2020中考数学 压轴专题 动态几何之“双动点”问题

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根1.2020 中考数学 压轴专题 动态几何之“双动点”问题（含答案）已知，如图， ABC 中，已知 AB=AC=5 cm，BC=6 cm点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动， 速度为 1 cm/s；同时，直线 QD 从点 C 出发，沿 CB 方向匀速运动，速度为 1 cm/s，且 QDBC，与AC，BC 分别交于点 D，Q；当直线 QD 停止运动时，点 P 也停止运动连接 PQ，设运动时间为 t（0 t3）s解答下列问题：（1）当 t 为何值时，PQ/AC？（2）设四边形 APQD 的面积为 y（cm2），求 y 与 t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻 t，使 S 由： =23：45？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理 四边形 APQD ABC第 1 题图解：（1）当 t s 时,PQ/AC，点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1 cm/s；同时，直线 QD 从点 C 出发，沿 CB 方向匀速运 动，速度为 1 cm/s，BPt，BQ6tPQ/AC，BPQBAC，第 1 题解图BP BQ t 6 -t 30 = ，即 = ，解得 t sAB BC 5 6 11当 t 为3011s 时，PQ/AC；1 / 21t 23= 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根（2）过点 A、P 作 ANBC，PMBC 于点 N、M，ABAC5cm，BC6cm，BNCN3cm，ANAB 2 -BN 2 = 52 -324cmANBC，PMBC， BPMBAN，BP PM t PM 4 = ，即 = ，解得 PMAB AN 5 4 5t，SBPQ1 1 4 2t 2 12BQPM （6t） - + 2 2 5 5 5t，ABAC5cm，AN=4cm,CN=3cm,DQ/AN, CDQCAN，DQ CQ DQ t = ，即 = ，AN CN 4 3DQ=43t,SCDQ1 2 CQDQ t22 3SABC1 1BCAN= 6412， 2 2yS四边形 APQDSSABC CDQS2 2t 2 12BPQ12 t2（ - +3 5 5t）124 12t 2 - t15 5（0t3）；（3）存在由（2）知，S四边形 APQDSABCCDQS1 2t 2 12BPQ12 t2（ - +2 5 5t）124 12t 2 - t15 5，S12，ABC12 -4 12t 2 - t15 512 45，2 / 212 四 边形 APQD ABC知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根解得 t1-12 +4 114 4 114，t -12 - 3 3（舍去）当 t -12 +4 1143s 时，S： S 23：4 52.如图，在 ABC 中，C90，AB10，BC6，点 P 从点 A 出发，沿折线 ABBC 向终点 C 运 动，在 AB 上以每秒 5 个单位长度的速度运动，在 BC 上以每秒 3 个单位长度的速度运动，点 Q 从点 C4出发，沿 CA 方向以每秒 个单位长度的速度运动，P、Q 两点同时出发，当点 P 停止时，点 Q 也随之3停止设点 P 运动的时间为 t 秒（1）求线段 AQ 的长；（用含 t 的代数式表示）（2）连接 PQ，当 PQ ABC 的一边平行时，求 t 的值；（3）如图，过点 P 作 PEAC 于点 E，以 PE，EQ 为邻边作矩形 PEQF，点 D 为 AC 的中点，连接 DF设矩形 PEQF 与ABC 重叠部分图形的面积为 S当点 Q 在线段 CD 上运动时，求 S 与 t 之间的函数关系式；直接写出 DF 将矩形 PEQF 分成两部分的面 积比为 1：2 时 t 的值第 2 题图解：（1）在 ABC 中，C90，AB10，BC6，由勾股定理得：ACAB2-BC2= 102-628，4点 Q 在 CA 上，以每秒 个单位移动，3CQ43t，AQAC-CQ=843t3 / 213 t 3 t 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根10 6（2）P 点从 AB-BC 总时间 +5 3=4s,点 P 在 AB 或 BC 上运动，点 Q 在 AC 上， PQ 不可能与 AC 平行，当点 P 在 AB 上，则 PQ/BC，48 - tAP AQ 5t此时 = ，即 = AB AC 10 8当点 P 在 BC 上,此时 PQ/AB，3 ，解得 t= s ;24CP CQ 6-3（t -2） = ，即 =BC CA 