高中数学知识点总结大全

（答：-1，0，）高中数学必修1知识点高中数学知识点总结1.首先对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。如：集合A=x|y=lgx，B=y|y=lgx，C=(x,y)|y=lgx，A、B、C中元素各表示什么？2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。要注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如：集合A=x|x2-2x-3=0，B=x|ax=1若BA，则实数a的值构成的集合为133.注意下列性质：a（1）集合，a，a的所有子集的个数是2n；12n（2）若ABAIB=A，AUB=B；（3）德摩根定律：C(AUB)=(CA)I(CB)，C(AIB)=(CA)U(CB)UUUUUU4.请问你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于x的不等式的取值范围。ax-5x2-a0的解集为M，若3M且5M，求实数a5M，a1，U(9，25)）（3M，a3-532-aa5-552-a-a0，则函数F(x)=f(x)+f(-x)的定义域是_。（答：a，-a）11.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？如：f(x+1)=ex+x，求f(x).令t=x+1，则t0x=t2-1f(t)=et2-1+t2-1f(x)=ex2-1+x2-1(x0)12.反函数存在的条件是什么？页脚内容高中数学必修1知识点（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（反解x；互换x、y；注明定义域）1+x如：求函数f(x)=-x2(x0)(x0)的反函数-x(x1)（答：f-1(x)=）13.反函数的性质有哪些？互为反函数的图象关于直线yx对称；保存了原来函数的单调性、奇函数性；设y=f(x)的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f(a)=bf-1(b)=af-1(b)f-1f(a)=f-1(b)=a，f=f(a)=b14.如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）如何判断复合函数的单调性？（y=f(u)，u=j(x)，则y=fj(x)（外层）（内层）当内、外层函数单调性相同时fj(x)为增函数，否则fj(x)为减函数。）如：求y=log(-x2+2x)的单调区间12（设u=-x2+2x，由u0则0x0，函数f(x)=x3-ax在1，+)上是单调增函数，则a的最大值是（）A.0B.1C.2D.3（令f(x)=3x2-a=3x+aax-033则x-a或xa33由已知f(x)在1，+)上为增函数，则a31，即a3a的最大值为3）16.函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）若f(-x)=-f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称若f(-x)=f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)=0。如：若f(x)=a2x+a-22x+1为奇函数，则实数a=（f(x)为奇函数，xR，又0R，f(0)=0页脚内容高中数学必修1知识点a20+a-2即=0，a=1）20+1又如：f(x)为定义在(-1，1)上的奇函数，当x(0，1)时，f(x)=求f(x)在(-1，1)上的解析式。2-x（令x(-1，0)，则-x(0，1)，f(-x)=4-x+12-x2x又f(x)为奇函数，f(x)=-=-4-x+11+4xx(-1，0)2x-4x+1x=0又f(0)=0，f(x)=）2xx(0，1)4x+142xx+1，17.你熟悉周期函数的定义吗？（若存在实数T（T0），在定义域内总有f(x+T)=f(x)，则f(x)为周期函数，T是一个周期。）如：若f(x+a)=-f(x)，则（答：f(x)是周期函数，T=2a为f(x)的一个周期）又如：若f(x)图象有两条对称轴x=a，x=b()即f(a+x)=f(a-x)，f(b+x)=f(b-x)则f(x)是周期函数，2a-b为一个周期如：页脚内容高中数学必修1知识点18.你掌握常用的图象变换了吗？f(x)与f(-x)的图象关于y轴对称f(x)与-f(x)的图象关于x轴对称f(x)与-f(-x)的图象关于原点对称f(x)与f-1(x)的图象关于直线y=x对称f(x)与f(2a-x)的图象关于直线x=a对称f(x)与-f(2a-x)的图象关于点(a，0)对称将y=f(x)图象左移a(a0)个单位右移a(a0)个单位y=f(x+a)y=f(x-a)上移b(b0)个单位下移b(b0)个单位y=f(x+a)+by=f(x+a)-b注意如下“翻折”变换：f(x)f(x)f(x)f(|x|)如：f(x)=log(x+1)2作出y=log(x+1)及y=logx+1的图象22yy=log2xO1x19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？页脚内容高中数学必修1知识点(k0)y=bO(a,b)Oxx=a（1）一次函数：y=kx+b(k0)k(k0)推广为y=b+（2）反比例函数：y=的双曲线。kxx-a(k0)是中心O(a，b)（3）二次函数y=ax2+bx+c(a0)=ax+b24ac-b2+2a4a图象为抛物线顶点坐标为-，对称轴x=-b4ac-b2b2a4a2a开口方向：a0，向上，函数ymin=4ac-b24aa0时，两根x、x为二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴12的两个交点，也是二次不等式ax2+bx+c0(k2af(k)0页脚内容高中数学必修1知识点y(a0)Okx1x2x一根大于k，一根小于kf(k)0，a1)（5）对数函数y=logx(a0，a1)a由图象记性质！（注意底数的限定！）yy=ax(a1)(0a1)1O1x(0a0)x利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？y-kOkx20.你在基本运算上常出现错误吗？