2023届大一轮复习 第31练 抛物线含解析

2023届大一轮复习 第31练 抛物线 一、选择题（共25小题）1. 方程 x2+xy=x 所表示的曲线关于 A. x 轴对称B. y 轴对称C. 原点对称D. y=x 直线对称 2. 抛物线 x2=my 上的点到定点 0,4 和定直线 y=4 的距离相等，则 m 的值等于 A. 116B. 116C. 16D. 16 3. 已知抛物线的准线方程为 x=7，则抛物线的标准方程为 A. x2=28yB. y2=28xC. y2=28xD. x2=28y 4. 若抛物线 y2=8x 上一点 P 到其焦点的距离为 9，则点 P 的坐标为 A. 7,14B. 14,14C. 7,214D. 7,214 5. 抛物线 y=ax2a0 的准线方程是 y2=0，则 a 的值是 A. 18B. 18C. 8D. 8 6. 若双曲线 x2316y2p2=1 的左焦点在抛物线 y2=2px 的准线上，则 p 的值为 A. 2B. 3C. 4D. 42 7. 若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 x26+y22=1 的右焦点重合，则 p 的值为 A. 4B. 4C. 2D. 2 8. 过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 O 是坐标原点，若 AF=5，则 AOB 的面积为 A. 5B. 52C. 32D. 178 9. 已知点 Q22,0 及抛物线 x2=4y 上一动点 Px,y，则 y+PQ 的最小值是 A. 12B. 1C. 2D. 3 10. 如图，过抛物线 y2=2px（p0）的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，B，交其准线 l 于点 C若 BC=2BF，且 AF=3，则此抛物线的方程为 A. y2=9xB. y2=6xC. y2=3xD. y2=x 11. 已知点 F 是抛物线 x2=4y 的焦点，点 P 为抛物线上的任意一点，M1,2，则 PM+PF 的最小值为 A. 3B. 2C. 4D. 23 12. 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 Ax1,y1 Bx2,y2 两点，如果 x1+x2=6，那么 AB= A. 6B. 8C. 9D. 10 13. 设点 A 的坐标为 1,15，点 P 在抛物线 y2=8x 上移动，P 到直线 x=1 的距离为 d，则 d+PA 的最小值为 A. 1B. 2C. 3D. 4 14. 已知双曲线 x29y227=1 的左、右焦点分别为 F1，F2，且 F2 为抛物线 y2=2px 的焦点，设 P 为两曲线的一个公共点，则 PF1F2 的面积为 A. 18B. 183C. 36D. 366 15. 若点 P 到点 F0,2 的距离比它到直线 y+4=0 的距离小 2，则 P 的轨迹方程为 A. y2=8xB. y2=8xC. x2=8yD. x2=8y 16. 已知抛物线 y2=4x 上点 B（在第一象限）到焦点 F 距离为 5，则点 B 坐标为 A. 1,1B. 2,3C. 4,4D. 4,3 17. 已知抛物线 C：y2=8x 的焦点为 F，P 是抛物线 C 的准线上的一点，且 P 的纵坐标为正数，Q 是直线 PF 与抛物线 C 的一个交点若 PQ=2QF，则直线 PF 的方程为 A. xy2=0B. x+y2=0C. xy+2=0D. x+y+2=0 18. 过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 O 是坐标原点，则 AFBF 的最小值是 A. 2B. 2C. 4D. 22 19. 已知双曲线 x22y2b2=1b0 的右焦点到其一条渐近线的距离等于 2，抛物线 y2=2pxp0 的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点 M 到直线 l1:4x3y+8=0 和 l2:x=3 的距离之和的最小值为 A. 115B. 145C. 165D. 215 20. 斜率为 1 的直线经过抛物线 y2=4x 的焦点，且与抛物线相交于 A，B 两点，则 AB = A. 8B. 6C. 12D. 73 21. 定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y2=2x 上移动，M 为线段 AB 的中点，则 M 点到 y 轴的最短距离为 A. 12B. 1C. 32D. 2 22. 抛物线 y2=2px 与直线 2x+y+a=0 交于 A，B 两点，其中点 A 的坐标为 1,2，设抛物线的焦点为 F，则 FA+FB 的值等于 A. 7B. 35C. 6D. 5 23. 给定下列关于异面直线的命题：命题（1）：若平面 上的直线 a 与平面 上的直线 b 为异面直线，直线 c 是 与 的交线，那么 c 至多与 a，b 中的一条相交；命题（2）：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线那么 A. 命题（1）正确，命题（2）不正确B. 