内蒙古伊图里河高级中学高三数学复习 导数在研究函数性质中的应用

内蒙古伊图里河高级中学高三数学复习：导数在研究函数性质中的应用主干知识整合1导数的几何意义2函数的单调性与导数如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于零恒成立在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数yxsinx.3函数的导数与极值对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件，但对不可导的函数，可能在极值点处函数的导数不存在(如函数y|x|在x0处)，因此对于一般函数而言，导数等于零既不是函数取得极值的充分条件也不是必要条件4闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值的最小者5定积分与曲边形面积(1)曲边为yf(x)的曲边梯形的面积：在区间a，b上的连续的曲线yf(x)，和直线xa，xb(ab)，y0所围成的曲边梯形的面积S.当f(x)0时，Sf(x)dx；当f(x)0时，Sf(x)dx.(2)曲边为yf(x)，yg(x)的曲边形的面积：在区间a，b上连续的曲线yf(x)，yg(x)，和直线xa，xb(ab)，y0所围成的曲边梯形的面积S|f(x)g(x)|dx.当f(x)g(x)时，Sf(x)g(x)dx；当f(x)0)的一条切线，则实数b_.(2)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)(x1)21，满足ff(a)的实数a的个数为_(1)ln21(2)8【解析】 (1)切线的斜率是2，根据导数的几何意义可以求出切点的横坐标，进而求出切点的坐标，切点在切线上，代入即可求出b的值y，令2得x，故切点为，代入直线方程，得ln2b，所以bln21.(2)如图所示，f(x)有四个解：1，1，1，1.所以f(a)1或f(a)1或f(a)1，当f(a)1时，a有2个值对应；当f(a)1时，a有2个值对应；当f(a)1时，a有4个值对应，综上可知满足ff(a)的实数a有8个探究点二导数在研究函数中的应用例2 2011北京卷 已知函数f(x)(xk)2e.(1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x(0，)，都有f(x)，求k的取值范围【解答】 (1)f(x)(x2k2)e.令f(x)0，得xk.当k0时，f(x)与f(x)的情况如下：x(，k)k(k，k)k(k，)f(x)00f(x)4k2e10所以，f(x)的单调递增区间是(，k)和(k，)；单调递减区间是(k，k)当k0时，f(x)与f(x)的情况如下：x(，k)k(k，k)k(k，)f(x)00f(x)04k2e1所以，f(x)的单调递减区间是(，k)和(k，)；单调递增区间是(k，k)(2)当k0时，因为f(k1)e，所以不会有x(0，)，f(x).当k0时，由(1)知f(x)在(0，)上的最大值是f(k).所以x(0，)，f(x)，等价于f(k).解得k0.故当x(0，)，f(x)时，k的取值范围是.【点评】 单调性是函数的最重要的性质，函数的极值、最值等问题的解决都离不开函数的单调性，含有字母参数的函数的单调性又是综合考查不等式的解法、分类讨论的良好素材函数单调性的讨论是高考考查导数研究函数问题的最重要的考查点函数单调性的讨论往往归结为一个不等式、特别是一元二次不等式的讨论，对一元二次不等式，在二次项系数的符号确定后就是根据其对应的一元二次方程两个实根的大小进行讨论，即分类讨论的标准是先二次项系数、再根的大小对于在指定区间上不等式的恒成立问题，一般是转化为函数最值问题加以解决，如果函数在这个指定的区间上没有最值，则可转化为求函数在这个区间上的值域，通过值域的端点值确定问题的答案例3 2011江西卷 设f(x)x3x22ax.(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2)当0a2时，f(x)在1,4上的最小值为，求f(x)在该区间上的最大值【解答】 (1)由f(x)x2x2a22a，当x时，f(x)的最大值为f2a；令2a0，得a，所以，当a时，f(x)在上存在单调递增区间 (2)令f(x)0，得两根x1，x2.