【世纪金榜】2016届高三数学总复习 单元评估检测(四)平面向量、数系的扩充与复数 文 新人教A版

【世纪金榜】2016届高三数学总复习 单元评估检测(四)平面向量、数系的扩充与复数 文 新人教A版一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2015长春模拟)已知=1-yi,其中x,y是实数,i是虚数单位,则x+yi的共轭复数为()A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i【解析】选D.由=1-yi得故x+yi的共轭复数为2-i.【加固训练】在复平面内复数(1-i)4的对应点位于()A.第一象限B.实轴C.虚轴D.第四象限【解析】选B.由(1-i)4=(-2i)2=-4,故位于实轴上.2.已知向量a=(2,1),b=(-1,2),且m=ta+b,n=a-kb(t,kR),则mn的充要条件是()A.t+k=1B.t-k=1C.tk=1D.t-k=0【解题提示】写出m,n坐标后利用mn=0可求.【解析】选D.由已知得m=t(2,1)+(-1,2)=(2t-1,t+2),n=(2,1)-k(-1,2)=(k+2,1-2k).又mn,故mn=0即(2t-1)(k+2)+(t+2)(1-2k)=0,整理得t-k=0.3.(2015重庆模拟)已知向量|a|=2,|b|=,且ab=3,则a与b的夹角为()A.B.C.D.以上都不对【解析】选A.设a与b的夹角为,则cos= =.又因为0,所以=.4.(2015日照模拟)在ABC中,A=90,AB=1,AC=2.设点P,Q满足=,=(1-),R.若=-2,则=()A.B.C.D.2【解析】选B.如图,以A点为原点,以AB,AC所在直线分别为x轴,y轴建系.则B(1,0),C(0,2),A(0,0),由=得P(,0).由=(1-)得Q(0,2-2),故=(-1,2-2),=(,-2).故=-2(2-2)=3-4=-2.解得=.5.(2015贵阳模拟)已知ABC中,=a,=b,ab0,SABC=,|a|=3,|b|=5,则a与b的夹角为()A.30B.120C.150D.30或150【解析】选C.SABC=|sinA=|a|b|sinA=35sinA=,所以sinA=.又ab0,所以复数z对应的点在第一象限.7.(2015南宁模拟)如图所示,非零向量=a,=b,且BCOA,C为垂足,若=a(0),则=()【解析】选A.,即,所以(-)=0,所以|2-=0,即2|a|2-ab=0,又0,解得=8.(2015杭州模拟)设a,b是两个非零向量()A.若|a+b|=|a|-|b|,则abB.若ab,则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数,使得a=bD.若存在实数,使得a=b,则|a+b|=|a|-|b|【解析】选C.利用排除法可得选项C是正确的.因为|a+b|=|a|-|b|,则a,b共线,且a与b反向,故A,B不正确;选项D,若存在实数,使得a=b,a,b可为同向的共线向量,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立.9.(2015昆明模拟)如图,正六边形ABCDEF中,有下列四个结论:+=2;=2+2;=;()=().其中正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.+=+=2,故对;取AD的中点O,则=2=2+2,故对;设|=1,则=2cos=3,而=21cos=1,故错;设|=1,则|=2,()=(21cos60)=.()=(11cos120)=-=,故正确.综上,正确结论为,故选C.10.给出下列命题:p:函数f(x)=sin4x-cos4x的最小正周期是;q:xR,使得log2(x+1)0;r:已知向量a=(,1),b=(-1,2),c=(-1,1),则(a+b)c的充要条件是=-1.其中所有真命题是()A.qB.pC.p,rD.p,q【解析】选D.f(x)=sin4x-cos4x=(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)=sin2x-cos2x=-cos2x,故最小正周期为,故命题p正确;当0x+11,即-1x0时,log2(x+1)0,故命题q正确;a+b=(-1,2+1),故(a+b)c的充要条件为-1=-(2+1),解得=-1或=0,故命题r不正确.11.已知平面向量a=(sin2x,cos2x),b=(sin2x,-cos2x),R是实数集,f(x)=ab+4cos2x+2sinxcosx.如果mR,xR,f(x)f(m),那么f(m)=()A.2+2B.3C.0D.2-2【解题提示】本题解题实质是求f(x)的最小值.【解析】选C.由已知可得f(x)=sin4x-cos4x+4cos2x+2sinxcosx=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+4cos2x+2sinxcosx=sin2x-cos2x+4cos2x+2sinxcosx=-cos2x+2(cos2x+1)+sin2x=sin2x+cos2x+2=2sin+2.故f(x)min=0,因此f(m)=0.12.(能力挑战题)设非零向量a,b的夹角为,记f(a,b)=acos-bsin,若e1,e2均为单位向量,且e1e2=,则向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为()A.B.C.D.【解题提示】根据e1e2=求e1与e2的夹角,进而确定e2与-e1的夹角,根据新定义求向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的数量积,由此确定其夹角.【解析】选B.设e1,e2的夹角为,则e2与-e1的夹角为-,由题意,得|e1|=|e2|=1,所以e1e2=|e1|e2|cos=cos=,故=,-=,所以f(e1,e2)=e1cos-e2sin=e1-e2,f(e2,-e1)=e2cos-=e1-e2,f(e1,e2)f(e2,-e1)= =-e1e2+=-=0.所以f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为.【方法技巧】平面向量的数量积的运算技巧(1)平面向量数量积的运算类似于多项式的乘法运算,特别要注意乘法公式的应用.(2)熟记公式a2=|a|2=aa,在遇到向量模的问题时,可将所给等式(不等式)两边平方,将向量问题转化为实数问题来解决.