6 8，解得 t3s，综上所述，t32s 或 3s 时，PQ 与ABC 的一边平行；（3）点 D 是 AC 的中点，CD=4，当点 Q 运动到点 D 时，43t4，解得 t 3，16 3点 Q 与点 E 重合时， AC8，得 t3 2，分三种情况讨论如下：（i）点 Q 与点 E 重合时，所示，16 3 3tAC8，得 t ，当 0t ，此时矩形 PEQF ABC 内，如解图 3 2 2AP5t，易得 AE4t，PE3t，EQAQAE84 16 t4t8 t，3 3SPEEQ3t（8163t）16t24t；第题解图4 / 21知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根（ii）点 P 与点 B 重合时，5t10，得 t2，当分是矩形 PEQF 的面积减 PFT 的面积32t2 时，如解图所示，设 QF 交 AB 与 T，则重叠部AQ84 3 3 4t，QT AQ= （8 t）=6-t， 3 4 4 3FT=PE-QT=3t-(6-t)=4t-6,EQ=AE-AQ=4t-(8-4 16 t)= t-8,3 3S=PEEQ-12EQFt=3t（16 1 16t-8)- （3 2 3t-8)（4t-6）=163t2+8t-24；(iii)当 2t3,点 P 在 BC 上，且点 F ABC 外，如解图所示，此时点 E 与点 C 重合，PC63（t2）123t，QC4 3 4 4 4t，QT (8- t)6t，BP3（t2），PR 3（t2）4t8，FRFPPR 3 4 3 3 3t（4t8）88 3t，FT FR62t 3 4SPTQC12FRFT（123t）4 1 8t （8 3 2 3t）（62t）20 t+32t24； 3第题解图5 / 213.知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根3 6， .5 5如图，在 ABC 中，ABC90，AB3，BC4动点 P 从点 A 出发沿 AC 向终点 C 运动，同时 动点 Q 从点 B 出发沿 BA 向点 A 运动，到达 A 点后立刻以原来的速度沿 AB 返回点 P，Q 运动速度均 为每秒 1 个单位长度，当点 P 到达 C 时停止运动，点 Q 也同时停止连接 PQ，设运动时间为 t（0t 5）秒（1）当点 Q 从 B 点向 A 点运动时（未到达点 A）求 与 t 的函数关系式；写出 t 的取值范围；APQ（2）在（1）的条件下，四边形 BQPC 的面积能否 ABC 面积的1315？若能，求出相应的 t 值；若不能，说明理由；（3）伴随点 P、Q 的运动，设线段 PQ 的垂直平分线为 l，当 l 经过点 B 时，求 t 的值第 3 题图解：（1）在 ABC 中，由勾股定理得：ACAB2+BC2= 32+425；如解图，过点 P 作 PHAB 于点 H，APt，AQ3t，第 3 题解图则AHPABC90，PAHCAB，AHPABC，AP PH=AC BC，APt，AC5，BC4，PH45t，6 / 21 APQt t 2 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根S1 4 （3t）2 5t，2 6 即 S t 2 5 5t，t 的取值范围是：0t313（2）在（1）的条件下，四边形 BQPC 的面积能 ABC 面积的 理由如下：152 6 2 1 2 6 4依题意得： t 2 = 34，即 t 2 = 5 5 15 2 5 5 5整理，得（t1）（t2）0，解得 t1，t 2，1又 0t3，当 t1 或 t2 时，四边形 BQPC 的面积能 ABC 面积的（3）如解图，当点 Q 从 B 向 A 运动时 l 经过点 B，1315；第 3 题解图BQBPAPt，QBPQAP，QBPPBC90，QAPPCB90 PBCPCB，CPBPAPtCPAP1 1AC 52.5， 2 2t2.5；如解图，当点 Q 从 A 向 B 运动时 l 经过点 B，第 3 题解图BPBQ3（t3）6t，APt，PC5t，7 / 21知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根过点 P 作 PGCB 于点 G，则 PG/AB，PGCABC，PC PG GC= =AC AB BC，PGPC 3AB （5t）， AC 5CGPC 4BC （5t）， AC 5BG44 4 (5t）5 5t，由勾股定理得 BP2BG2PG2，即（6t）2（4 3t）2 （5t）2 5 5，45解得 t 14综上所述，伴随点 P、Q 的运动，线段 PQ 的垂直平分线为 l，经过点 B 时，t 的值是 2.5 或45144.如图，在 ABC 中，C90，AC6 cm，BC8 cm，D、E 分别是 AC、AB 的中点，连接 DE，点P 从点 D 出发，沿 DE 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动， 速度为 2cm/s，当点 P 运动到点 E 停止运动，点 Q 也停止运动连接 PQ，设运动时间为 t（s）（0t 4）解答下列问题：（1）当 t 为何值时，PQAB？