项正确；由两面平行的性质知B正确；若m,m,则平面必经过平面的一条垂线，所以C正确；因为n不一定在平面内，所以m与n不一定平行，则D错误，综上可知选D.【思路点拨】判断空间线面位置关系时，可考虑反例法和直接推导相结合的方法进行解答.【名校精品解析系列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】5已知是平面，是直线，则下列命题不正确的是（）A若则 B若则C若则 D若，则【知识点】平行关系与垂直关系G4 G5【答案】【解析】D 解析：由线面垂直的性质得A选项正确；由两面平行的性质知B正确；若m,m,则平面必经过平面的一条垂线，所以C正确；因为n不一定在平面内，所以m与n不一定平行，则D错误，综上可知选D.【思路点拨】判断空间线面位置关系时，可考虑反例法和直接推导相结合的方法进行解答.【名校精品解析系列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】5已知是平面，是直线，则下列命题不正确的是（）A若则 B若则C若则 D若，则【知识点】平行关系与垂直关系G4 G5【答案】【解析】D 解析：由线面垂直的性质得A选项正确；由两面平行的性质知B正确；若m,m,则平面必经过平面的一条垂线，所以C正确；因为n不一定在平面内，所以m与n不一定平行，则D错误，综上可知选D.【思路点拨】判断空间线面位置关系时，可考虑反例法和直接推导相结合的方法进行解答.【名校精品解析系列】数学文卷2015届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试（201501）】20已知在如图的多面体中，底面，,是的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面 （3）求此多面体的体积.【知识点】线面平行的判定定理；线面垂直的判定定理；几何体的体积.G4 G5G7【答案】【解析】（1）见解析；（2）见解析；（3） 解析：（1）， 又,是的中点， 四边形是平行四边形， 平面，平面，平面 （2）连结，四边形是矩形，底面，平面，平面， ，四边形为菱形， 又平面，平面，平面 ,作于，平面平面，平面，,平面,【思路点拨】（1）先结合已知条件证明出四边形是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可；（2）直接利用线面垂直的判定定理即可；（3）先对原几何体分解，再分别求出体积相加即可。【名校精品解析系列】数学文卷2015届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性测试（201501）word版】6设为两条不同的直线，为两个不同的平面下列命题中，正确的是（ ）。 A若与所成的角相等，则B若，则 C若，则 D若，则【知识点】空间中直线与平面的位置关系 G4 G5【答案】C【解析】解析：当两条直线与一个平面所成的角相等时，这两条直线的关系不能确定，故A不正确，当两个平面垂直时，一条直线与一个平面垂直，则这条直线与另一个平面的关系都有可能，故B不正确，当一条直线与一个平面垂直，与另一个平面平行，则这两个平面之间的关系是垂直，故C正确，当两条直线分别和两个平面平行，这两条直线之间没有关系，故D不正确故选择C.【思路点拨】当两条直线与一个平面所成的角相等时，这两条直线的关系不能确定，当两个平面垂直时，一条直线与一个平面垂直，则这条直线与另一个平面的关系都有可能，当两条直线分别和两个平面平行，这两条直线之间没有关系，得到结论【名校精品解析系列】数学文卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】19如图1，在四棱锥中，底面，面为正方形，为侧棱上一点，为上一点。该四棱锥的正（主）侧图和侧（左）视图如图2所示。（I）证明：平面；（II）证明：平面平面。【知识点】线面平行 面面垂直G4 G5【答案】【解析】（I）略；（II）略 解析：（I）证明：取PC中点Q，连结EQ，FQ由正（主）视图可得E为PD的中点，所以EQCD,又因为AFCD,AF=CD, 所以AFEQ,AF=EQ,所以四边形AFEQ为平行四边形，所以AEFQ因为,所以 直线AE平面PFC;（II）证明：因为PA平面ABCD，所以PACD,因为面ABCD为正方形，所以ADCD,所以CD平面PAD，因为，所以CDAE,因为PA=AD，E为PD中点，所以AEPD,所以AE平面PCD因为AEFQ，所以FQ平面PCD因为， 所以平面PFC平面PCD.【思路点拨】证明线面平行及面面垂直问题，通常结合其判定定理进行证明.【名校精品解析系列】数学文卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】6已知是平面，是直线，则下列命题正确的是（）A若则 B若则C若则 D若，则【知识点】平行关系与垂直关系G4 G5【答案】【解析】 B 解析：选项A，直线n还可能在平面内，所以错误；选项B，因为n,所以在一定存在直线an，而m,所以ma,得mn，所以B正确，因为只有一个正确选项，则答案只能为B.【思路点拨】判断空间线面位置关系时，可考虑反例法和直接推导相结合的方法进行解答.G5 空间中的垂直关系【数学（理）卷2015届四川省成都市高中毕业班第一次诊断性检测（201412）word版】8已知，是两条不同直线，是两个不同的平面，且，则下列叙述正确的是 （A）若，则 （B）若，则 （C）若，则 （D）若，则【知识点】线线关系，线面关系 G4 G5【答案】【解析】D解析：A中m，n可能异面；B中，可能相交；C中可能或，故选D.【思路点拨】熟悉空间中线线，线面关系的判断，逐一排除即可.【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（201501）】19已知四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形，（）求证：平面平面；（）设与交于点，为中点，若二面角的正切值为，求的值【知识点】平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题G5 G11【答案】【解析】（）见解析；（） 解析：（） 因为PA平面ABCD，所以PABD2分又ABCD为菱形，所以ACBD,所以BD平面PAC4分从而平面PBD平面PAC 6分（）方法1 过O作OHPM交PM于H，连HD因为DO平面PAC，可以推出DHPM,所以OHD为O-PM-D的平面角8分又，且10分从而11分所以，即 12分法二：如图,以为原点,所在直线为轴,轴建立空间直角坐标系，则, 8分从而9分因为BD平面PAC,所以平面PMO的一个法向量为10分 设平面PMD的法向量为,由得取，即 11分设与的夹角为，则二面角大小与相等从而，得从而，即 12分【思路点拨】（）根据线面垂直的判定，证明BD平面PAC，利用面面垂直的判定，证明平面PBD平面PAC;（）过O作OHPM交PM于H，连HD，则OHD为APMD的平面角，利用二面角OPMD的正切值为，即可求a：b的值【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】19.(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.（）证明：ACB1D；（）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.【知识点】垂直关系 线面所成的角G5 G11【答案】【解析】(1)略；(2) 解析：方法一(1)证明如图，因为BB1平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBB1.又ACBD，所以AC平面BB1D，而B1D平面BB1D，所以ACB1D. (2)解因为B1C1AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为).如图，连接A1D，因为棱柱ABCDA1B1C1D1是直棱柱，且B1A1D1BAD90，所以A1B1平面ADD1A1，从而A1B1AD1.又ADAA13，所以四边形ADD1A1是正方形.于是A1DAD1，故AD1平面A1B1D，于是AD1B1D.由(1)知，ACB1D，所以B1D平面ACD1.故ADB190，在直角梯形ABCD中，因为ACBD，所以BACADB.从而RtABCRtDAB，故，即AB.连接AB1，易知AB1D是直角三角形，且B1D2BBBD2BBAB2AD221，即B1D.在RtAB1D中，cosADB1，即cos(90).从而sin .