沪教版 九年级(下)学期 同步讲义 第8讲 等腰三角形的存在性问题(学生版)

等腰三角形的存在性问题内容分析根据等腰三角形的定义，若DABC为等腰三角形，则有三种可能情况：（1）AB= BC；（2）BC = CA；（3）CA = AB但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有 2 个甚至更多的解，在解题时需要尤 其注意知识结构模块一：以函数为背景的等腰三角形问题 知识精讲1、 知识内容：在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种：（1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边；（2）全等或相似：通过相似，将未知边与已知边建立起联系，进而表示出未知边（3）两点间距离公式：设 A( x , y ) 、 B ( x , y )1 1 2 2AB = ( x -x ) 2 +( y -y ) 2 1 2 1 22、 解题思路：，则 A、B 两点间的距离为：（1） 利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；（2） 根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分 式或根式方程）（3） 解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根注：用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单，但对几何能力的要求较高，用勾 股定理则反之例题解析【例1】 如图，已知 DABC 中，AB = AC = 6，BC = 8，点 D 是 BC 边上的一个动点，点 E在 AC 边上，ADE =B设 BD 的长为 x，CE 的长为 y （1）当 D 为 BC 的中点时，求 CE 的长；A（2）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （3）如果 DADE 为等腰三角形，求 x 的值EBDC2 / 10【例2】 已知，一条抛物线的顶点为 E（ -1，4），且过点 A（ -3，0），与 y 轴交于点 C， 点 D 是这条抛物线上一点，它的横坐标为 m，且 -3 m -1，过点 D 作 DK x 轴，垂足为 K，DK 分别交线段 AE、AC 于点 G、H （1）求这条抛物线的解析式；y（2）求证：GH = HK；DE（3）当 DCGH 是等腰三角形时，求 m 的值CGHABK Ox模块二：与圆有关的等腰三角形问题知识精讲1、 与圆有关知识内容：在模块一的基础上，加入了与圆有关的要求。相关点主要有：（1）同圆内半径相等，提供了全等三角形的边或角相等条件；（2）切线与过切点的半径垂直，提供了可使用的直角三角形2、 解题思路：与模块一类似；（1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；（2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式 或根式方程）；（3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根例题解析【例3】 如图，在 Rt ABC 中，ACB = 90，AC = 8，tan B =43，点 P 是线段 AB 上的一个动点，以点 P 为圆心，PA 为半径的P 与射线 AC 的另一个交点为 D，射线 PD 交射 线 BC 于点 E，点 Q 是线段 BE 的中点（1）当点 E 在 BC 的延长线上时，设 PAx，CEy，求 y 关于 x 的函数关系式，并写 出定义域；（2）以点 Q 为圆心，QB 为半径的Q 和P 相切时，求P 的半径；（3）射线 PQ 与P 相交于点 M，联结 PC、MC， PMC 是等腰三角形时，求 AP的长BPQADCE4 / 10【例4】 如图，已知在 Rt DABC 中， ACB =90，AB = 5 ， sin A =45，P 是 BC 边上的一点， PE AB ，垂足为 E，以点 P 为圆心，PC 为半径的圆与射线 PE 相交于点 Q，线 段 CQ 与边 AB 交于点 D（1）求 AD 的长；（2）设 CP = x， DPCQ 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域； （3）过点 C 作 CF AB ，垂足为 F，联结 PF、QF，如果 DPQF 是以 PF 为腰的等腰 三角形，求 CP 的长QBEPDCA模块三：与角有关的等腰三角形问题知识精讲有时，等腰三角形通过边来计算过于复杂，而条件中又恰好有关于角的一些条件，此时 经常可以讨论角之间的关系，再利用“等角对等边”的性质从而形成等腰三角形例题解析【例5】 如图 1，在ABC 中，ABC90，AB5，C30，点 D 是 AC 边上一动点（不 与 A、C 重合），过点 D 分别作 DEAB 于点 E，DFBC 于点 F，联结 EF，设 AEx， EFy（1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域；（2）以 F 为圆心、FC 为半径的F 交直线 AC 于点 G，当点 G 为 AD 中点时，求 x 的 值；（3）如图 2，联结 BD，将EBD 沿直线 BD 翻折，点 E 落在点 E处，直线 BE与直线 AC 相交于点 M，当BDM 为等腰三角形时，求ABD 的度数AAEDEDBFMEC B C图 1图 26 / 10【习题1】随堂检测已知：如图 1，在梯形 ABCD 中，AD/BC，BCD=90， BC=11，CD=6，tanABC=2，点 E 在 AD 边上，且 AE=3ED，EF/AB 交 BC 于点 F，点 M、N 分别在射 线 FE 和线段 CD 上（1）求线段 CF 的长；（2）如图 2，当点 M 在线段 FE 上，且 AMMN，设 FMcosEFC=x，CN=y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如 AMN 为等腰直角三角形，求线段 FM 的长A E D A E DNMA E DB F（图 1）C BF（图 2）C B F（备用图）C4【习题2】 如图，已知在平行四边形 ABCD 中，AB5，BC8，cosB ，点 P 是边 BC5上的动点，以 CP 为半径的圆 C 与边 AD 交于点 E、F（点 F 在点 E 的右侧），射线CE 与射线 BA 交于点 GG（1）当圆 C 经过点 A 时，求 CP 的长；（2）联结 AP，当 AP/CG 时，求弦 EF 的长； （3）当AGE 是等腰三角形时，求圆 C 的半径长BEAP CFD8 / 10课后作业【作业1】 如图，在 DABC 中，C = 90 ，BC = 3 ，AB = 5 点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 BCAB 的方向运动；点 Q 从点 C 出发，以每秒 2 个单位长 度的速度沿 CAB 的方向运动，到达点 B 后立即原速返回，若 P、Q 两点同时运动， 相遇后同时停止，设运动时间为 t 秒（1）当 t =_秒时，点 P 与点 Q 相遇；（2）在点 P 从点 B 到点 C 运动的过程中，当 t 为何值时， DPCQ 为等腰三角形？BPCQA【作业2】 在O 中，OC弦 AB，垂足为 C，点 D 在O 上（1）如图 1，已知 OA = 5，AB = 6，如果 OD/AB，CD 与半径 OB 相交于点 E，求 DE 的长；（2）已知 OA = 5 ，AB = 6（如图 2），如果射线 OD 与 AB 的延长线相交于点 F，且 OCD 是等腰三角形，求 AF 的长；（3）如果 OD / AB，CDOB，垂足为 E，求 sinODC 的值OEDOACBACB图 1图 210 / 10