（2）当点 Q 在 BE 之间运动时，设五边形 PQBCD 的面积为 y（cm2），求 y 与 t 之间的函数关系式； （3）在（2）的情况下，是否存在某一时刻 t，使 PQ 分四边形 BCDE 两部分的面积之比为 S ：SPQE 五1：29？若存在，求出此时 t 的值以及点 E 到 PQ 的距离 h；若不存在，请说明理由 边形 PQBCD8 / 21知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根解：（1）如解图，在 ABC 中，AC6，BC8，AB 6 2 +8210D、E 分别是 AC、AB 的中点，ADDC3，AEEB5，DE/BC 且 DE PQAB，PQBC90，又DE/BC，AEDB，12第 4 题解图BC4，PQEACB，PE QE=AB BC.由题意得：PE4t，QE2t5，即4 -t 2t -5 41 = ，解得 t ；10 8 14（2）如解图，过点 P 作 PMAB 于 M，PM PE由PMEACB，得 =AC AB，PM 4 - t 3 = ，得 PM6 10 5（4t）9 / 212 2 2 ) 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根SPQE1 1 3 3 39EQPM （52t） （4t） t2 2 2 5 5 10t6，S梯形 DCBE12（48）318，yS-梯形 DCBE=18（PQE3 39 3 39t2 t6） t2+5 10 5 10t12（3）假设存在时刻 t，使 ：S 1：29，PQE 五边形 PQBCD则此时 SPQE130S，梯形 DCBE3 39 1t2 t6 18，即 2t213t180， 5 10 30解得 t12，t 92（舍去）当 t2 时，PM3 6 4 8 （42）= ，ME （42）5 5 5 5，EQ5221，MQMEEQ8 1315 5，PQ PM2+MQ26 13 + =5 5 20551 3 PQ hSPQE= ，2 56 5 6 205 6 h = (或 .5 205 205 2055.如图，在 ABC 中，ACB=90，AC=8，BC=6，CDAB 于点 D点 P 从点 D 出发，沿线段 DC 向点 C 运动，点 Q 从点 C 出发，沿线段 CA 向点 A 运动，两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度， 当点 P 运动到 C 时，两点都停止设运动时间为 t 秒（1）求线段 CD 的长；（2） CPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻 t，使得 SCPQ：S =9：100？若存在，求出 t 的值；若不存在，则说明理由； ABC10 / 21- t知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根（3）是否存在某一时刻 t，使 CPQ 为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的 t 的值；若不存在， 则说明理由解：（1）如解图，ACB90，AC8，BC6，AB10CDAB，ABC1 1BCAC ABCD 2 2CDBC AC 6 8 =AB 104.8，线段 CD 的长为 4.8；（2）过点 P 作 PHAC，垂足为 H，如解图所示 由题可知 DPt，CQt，则 CP4.8tACBCDB90，HCP90DCBB PHAC，CHP90,CHPACB，CHPBCA，PH PC PH 4.8 -t = , =AC AB 8 10，PH96 4 1 1 96 4 2 48 ，SCPQ CQPH t（ - t ） t2+25 5 2 2 25 5 5 25t；存在某一时刻 t，使得 S ： 9：100CPQ ABCS ABC126824，且 S ： 9：100，CPQ ABC（2 48t2+5 25t）：249：100整理得：5t224t27011 / 215 2 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根即（5t9）（t3）09解得：t 或 t350t4.8，9当 t 秒或 t3 秒时， ：S 9：100；CPQ ABC（3）若 CQCP，如解图，则 t4.8t；解得：t2.4；若 PQPC，如解图所示，PQPC，PHQC，QHCH1 1QC t2 2CHPBCACH CP=BC AB,1t4.8 -t=6 10144 ，解得：t ；55若 QCQP，过点 Q 作 QECP，垂足为 E，如解图所示24同理可得：t 11综上所述：当 t 为 2.4 秒或144 24秒或 秒时 CPQ 为等腰三角形 55 116.