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青岛市高三统一质量检测数学（理科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟注意事项：1答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上2第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号答案不能答在试题卷上3第卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带不按以上要求作答的答案无效参考公式：球的表面积为：,其中为球的半径第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 是虚数单位，复数的实部为A B C D【答案】C【解析】，所以实部是1，选C.2. 设全集，集合，则 A B C D【答案】B【解析】，所以，所以，选B.3. 下列函数中周期为且为偶函数的是A B. C. D【答案】A【解析】为偶函数，且周期是，所以选A.4. 设是等差数列的前项和，,则 A BC D【答案】C【解析】由得，即，所以，选C.5. 已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A若,且,则正视图俯视图左视图B若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则C若，则D若，则【答案】D【解析】根据线面垂直的性质可知，选项D正确。6. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是的圆，则这个几何体的表面积是A B C D【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是一挖去半球的球。其中两个半圆的面积为。个球的表面积为，所以这个几何体的表面积是，选A.7. 已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一点，且在第一象限，垂足为，则直线的倾斜角等于A B. C D. 【答案】B【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为。由题意,则,即，所以,即，不妨取,则设直线的倾斜角等于，则，所以，选B.8. 若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为A B C D【答案】B【解析】由得，即。由，得，即，所以，所以，所以向量与的夹角的余弦值为，所以，选B.9. 已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为A B C D【答案】C【解析】由得，作出函数的图象，当时，所以要使函数有三个不同的零点，则，即，选C.10. 已知的最小值为，则二项式展开式中项的系数为A B C D【答案】A【解析】因为函数的最小值为，即。展开式的通项公式为，由，得，所以，即项的系数为15，选A.11. 已知函数对定义域内的任意都有=，且当时其导函数满足若则A BC D【答案】C【解析】由=，可知函数关于对称。由得，所以当时，函数递增，所以当时，函数递减。当，即。所以，所以，即，所以，即，选C.12. 定义区间，的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, 的长度. 用表示不超过的最大整数，记，其中.设，当时,不等式解集区间的长度为，则的值为 A B C D网【答案】B【解析】，由，得，即。当，不等式的解为，不合题意。当，不等式为，无解，不合题意。当时，所以不等式等价为，此时恒成立，所以此时不等式的解为，因为不等式解集区间的长度为，所以，即，选B.第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13. 某程序框图如右图所示，若,则该程序运行后，输出的值为 ; 开始输出结束是否【答案】【解析】第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，。此时不满足条件，输出。14. 若，则的值是 ;【答案】【解析】由，所以，解得。15. 已知满足约束条件,则目标函数的最大值是 【答案】【解析】由得，。作出不等式对应的区域，平移直线，由图象可知，当直线与圆在第一象限相切时，直线的截距最大，此时最大。直线与圆的距离，即，所以目标函数的最大值是。16给出以下命题： 双曲线的渐近线方程为； 命题“，”是真命题； 已知线性回归方程为，当变量增加个单位，其预报值平均增加个单位； 设随机变量服从正态分布，若，则； 已知，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为，（）则正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）【答案】【解析】正确。当时，所以错误。正确。因为，所以，所以错误。正确。三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）已知函数 在区间上单调递增,在区间上单调递减;如图,四边形中,为的内角的对边，且满足.（）证明：；（）若，设，,，求四边形面积的最大值.18（本小题满分12分）现有长分别为、的钢管各根（每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号），从中随机抽取根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的,），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根（）当时,记事件抽取的根钢管中恰有根长度相等，求；（）当时,若用表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）,求的分布列；令，求实数的取值范围19（本小题满分12分）如图，几何体中，四边形为菱形，面面,、都垂直于面,且，为的中点，为的中点.（）求证：为等腰直角三角形；（）求二面角的余弦值.20（本小题满分12分）已知,数列满足,数列满足；又知数列中，且对任意正整数，.（）求数列和数列的通项公式；（）将数列中的第项，第项，第项，第项，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前项和.21（本小题满分13分）已知向量，（为常数， 是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直,（）求的值及的单调区间；（）已知函数(为正实数),若对于任意，总存在， 使得，求实数的取值范围22（本小题满分13分）已知椭圆:的焦距为,离心率为,其右焦点为,过点作直线交椭圆于另一点.()若,求外接圆的方程;()若过点的直线与椭圆相交于两点、，设为上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.青岛市高三统一质量检测数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分 C B A C D A B B C A C B 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13. 14. 15. 16三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17. （本小题满分12分）解：（）由题意知：，解得：， 2分 4分6分（）因为，所以，所以为等边三角形 8分 9分， 10分,， 当且仅当即时取最大值,的最大值为12分18（本小题满分12分）解：()事件为随机事件， 4分（）可能的取值为 23456的分布列为： 9分 10分， 12分19（本小题满分12分）解：（I）连接，交于，因为四边形为菱形，所以因为、都垂直于面,，又面面,所以四边形为平行四边形 ,则2分因为、都垂直于面,则4分所以所以为等腰直角三角形 5分（II）取的中点，因为分别为的中点，所以以分别为轴建立坐标系， 则所以 7分设面的法向量为，则，即且令，则 9分设面的法向量为，则即且令，则 11分则,则二面角的余弦值为 12分20（本小题满分12分）解：, 3分又由题知：令 ，则, 5分若，则，所以恒成立若,当,不成立,所以 6分（）由题知将数列中的第3项、第6项、第9项删去后构成的新数列中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是，公比均是 9分 12分21（本小题满分13分）解：（I）由已知可得：=，由已知， 2分所以 3分由，由的增区间为，减区间为 5分（II）对于任意，总存在， 使得， 6分由（I）知，当时，取得最大值.8分对于，其对称轴为当时， ，从而10分当时， ，从而12分综上可知： 13分 22（本小题满分13分）解：()由题意知：，又，解得：椭圆的方程为： 2分可得：，,设，则，即由，或即，或 4分当的坐标为时，外接圆是以为圆心，为半径的圆，即5分当的坐标为时，所以为直角三角形，其外接圆是以线段为直径的圆，圆心坐标为，半径为，外接圆的方程为综上可知：外接圆方程是，或 7分()由题意可知直线的斜率存在.设，由得：由得：（） 9分，即，结合（）得： 11分，从而，点在椭圆上，整理得：即，或13分
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