【世纪金榜】2016届高三数学总复习 单元评估检测(六)不等式、推理与证明 文 新人教A版

【世纪金榜】2016届高三数学总复习 单元评估检测(六)不等式、推理与证明 文 新人教A版一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2015大庆模拟)若abB.C.|a|b|D.a2b2【解析】选A.特值法:令a=-2,b=-1,代入可知A不成立.2.(2015湖北八校联考)不等式组表示的平面区域是()A.矩形B.三角形C.直角梯形D.等腰梯形【解析】选D.由(x-y+3)(x+y)0,得或且0x4,故所求平面区域为等腰梯形.3.已知集合A=x|y=lg(x+3),B=x|x2,则AB=()A.(-3,2B.(-3,+)C.2,+)D.-3,+)【解析】选C.由y=lg(x+3),得到x+30,即x-3,所以A=(-3,+),因为B=2,+),所以AB=2,+).故选C.4.有以下结论:(1)已知p3+q3=2,求证p+q2,用反证法证明时,可假设p+q2.(2)已知a,bR,|a|+|b|2.故(1)的假设是错误的,而(2)的假设是正确的,故选D.5.(2015广州模拟)将正偶数2,4,6,8,按表的方式进行排列,记aij表示第i行第j列的数,若aij=2014,则i+j的值为()第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行18202224第4行32302826第5行34363840A.257B.256C.254D.253【解析】选C.因为2014=16125+27,2014=8252-2,所以可以看作是1252行,再从251行数7个数,也可以看作252行再去掉2个数,也就是2014在第252行第2列.即i=252,j=2,所以i+j=252+2=254.故选C.6.(2015铜川模拟)若变量x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值为()A.-B.0C.D.【解析】选C.根据x,y满足约束条件画出线性区域如图:则线性目标函数z=x+2y过A(,)时有最大值,最大值为.7.(2015昆明模拟)已知关于x的不等式(ax-1)(x+1)0,a1)的图象过区域M的a的取值范围是()A.1,3B.2,C.2,9D.,9【解析】选C.作二元一次不等式组的可行域如图所示,由题意得A(1,9),C(3,8).当y=ax过A(1,9)时,a取最大值,此时a=9;当y=ax过C(3,8)时,a取最小值,此时a=2,所以2a9.10.已知f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(n)不能等于()A.f(1)+2f(1)+nf(1)B.fC.n(n+1)D.n(n+1)f(1)【解析】选D.由已知f(x+y)=f(x)+f(y)及f(1)=2,得f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2f(1)=4,f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=6,依此类推,f(n)=f(n-1+1)=f(n-1)+f(1)=nf(1)=2n,所以f(1)+f(2)+f(n)=2+4+6+2n=n(n+1).故C正确,显然A,B也正确,只有D不可能成立.11.(2015六盘水模拟)若直线2ax+by-2=0(a0,b0)平分圆x2+y2-2x-4y-6=0,则+的最小值是()A.2-B.-1C.3+2D.3-2【解题提示】先利用已知条件确定出a,b的关系,再用均值不等式求最小值.【解析】选C.由x2+y2-2x-4y-6=0得(x-1)2+(y-2)2=11,若直线2ax+by-2=0平分圆,则2a+2b-2=0,即a+b=1,所以+=+=3+3+2=3+2,当且仅当=,且a+b=1,即a=2-,b=-1时取等号.12.(2015郑州模拟)设f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的x都有f(2-x)+f(x)=0恒成立,如果实数m,n满足不等式组则m2+n2的取值范围是()A.(3,7)B.(9,25)C.(13,49)D.(9,49)【解题提示】由已知不等式组得到m,n的不等式组,利用线性规划解得取值范围.【解析】选C.