即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.方法二(1)证明易知，AB，AD，AA1两两垂直.如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 设ABt，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)， C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3).从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0).因为ACBD，所以t2300，解得t或t(舍去).于是(，3，3)，(，1,0)，因为3300， 所以，即ACB1D.(2)解由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0).设n(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则，即令x1，则n(1，).设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则sin |cosn，|.【思路点拨】证明线线垂直，通常转化为线面垂直进行证明，求线面所成角通常利用定义作出所成角，再利用三角形求值，本题也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量进行解答.【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】19.(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.（）证明：ACB1D；（）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.【知识点】垂直关系 线面所成的角G5 G11【答案】【解析】(1)略；(2) 解析：方法一(1)证明如图，因为BB1平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBB1.又ACBD，所以AC平面BB1D，而B1D平面BB1D，所以ACB1D. (2)解因为B1C1AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为).如图，连接A1D，因为棱柱ABCDA1B1C1D1是直棱柱，且B1A1D1BAD90，所以A1B1平面ADD1A1，从而A1B1AD1.又ADAA13，所以四边形ADD1A1是正方形.于是A1DAD1，故AD1平面A1B1D，于是AD1B1D.由(1)知，ACB1D，所以B1D平面ACD1.故ADB190，在直角梯形ABCD中，因为ACBD，所以BACADB.从而RtABCRtDAB，故，即AB.连接AB1，易知AB1D是直角三角形，且B1D2BBBD2BBAB2AD221，即B1D.在RtAB1D中，cosADB1，即cos(90).从而sin .即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.方法二(1)证明易知，AB，AD，AA1两两垂直.如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 设ABt，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)， C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3).从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0).因为ACBD，所以t2300，解得t或t(舍去).于是(，3，3)，(，1,0)，因为3300， 所以，即ACB1D.(2)解由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0).设n(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则，即令x1，则n(1，).设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则sin |cosn，|.【思路点拨】证明线线垂直，通常转化为线面垂直进行证明，求线面所成角通常利用定义作出所成角，再利用三角形求值，本题也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量进行解答.【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】19.(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.（）证明：ACB1D；（）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.【知识点】垂直关系 线面所成的角G5 G11【答案】【解析】(1)略；(2) 解析：方法一(1)证明如图，因为BB1平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBB1.又ACBD，所以AC平面BB1D，而B1D平面BB1D，所以ACB1D. (2)解因为B1C1AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为).如图，连接A1D，因为棱柱ABCDA1B1C1D1是直棱柱，且B1A1D1BAD90，所以A1B1平面ADD1A1，从而A1B1AD1.又ADAA13，所以四边形ADD1A1是正方形.于是A1DAD1，故AD1平面A1B1D，于是AD1B1D.由(1)知，ACB1D，所以B1D平面ACD1.故ADB190，在直角梯形ABCD中，因为ACBD，所以BACADB.从而RtABCRtDAB，故，即AB.连接AB1，易知AB1D是直角三角形，且B1D2BBBD2BBAB2AD221，即B1D.在RtAB1D中，cosADB1，即cos(90).从而sin .即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.方法二(1)证明易知，AB，AD，AA1两两垂直.如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 设ABt，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)， C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3).从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0).因为ACBD，所以t2300，解得t或t(舍去).于是(，3，3)，(，1,0)，因为3300， 所以，即ACB1D.(2)解由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0).设n(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则，即令x1，则n(1，).设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则sin |cosn，|.【思路点拨】证明线线垂直，通常转化为线面垂直进行证明，求线面所成角通常利用定义作出所成角，再利用三角形求值，本题也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量进行解答.【名校精品解析系列】数学理卷2015届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性测试（201501）word版】20（本小题满分15分）如图，在几何体中， 平面，平面，又，。 （1）求与平面所成角的正弦值； （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值。 （第20题图）【知识点】空间平行、垂直，以及线面成角等知识 G4 G5 G11【答案】（1）；（2）.【解析】解析：过点作的垂线交于,以为原点,分别以为轴建立空间上角坐标系,又,则点到轴的距离为1
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