命题（2）正确，命题（1）不正确C. 两个命题都正确D. 两个命题都不正确 24. 已知 A0,1 和直线 l:x=5，抛物线 y2=4x 上动点 P 到 l 的距离为 d，则 PA+d 的最小值是 A. 6B. 5+2C. 4+2D. 42 25. 已知双曲线 x2a2y2b2=1（a0，b0）与抛物线 y2=4cx（其中 c=a2+b2）交于 A，B 两点，若 AB=4c，则双曲线的离心率为 A. 3B. 2C. 5D. 2+1 二、选择题（共4小题）26. 下面四个关于圆锥曲线的命题中，其中真命题为 A. 设 A，B 为两个定点，K 为非零常数，若 PAPB=K，则动点 P 的轨迹是双曲线B. 方程 2x25x+2=0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率C. 双曲线 x227y29=1 与椭圆 x235+y2=1 有相同的焦点D. 已知抛物线 y2=2pxp0，以过焦点的一条弦 AB 为直径作圆，则此圆与准线相切 27. 已知曲线 C:mx2+ny2=1A. 若 mn0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上B. 若 m=n0，则 C 是圆，其半径为 nC. 若 mn0，则 C 是双曲线，其渐近线方程为 y=mnxD. 若 m=0，n0 的焦点为 F，准线为 l，线段 FA 交抛物线于点 B，过点 B 作准线 l 的垂线，垂足为 M若 AMMF则 p= 36. 已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F, 准线 l 与 x 轴的交点为 M，过点 M 的直线 l 与抛物线的交点为 P，Q，延长 PF 交抛物线 C 于点 A，延长 QF 交抛物线 C 于点 B，若 PFAF+QFBF=22，则直线 l 的方程为 答案1. C2. C【解析】根据抛物线定义可知，定点 0,4 为抛物线焦点，且 m0，所以 m4=4，解得：m=163. B【解析】因为抛物线的准线方程为 x=7，所以抛物线开口向右且方程为 y2=2px，则 7=p2，所以 p=14，所以抛物线的标准方程为 y2=28x4. C【解析】由点 P 到抛物线焦点的距离等于点 P 到其准线 x=2 的距离，得 xP=7，yP=2145. B【解析】将抛物线方程化为标准形式得 x2=1ay，其准线方程为 y=14a=2，所以 a=186. C【解析】双曲线的左焦点坐标为：3+p216,0，抛物线 y2=2px 的准线方程为 x=p2，所以 3+p216=p2p0，解得：p=47. B8. B9. C10. C【解析】设 Ax1,y1，Bx2,y2，作 AM，BN 分别垂直于准线于点 M，N，则 BN=BF，AM=AF又 BC=2BF，可得 BC=2BN，所以 ACN=30，则 AC=2AM=6设 BF=x，则 2x+x+3=6，解得 x=1又 AF=x1+p2=3，BF=x2+p2=1，且 x1x2=p24，所以 3p21p2=p24，解得 p=32，所以抛物线的方程为 y2=3x故选C11. A【解析】如图，作 PN 垂直准线于点 N，所以 PM+PF=PM+PNMN，显然，当 P，M，N 三点共线时，PM+PF 的值最小因为 M1,2，准线为 y=1，所以当 P，M，N 三点共线时，N1,1，所以 MN=312. B【解析】由题意，p=2，故抛物线的准线方程是 x=1，因为抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 Ax1,y1 Bx2,y2 两点所以 AB=x1+x2+2，又 x1+x2=6 所以 AB=x1+x2+2=813. C【解析】点 P 到准线 x=2 的距离为 d+1，设点 F 为抛物线的焦点，则 PF=d+1，所以 d+PA=PF1+PA，当 A，P，F 三点共线时，PF+PA 取得最小值，故 d+PA 的最小值为 AF1=41=3故选C14. D15. C【解析】P 到 F0,2 的距离比它到直线 y+4=0 的距离小 2，因此 P 到 F0,2 的距离与它到直线 y+2=0 的距离相等，故 P 的轨迹是以 F 为焦点，y=2 为准线的抛物线，所以 P 的轨迹方程为 x2=8y16. C17. B【解析】如图，设准线与 x 轴的交点为 M，过点 Q 作 QHPM 于 H因为 PQ=2QF，由抛物线的定义得 PQ=2QH，所以在 RtPQH 中，PQH=4，所以 PFM=4，所以直线 PF 的斜率 k=1，则直线 PF 的方程为 y0=1x2，即 x+y2=0，故选B18. C【解析】设直线 AB 的倾斜角为 ，可得 AF=21cos，BF=21+cos，则 AFBF=21cos21+cos=4sin24，当 =2 时，等号成立19. D【解析】双曲线 x22y2b2=1b0 的渐近线方程为 y=b2x，右焦点 2+b2,0，c2=a2+b2，所以右焦点到其一条渐近线距离为 b22+b2b22+1=2，所以 b=2，所以 c=2+2=2，由题可得 p2=2，所以 p=4，所以抛物线方程为 y2=2px=8x，如图，过点 M 作 MAl1 于点 A，作 MBl2 于点 