第 5 题解图如图， ABC 中，AB=AC=10 cm，BDAC 于点 D，且 BD=8cm点 M 从点 A 出发，沿 AC 的方向匀速运动，速度为 2 cm/s；同时直线 PQ 由点 B 出发，沿 BA 的方向匀速运动，速度为 1cm/s，运动过 程中始终保持 PQ/AC，直线 PQ 交 AB 于点 P、交 BC 于点 Q、交 BD 于点 F连接 PM，设运动时间12 / 212 t ABC知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根为 t（0t5）（1）当 t 为何值时，PM/BC？（2）设四边形 PQCM 的面积为 y cm ，求 y 与 t 之间的函数关系式；（3）已知某一时刻 t，有 S=四边形 PQCM34ABC成立，请你求出此时 t 的值.解：（1）当 APAM， 10t2t，第 6 题图PM/BC 时，APMABC，t103；1（2）四边形 PQCM 为梯形，y （PQMC）DF，2PQPBt，MC102t，BF：BDBP：AB,BF8t 410 5t，DF845t,1 4 2 y (t102t)(8 ）= t2 5 528t40；2 3（3）由（2）知， t 28t40=40 ，5 43， 解得 t105又0t5,当 t10-5 3 s 时，使 S四边形 PQCM34S 成立.13 / 217.知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根如图，在四边形 ABCD 中，AD/BC，AD6 cm，CD4 cm，BCBD10 cm，点 P 由 B 出发沿 BD 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，线段 EF 由 DC 出发沿 DA 方向匀速运动，速度为 1cm/s，交 BD 于 Q，连接 PE若设运动时间为 t（s）（0t5）解答下列问题：（1）当 t 为何值时，PE/AB；（2） PEQ 的面积为 y（cm2），求 y 与 t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻 t，使PEQ225BCD？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，说明理由；（4）连接 PF，在上述运动过程中，五边形 PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由第 7 题图解：（1）当 PE/AB 时，DE DP=DA DB而 DEt，DP10t，t 10 -t=6 10，t154，当 t154s 时，PE/AB；（2）AD/BC,线段 EF 由 DC 出发沿 DA 方向匀速运动， EF/CD，四边形 CDEF 是平行四边形,DEQC，DQEBDCBCBD10，DEQBCD,14 / 2110 2 100 4 96 4 6t - 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根DE EQ t EQ= , =BC CD 10 4,EQ25t,如解图，过 B 作 BMCD 交 CD 于 M，过 P 作 PNEF 交 EF 于 N， BCBD，BMCD，CD4cm，CM12CD2cm，BM 2 - 2 = - = = EF/CD，BQFBDC，BFGBCD， 又BDBC，BDCBCD，BQFBFG，ED/BC，DEQQFB，又EQDBQF，DEQDQE，DEDQ，EDDQBPt，PQ102t又 PNQBMD，cm，PQ PN=BD BM，10 -2t PN =10 4 6，PN46(1 )5，SPEQ1 1 2 t EQPN t 4 6(1 - )2 2 5 5=-4 6 4 6t 2 + t25 5；15 / 216 2 2 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根第 7 题解图（3）存在.此时 t 的值为 1s 或 4s.SBCD1 1CDBM2 244686，若 S=PEQ225SBCD，则有 -4 6 4 6 2t + t = 8 , 25 5 25解得 t11，t 4，当 t=1 或 4 时，S=PEQ225SBCD；（4）五边形 PFCDE 的面积不发生变化.理由如下： 在PDE FBP 中，DEBPt，PDBF10t，PDEFBP， PDEFBP（SAS）SS S S S S 8 五边形 PFCDE PDE 四边形 PFCD FBP 四边形 PFCD BCD6,在运动过程中，五边形 PFCDE 的面积不变8.如图 ABC 中ABAC5 cm，BC6 cm，AD 是 BC 边上的高点 P 由 C 出发沿 CA 方向匀速运动速度为 1 cm/s同时，直线 EF 由 BC 出发沿 DA 方向匀速运动,速度为 1 cm/s，EF/BC，并且 EF分别交 AB、AD、AC 于点 E，Q，F，连接 PQ若设运动时间为 t（s）（0t4），解答下列问题：（1）当 t 为何值时，四边形 BDFE 是平行四边形？