指数运算：a0=1(a0)，a-p=1(a0)apn=1am(a0)amn=nam(a0)，a-mn页脚内容高中数学必修1知识点对数运算：logMN=logM+logN(M0，N0)aaa=logM-logN，lognM=logMNnlogaM1aaaaambn=对数恒等式：alogax=x对数换底公式：logb=alogbncloglogamclogba21.如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）如：（1）xR，f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，证明f(x)为奇函数。（先令x=y=0f(0)=0再令y=-x，）（2）xR，f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，证明f(x)是偶函数。（先令x=y=-tf(-t)(-t)=f(tt)f(-t)+f(-t)=f(t)+f(t)f(-t)=f(t)）（3）证明单调性：f(x)=f(x-x)+x=221222.掌握求函数值域的常用方法了吗？（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）如求下列函数的最值：（1）y=2x-3+13-4x（2）y=2x-4x+3（3）x3，y=2x2x-3（4）y=x+4+9-x2(设x=3cosq，q0，p)（5）y=4x+9x，x(0，123.你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？页脚内容扇=1lR=aR2）（l=aR，S122高中数学必修1知识点R1弧度OR24.熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义sina=MP，cosa=OM，tana=ATyBST又如：求函数y=1-2cosp-x的定义域和值域。（1-2cosp-x）=1-2sinx0POMAx如：若-pq0，则sinq，cosq，tanq的大小顺序是822sinx2，如图：2页脚内容高中数学必修1知识点2kp-5px2kp+p(kZ)，0y1+24425.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？sinx1，cosx1-Opyp22y=tgxpx对称点为kp，0，kZy=sinx的增区间为2kp-kZ)2，2kp+pp(22p3p()减区间为2kp+，2kp+kZ22图象的对称点为(kp，0)，对称轴为x=kp+p(kZ)2y=cosx的增区间为2kp，2kp+p(kZ)减区间为2kp+p，2kp+2p(kZ)图象的对称点为kp+，0p，对称轴为x=kp(kZ)2，kp+kZy=tanx的增区间为kp-p2p2页脚内容高中数学必修1知识点26.正弦型函数y=Asin(wx+j)的图象和性质要熟记。或y=Acos(wx+j)（1）振幅|A|，周期T=2p|w|若f(x0)=A，则x=x0为对称轴。若f(x0)=0，则(x0，0)为对称点，反之也对。，p，2p，求出x与y，依点（2）五点作图：令wx+j依次为0，p3p22（x，y）作图象。（3）根据图象求解析式。（求A、w、j值）如图列出p2w(x)+j=01w(x)+j=2解条件组求w、j值D正切型函数y=Atan(wx+j)，T=p|w|27.在三角函数中求一个角时要注意两个方面先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。如：cosx+=-，xp，62p23p2，求x值。，x+，x+=，x=p）（px3p7pp5pp5p132663641228.在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？如：函数y=sinx+sin|x|的值域是（x0时，y=2sinx-2，2，x0，a0）（y=sina+cosa+sina()cosacos2a(sina+1)sina31.熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？理解公式之间的联系：页脚内容sin(ab)=sinacosbcosasinbsin2a=2sinacosacos(ab)=cosacosbmsinasinbcos2a=cos2a-sin2a高中数学必修1知识点令a=b令a=btan(ab)=tanatanb1mtanatanb=2cos2a-1=1-2sin2atan2a=2tana1-tan2acos2a=sin2a=1+cos2a21-cos2a2sina+cosa=2sina+sina+3cosa=2sina+asina+bcosa=a2+b2sin(a+j)，tanj=bap4p3应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）具体方法：=a-b（1）角的变换：如b=(a+b)-a，a+bba222（2）名的变换：化弦或化切（3）次数的变换：升、降幂公式（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。=1，tan(a-b)=-，求tan(b-2a)的值。如：已知sinacosa21-cos2a3（由已知得：=1，tana=sinacosacosa12sin2a2sina2又tan(b-a)=23()tan(b-2a)=tan(b-a)-a=tanb-a-tana=32=1）1+21821-1+tan(b-a)tana3232.正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？页脚内容高中数学必修1知识点=b+c余弦定理：a222-2bccosAcosA=b2+c2-a22bc正弦定理：=2Rb=2RsinBc=2RsinC2（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）a=2RsinAabcsinAsinBsinCS=1absinCDA+B+C=p，A+B=p-Csin(A+B)=sinC，sinA+BC=cos22如DABC中，2sin2（1）求角C；A+B2+cos2C=1（2）若a2=b2+c22，求cos2A-cos2B的值。