B，交准线 x=2 于点 C，连接 MF，根据抛物线的定义得 MA+MB=MA+MC+1=MA+MF+1，根据平面几何知识，可得当 M，A，F 三点共线时，MA+MF 有最小值，因为 F2,0 到直线 l1:4x3y+8=0 的距离为 4230+842+32=165，所以 MA+MF 的最小值为 165，由此可得所求距离和的最小值为 165+1=21520. A【解析】抛物线焦点 1,0，且斜率为 1，则直线方程为 y=x1，代入抛物线方程 y2=4x 得 x26x+1=0，设 Ax1,y1，Bx2,y2 所以 x1+x2=6 根据抛物线的定义可知 AB=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p=6+2=821. B【解析】如图所示，抛物线 y2=2x 的准线为 l:x=12，过 A，B，M 分别作 AA，BB，MM 垂直于 l，垂足分别为 A，B，M由抛物线定义知 AA=FA，BB=FB又 M 为 AB 中点，由梯形中位线定理得 MM=12AA+BB=12FA+FB12AB=123=32，则 M 到 y 轴的距离 d3212=1（当且仅当 AB 过抛物线的焦点时取“=”），所以 dmin=1，即 M 点到 y 轴的最短距离为 122. A【解析】点 A1,2 在抛物线 y2=2px 和直线 2x+y+a=0 上，则 p=2，a=4，F1,0，则 B4,4，故 FA+FB=723. D【解析】当 c 与 a，b 都相交，但交点不是同一个点时，平面 上的直线 a 与平面 上的 b 为异面直线，因此判断（1）是假命题，如图所示：对于（2），可以取无穷多个平行平面，在每个平面上取一条直线，且使这些直线两两不平行，则这些直线中任意两条都是异面直线，从而（2）是假命题24. C【解析】抛物线准线为 x=1，P 到其距离为 d1，则 d=d1+4，所以 PA+d=4+d1+PA=4+PF+PA4+FA=4+225. D【解析】由抛物线 y2=4cx 知抛物线焦点为 c,0，而抛物线与双曲线 x2a2y2b2=1 交于两点 A，B 且 AB=4c，所以 2c 为 A，B 的纵坐标的长度，所以 y=2c 代入抛物线得 x=c，即交点为 c,2c，代入双曲线得 c2a24c2b2=1，所以 b2c24a2c2=a2b2，所以 b2c2a2=4a2c2， c2a22=4a2c2， c2a2=2ac，两边同除 a2 得 e21=2e，解得 e=2+1 或 12（舍）26. B， D【解析】对A，当 PAPB=K 且 Kn0，则 1m0，则方程为 x2+y2=1n，表示半径为 1n 的圆，故B错误；C若 m0，则方程为 x21m+y21n=1，表示焦点在 y 轴的双曲线，故此时渐近线方程为 y=mnx，若 m0，n0 时，则方程为 y=1n 表示两条直线，故D正确；故选：ACD28. C， D【解析】不妨设 M 为第一象限内的点，当直线 MNx轴 时，kOM=kON，由 kOMkON=12，得 kOM=22，kON=22，所以直线 OM，ON 的方程分别为：y=22x 和 y=22x与抛物线方程联立，得 M2,2，N2,2，所以直线 MN 的方程为 x=2，此时 OM+ON=26，以 MN 为直径的圆的面积 S=2，故A、B不正确当直线 MN 与 x 轴不垂直时，设直线 MN 的方程为 y=kx+m，与抛物线方程联立消去 x，得 ky2y+m=0，则 =14km0设 Mx1,y1，Nx2,y2，则 y1y2=mk因为 kOMkON=12，所以 y1x1y2x2=12，则 2y2y1=x2x1=y12y22，则 y1y2=2，所以 mk=2，即 m=2k，所以直线 MN 的方程为 y=kx2k，即 y=kx2综上可知，直线 MN 为恒过定点 Q2,0 的动直线，故C正确；易知当 OQMN 时，原点 O 到直线 MN 的距离最大，最大距离为 2，即原点 O 到直线 MN 的距离不大于 2，故D正确29. B， C【解析】由 C:y=14x2 得 x2=4y，所以焦点坐标 F1,0，对A，直线 AB 的方程为 y=x+1，由 y=x+1,x2=4y, 得 y26y+1=0，所以 yA+yB=6，所以 AB=yA+yB+p=8；故A错误因为 C:y=14x2，所以 y=12x，则直线 AM，BM 的斜率斜率分别为 12xA，12xB，所以 lAM:y=12xAxyA，lBM:y=12xBxyB，由 y=12xAxyA,y=12xBxyB, 解得 x=xA+xB2,y=xAxB4, 即 MxA+xB2,xAxB4由题意知，直线 AB 的斜率存在，可设直线 AB 的方程为 y=kx+1，由 y=kx+1,y=14x2, 消去 y 得 x24kx4=0，所以 xA+xB=4k，xAxB=4，故D错误又 yM=xAxB4=1，故C正确对B，当 AB 的斜率为 1 时，xA+xB=4，故 xM=xA+xB2=2，故D正确故选：BC30. y2=8x31. 2m0，解可得，2m0，即 m21，所以 y1+y2=8m，y1y2=16，由抛物线的对称性可知：PFAF+QFBF=y1y2+y2y1=4m22=22，解得：m2=6，故 m=6，所以直线 l 的方程为 y=66x+2第12页（共12 页）