（2）设四边形 QDCP 的面积为 y（cm2），求出 y 与 t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻 t，使 S： 9：20？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，说明理 四边形 QDCP ABC由；（4）是否存在某一时刻 t，使点 Q 在线段 AP 的垂直平分线上？若存在，求出此时点 F 到直线 PQ 的距离 h；若不存在，请说明理由16 / 21知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根第 8 题图解：（1）如解图中，连接 DF，第 8 题解图ABAC5，BC=6，ADBC， BDCD3，在 ABD 中，AD 52 - 32 EF/BC，AEFABC，4，EF AQ=BC ADEF 4 -t=6 4，3EF （4t），2EF/BD，EFBD 时，四边形 EFDB 是平行四边形， 3 （4t）3，2t2，17 / 21t t 2 2 t 2 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根t2s 时，四边形 EFDB 是平行四边形；（2）如解图中，作 PNAD 于 N，第 8 题解图PN/DC，PN AP=DC ACPN 5 -t=3 5，3PN （5-t）， 5y1 1 1 3 3 27 3 27 DCAD AQPN6 （4t） （5t）6（ - 6）= - t + t2 2 2 5 10 10 10 10（0t4）；（3）存在.理由：由题意（ -3 27+10 10t）：129：20，解得 t3 或 6（舍去）；当 t3s 时，S： 9：20； 四边形 QDCP ABC（4）存在理由如下：如解图，作 QNAC 于 N，作 FHPQ 于 H第 8 题解图QAQP，QNAP，ANNP1 1AP （5t）， 2 218 / 214 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根AD AN由题意 cosCAD =AC AQ，12(5-t) =4 -t 5，tt7373，s 时，点 Q 在线段 AP 的垂直平分线上sinFPHFH 3=PF 5，PA57 8 4 25 ，AFAQ = 3 3 5 12，PF712，FH720点 F 到直线 PQ 的距离 h7209. 如图，BD 是正方形 ABCD 的对角线，BC2，动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿射线 BC 运动，同时动点 Q 从点 C 出发，以相同的速度沿射线 BC 运动，当点 P 出发后，过点 Q 作 QEBD， 交直线 BD 于点 E，连接 AP、AE、PE、QE，设运动时间为 t（秒）（1）请直接写出动点 P 运动过程中，四边形 APQD 是什么四边形？（2）请判断 AE，PE 之间的数量关系和位置关系，并加以证明；（3） EPB 的面积为 y，求 y 与 t 之间的函数关系式；（4）直接写 EPQ 的面积 EDQ 面积的 2 倍时 t 的值19 / 21t知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根第 9 题图解：（1）四边形 APQD 是平行四边形；【解法提示】四边形 ABCD 是正方形，P、Q 速度相同，ABEEBQ45，ADBQ，ADBC2，BPCQ，BCADPQ，四边形 APQD 是平行四边形.（2）AEPE，AEPE；理由如下：EQBD，PQE904545，ABEEBQPQE45，BEQE，在AEB EPQ 中，AB =PQABE =PQE，BE =QEAEBEPQ（SAS）， AEPE，AEBPEQ， AEPBEQ90， AEPE；（3）过点 E 作 EFBC 于点 F， 如解图所示：BQt2，EFt +22，y1 t +2 1 1 t，即 y 2 +2 2 4 2t；第 9 题解图（4 EPQ 面积 EDQ 面积的 2 倍时 t 的值为 1 或 3. 【解法提示】分两种情况： 当 P 在 BC 延长线上时，作 PMQE 于 M，如解图所示：20 / 21知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。-培根第 10 题解图PQ2，BQE45，PM2 2 2PQ 2 ，BEQE BQ （t2）， 2 2 2DEBE BD2 2（t2） 2 2 t- 2 , 2 2EPQ 的面积是EDQ 面积的 2 倍，1 2 1 2 （t2） 2 2 （ t2 2 2 22）22（t2），解得 t3 或 t 2（舍去），t3；当 P 在 BC 边上时，解法同，此时 DE 2 -EPQ 的面积是EDQ 面积的 2 倍，22t，1 2 （t2） 2 221 2 22 （ 2 - t） （t2）， 2 2 2解得：t1 或 t 2（舍去），t1；综上所述，EPQ 的面积是EDQ 面积的 2 倍时 t 的值为：1 或 321 / 21