依题意得-f(n2-8n)=f(2-n2+8n),于是题中的不等式组等价于又函数f(x)是R上的增函数,所以上述不等式组等价于即注意到m2+n2=可视为动点(m,n)与原点间的距离的平方,因此问题可转化为不等式组表示的平面区域内的所有的点(m,n)与原点间的距离的平方的取值范围,该不等式组表示的平面区域是如图所示的半圆及直线m=3所围成的区域(不含边界),结合图象不难得知,平面区域内的所有的点与原点间的距离的平方应大于原点与点(3,2)间的距离的平方,应小于原点与点(3,4)间的距离再加上2的和的平方,即当m3时,m2+n2的取值范围是(13,49).二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2015衡阳模拟)已知点C在直线AB上运动,O为平面上任意一点,且=x+4y(x,yR+),则xy的最大值是.【解析】由题易知x+4y=1,xy=x4y=,当且仅当x=4y=时取等号.答案:14.(2015北京模拟)某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=.【解析】该公司一年购买货物400吨,每次都购买x吨,则需要购买次,又运费为4万元/次,所以一年的总运费为4万元,又一年的总存储费用为4x万元,则一年的总运费与总存储费用之和为4+4x(万元),4+4x160,当=4x,即x=20时,一年的总运费与总存储费用之和最小.答案:2015.已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bR)的值域为0,+),若关于x的不等式f(x)c的解集为(m,m+6),则实数c的值为.【解析】由值域为0,+),当x2+ax+b=0时有=a2-4b=0,即b=,所以f(x)=x2+ax+b=x2+ax+=,所以f(x)=c,解得-x+,-x-.因为不等式f(x)1的解集.【解析】f(x)1,即ax2+x-a1,(x-1)(ax+a+1)0,当a=0时,解集为x|x1;当a0时,(x-1)0,因为1-1-,所以解集为;综上a=0时不等式解集为x|x1;a0时,不等式解集为.18.(12分)已知x0,y0,且2x+8y-xy=0,求:(1)xy的最小值.(2)x+y的最小值.【解析】因为x0,y0,2x+8y-xy=0,(1)xy=2x+8y2,当且仅当2x=8y时取等号.所以8,所以xy64.故xy的最小值为64.(2)由2x+8y=xy,得:+=1,所以x+y=(x+y)1=(x+y)=10+10+8=18,当且仅当x=2y时取等号.故x+y的最小值为18.19.(12分)观察此表:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,问:(1)此表第n行的第一个数与最后一个数分别是多少?(2)此表第n行的各个数之和是多少?(3)2015是第几行的第几个数?【解析】(1)此表第n行的第一个数为2n-1,第n行共有2n-1个数,依次构成公差为1的等差数列.由等差数列的通项公式,此表第n行的最后一个数是2n-1+(2n-1-1)1=2n-1.(2)由等差数列的求和公式,此表第n行的各个数之和为=22n-2+22n-3-2n-2.(3)设2015在此数表的第n行.则2n-120152n-1可得n=11.故2015在此数表的第11行,设2015是此数表的第11行的第m个数,而第11行的第1个数为210,因此,2015是第11行的第992个数.20.(12分)(2015无锡模拟)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池,池的深度一定,池的四周墙壁建造单价为每米400元,中间一条隔壁建造单价为每米100元,池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计).(1)污水处理池的长设计为多少米时,可使总造价最低.(2)如果受地形限制,污水处理池的长、宽都不能超过14.5米,那么此时污水处理池的长设计为多少米时,可使总造价最低.【解析】(1)设污水处理池的长为x米,则宽为米,总造价f(x)=400+100+60200=800+120001600+12000=36000(元),当且仅当x=(x0),即x=15时等号成立.即污水处理池的长设计为15米时,可使总造价最低.(2)记g(x)=x+(0ax-5当0xax-5化为x2+x-2ax-5,axx2+x+3,因为x(0,2),所以a=1+x+.当x(0,2)时,1+x+1+2,当且仅当x=,即x=时取等号,由(0,2),得所以a0,c0.再由a+c=,得ac=,故ac=,且a=c=,故f(x)的解析式是f(x)=x2+x+.- 10 -