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.设aR,且(a+i)2i为正实数,则a的值为.【解析】(a+i)2i=(a2-1+2ai)i=-2a+(a2-1)i,由(a+i)2i为正实数得解得a=-1.答案:-114.(2015厦门模拟)已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),若ab,则9x+3y的最小值为.【解析】若ab,则ab=0,所以2x+y=2,由基本不等式得9x+3y6,当且仅当9x=3y,即x=,y=1时等号成立.答案:615.(2015南宁模拟)已知平面向量,且|=1,|=2,(-2),则|2+|=.【解析】由(-2)得(-2)=2-2=0,所以=,所以(2+)2=42+2+4=412+22+4=10,所以|2+|=.答案:【方法技巧】平面向量的数量积的运算技巧(1)平面向量数量积的运算类似于多项式的乘法运算,特别要注意乘法公式的应用.(2)熟记公式a2=|a|2=aa,在遇到向量模的问题时,可将所给等式(不等式)两边平方,将向量问题转化为实数问题来解决.16.在ABC中设角A,B,C的对边分别为a,b,c,若m=(cos C,2a-c),n=(b,-cos B),且mn=0,则B=.【解析】由mn=0得bcosC-(2a-c)cosB=0,即b=(2a-c),整理得ac=a2+c2-b2,又cosB=.又因为0B,所以B=.答案: 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知=(6,1),=(x,y),=(-2,-3),(1)若,求x与y之间的关系式.(2)在(1)的前提下,若,求向量的模的大小.【解析】(1)=+=(x+4,y-2).因为,所以x(2-y)-y(-x-4)=0,所以x+2y=0.(2)=(x+6,y+1),=(x-2,y-3).因为,所以=0,所以(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.又因为x+2y=0,所以(-2y+6)(-2y-2)+(y+1)(y-3)=0.即y2-2y-3=0,解得y=3或y=-1.即=(-6,3)或=(2,-1),所以|=3或|=.18.(12分)已知复平面内平行四边形ABCD(A,B,C,D按逆时针排列),A点对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i.(1)求点C,D对应的复数.(2)求平行四边形ABCD的面积.【解题提示】由点的坐标得到向量的坐标,运用向量、复数间的对应关系解题.【解析】(1)设点O为原点,因为向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,所以向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i,又=+,所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i,又=+=(1+2i)+(3-i)=4+i,=-=2+i-(1+2i)=1-i,所以=+=1-i+(4+i)=5,所以点D对应的复数为5.(2)由(1)知=(1,2),=(3,-1),因为=|cosB,所以cosB=,所以sinB=,又|=,|=,所以面积S=|sinB=7.所以平行四边形ABCD的面积为7.19.(12分)(2015兰州模拟)设向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),定义一种向量积ab=(a1b1,a2b2),已知向量m=,n=,点P(x,y)在y=sinx的图象上运动.Q是函数y=f(x)图象上的点,且满足=m+n(其中O为坐标原点),求函数y=f(x)的值域.【解题提示】设出Q点坐标,与P点坐标建立联系后可求得y=f(x)的解析式从而可求值域.【解析】设Q(x,y),P(x1,y1),则由已知可得(x,y)=(x1,y1)+=+=.故即又因为P点在y=sinx上,故2y=sin,故f(x)=sin,因为xR,故-f(x).20.(12分)已知A,B,C是ABC的三个内角,向量m=(sin A-sin B,sin C),向量n=(sin A-sin C,sin A+sin B),且mn.(1)求角B.(2)若sin A=,求cos C的值.【解析】(1)依题意得sin2A-sin2B=sin C(sin A-sin C)=sin Asin C-sin2C,由正弦定理得,a2-b2=ac-c2,所以a2+c2-b2=ac.由余弦定理知,cos B=,所以B=.(2)因为sin A=,所以sin A,所以AB.又B=,所以A,所以cos A=,所以cos C=cos(-A)=coscos A+sinsin A=-.21.(12分)(2015福州模拟)已知点A(2,0),B(0,2),C(cos,sin),且0.(1)若|+|=,求与的夹角.(2)若,求tan的值.【解析】(1)因为|+|=,所以(2+cos)2+sin2=7,所以cos=.又因为(0,),所以=AOC=,又因为AOB=,所以与的夹角为.(2)=(cos-2,sin),=(cos,sin-2).因为,所以=0,所以cos+sin=,所以(cos+sin)2=,所以2sincos=-.又因为(0,),所以.因为(cos-sin)2=1-2sincos=,cos-sin0,所以cos-sin=-.由得cos=,sin=,所以tan=-.22.(12分)已知向量a=(sin(x+),2),b=(1,cos(x+),函数f(x)=(a+b)(a-b),y=f(x)图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1,且经过点M.(1)求函数f(x)的解析式.(2)当-1x1时,求函数f(x)的单调区间.【解析】(1)f(x)=(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=sin2(x+)+3-cos2(x+)=-cos(2x+2)+3,由题意得周期T=4,故=,又图象过点M,所以=3-cos,即sin2=,而0,故2=,则f(x)=3-cos.(2)当-1x1时,-x+.所以当-x+0时,即x时,f(x)是减函数.当0x+时,即x时,f(x)是增函数.则函数f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是.- 12 -