（1）由已知式得：1-cos(A+B)+2cos2C-1=1又A+B=p-C，2cos2C+cosC-1=0cosC=12或cosC=-1（舍）又0Cb01，ab高中数学必修1知识点p，反正切：arctanx-p，(xR)2234.不等式的性质有哪些？（1）ab，c0acbcc0acb，cda+cb+d（3）ab0，cd0acbd111abab（5）ab0anbn，nanb（6）|x|0)-axaxa0，则下列结论不正确的是（如：若11ab）D.aA.a2|a+b|答案：C35.利用均值不等式：B.ab2ba2ab(a，bR)；a+b2ab；ab求最值时，你是否注+ba22+a+b22()aba，bR22a+b意到“a，bR+”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(a+b)其中之一为定值？（一正、二定、三相等）注意如下结论：a2+b2a+b2ab+当且仅当a=b时等号成立。a2+b2+c2ab+bc+ca(a，bR)当且仅当a=b=c时取等号。ab0，m0，n0，则页脚内容如：若x0，2-3x-的最大值为（设y=2-3x+2-212=2-43高中数学必修1知识点bb+ma+na10，x=时，y23x3max=2-43）又如：x+2y=1，则2x+4y的最小值为（2x+22y22x+2y=221，最小值为22）36.不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并注意简单放缩法的应用。+2如：证明1+1112232n2+1+（1+1111112232n21223(n-1)n=1+1-1+-+-=2-a(a0)的一般步骤是什么？g(x)（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）38.用“穿轴法”解高次不等式“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始如：(x+1)(x-1)2(x-2)31或0a）高中数学必修1知识点40.对含有两个绝对值的不等式如何去解？（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）例如：解不等式|x-3|-x+111241.会用不等式|a|-|b|ab|a|+|b|证明较简单的不等问题如：设f(x)=x2-x+13，实数a满足|x-a|1求证：f(x)-f(a)2(|a|+1)证明：|f(x)-f(a)|=|(x2-x+13)-(a2-a+13)|=|(x-a)(x+a-1)|(|x-a|1)=|x-a|x+a-1|x+a-1|x|+|a|+1又|x|-|a|x-a|1，|x|a|+1f(x)-f(a)2|a|+2=2(|a|+1)（按不等号方向放缩）42.不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“”问题）如：af(x)恒成立af(x)恒成立af(x)的最大值af(x)能成立af(x)的最小值例如：对于一切实数x，若x-3+x+2a恒成立，则a的取值范围是（设u=x-3+x+2，它表示数轴上到两定点-2和3距离之和umin=3-(-2)=5，5a，即a5或者：x-3+x+2(x-3)-(x+2)=5，a0，d0，解不等式组n1n+1可得S达到最大值时的n值。nan+10a0当a0，由n1可得S达到最小值时的n值。na如：等差数列，S=18，a+annnn-1+an-2=3，S=1，则n=3（由a+ann-1+an-2=33an-1=3，an-1=13又S=(a31+a)323=3a=1，a=122+1n=18S=n1(a+a)n(a+a)n31n2n-1222n=27）44.等比数列的定义与性质页脚内容高中数学必修1知识点定义：an+1=q（q为常数，q0），aann=aqn-11等比中项：x、G、y成等比数列G2=xy，或G=xy前n项和：S=a1-qn)(1-q(q1)1nna(q=1)1（要注意!）性质：an是等比数列（1）若m+n=p+q，则aa=aamnpq（2）S，Sn2n-S，Sn3n-S仍为等比数列2n45.由S求a时应注意什么？nn（n=1时，a=S，n2时，a=S-S11nn46.你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？例如：（1）求差（商）法n-1）如：an满足1a21+122a+212na=2n+5n21n2时，a+a+2n-1n-1=2n-1+5解：n=1时，1a=21+5，a=14111212221a2n+1(n2)-得：12na=2n+1n14(n=1)a=n练习a=2n3n+1，a=4，求a数列an满足Sn+Sn+15=a1n（注意到an+1=Sn+1-S代入得：nSn+1=4Sn又S=4，S是等比数列，S=4n1nnn2时，a=S-Snnn-1=34n-1页脚内容高中数学必修1知识点（2）叠乘法a例如：数列a中，a=3，an+1=n1nnn+1，求an解：a2a1aaa12n-113n=，n=aa23nan2n-11n又a=3，a=31n（3）等差型递推公式由a-ann-1=f(n)，a=a，求a，用迭加法10n两边相加，得：a-a=f(3)n2时，a-a=f(2)2132a-ann-1=f(n)a-a=f(2)+f(3)+f(n)n1a=a+f(2)+f(3)+f(n)n0练习数列an，a1=1，a=3n-1+ann-1(n2)，求an2（a=1n(3n-1)）（4）等比型递推公式a=cann-1+d(c、d为常数，c0，c1，d0)可转化为等比数列，设a+x=c(ann-1+x)a=cann-1+(c-1)x令(c-1)x=d，x=dc-1a+是首项为a1+nddc-1c-1，c为公比的等比数列a+d=a+cn-1c-11c-1dna=a+cn-1-n1ddc-1c-1页脚内容高中数学必修1知识点练习数列an满足a1=9，3an+1+a=4，求ann（a=8-3n+1=2a4n-1n（5）倒数法例如：a=1，a1+1）na+2n，求an由已知得：1an+1=an+22an11=+2an1an+1-1an=121为等差数列，=1，公差为an11a21=1+(n-1)1=11(n+1)a22nn+1a=2n47.你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。如：ann是公差为d的等差数列，求1aak=1kk+1aaa(a+d)daa解：由=111-11=(d0)kk+1kkkk+1