所以f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增当0a2时，有x11x24，所以f(x)在1,4上的最大值为f(x2)又f(4)f(1)6a0，即f(4)f(1)，所以f(x)在1,4上的最小值为f(4)8a，得a1，x22，从而f(x)在1,4上的最大值为f(2).变式题：已知函数f(x)(ax2x)lnxax2x.(aR)(1)当a0时，求曲线yf(x)在(e，f(e)处的切线方程(e2.718)；(2)求函数f(x)的单调区间【解答】 (1)当a0时，f(x)xxlnx，f(x)lnx，所以f(e)0，f(e)1.所以当a0时，曲线yf(x)在(e，f(e)处的切线方程为yxe.(2)函数f(x)的定义域为(0，)f(x)(ax2x)(2ax1)lnxax1(2ax1)lnx，当a0时，2ax10，在(1，)上f(x)0，所以此时f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0a0，在上f(x)时，在和(1，)上f(x)0，在上f(x)0)，则h(x).设k0，由h(x)知，当x1时，h(x)0，而h(1)0，故当x(0,1)时，h(x)0，可得h(x)0；当x(1，)时，h(x)0，可得h(x)0.从而当x0，且x1时，f(x)0，即f(x).设0k1，由于当x时，(k1)(x21)2x0，故h(x)0，而h(1)0，故当x时，h(x)0，可得h(x)0.与题设矛盾设k1，此时h(x)0，而h(1)0，故当x(1，)时，h(x)0，可得h(x)0，与题设矛盾综合得，k的取值范围为(，0【点评】 本题的困难是第二问的不等式问题，通过作差f(x)后，通过适当的变换把其变换为，其目的就是为了分0x1进行研究，括号内的部分看似复杂，其实就是2lnx(k1)，把这个式子作为函数h(x)，其导数是很容易求出的，而且函数h(x)恰好在x1处等于零，这样就便于使用函数的单调性得到和h(1)进行比较的式子，使用特殊点的函数值是分析解决不等式问题的重要技巧之一本题具有极高的技巧性，也很容易使解题者陷入分离参数的困境变式题：已知函数f(x)ln(xa)x2x在x0处取得极值(1)求实数a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若关于x的方程f(x)xb在区间(0,2)有两个不等实根，求实数b的取值范围【解答】 (1)由已知得f(x)2x1，由题意知f(0)0，即0，解得a1.(2)由(1)得f(x)(x1)由f(x)0得1x0，由f(x)0.f(x)的单调递增区间为(1,0)，单调递减区间为(0，)(3)令g(x)f(x)ln(x1)x2xb，x(0,2)，则g(x)2x，令g(x)0，得x1或x(舍)当0x0，当1x2时，g(x)0，即g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减方程f(x)xb在区间(0,2)上有两个不等实根等价于函数g(x)在(0,2)上有两个不同的零点故只要即可，即解得ln31bln2.即实数b的取值范围为ln31bln2.规律技巧提炼1求解切线问题时要注意求的是曲线上某点处的切线问题，还是曲线的过某个点的切线问题2函数的单调性是使用导数研究函数问题的根本，函数的单调递增区间和单调递减区间的分界点就是函数的极值点，在含有字母参数的函数中讨论函数的单调性就是根据函数的极值点把函数的定义域区间进行分段，在各个段上研究函数的导数的符号，确定函数的单调性，也确定了函数的极值点，这是讨论函数的单调性和极值点情况进行分类的基本原则3使用导数的方法研究不等式问题的基本方法是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值，利用特殊点的函数值和整个区间上的函数值的比较得到不等式，注意在一些问题中对函数的解析式进行适当的变换再构造函数4使用导数的方法研究方程的根的分布，其基本思想是构造函数后，使用数形结合方法，即先通过“数”的计算得到函数的单调区间和极值，再使用“形”的直观得到方程根的分布情况教师备用例题备选理由：例1是以三角函数为背景的试题，鉴于当前在高考中考查函数导数的情况，以三角函数为主的试题不多见，选用此题弥补这个不足；例2难度不大，考查全面，是一道综合性较强的函数与导数试题，可以全面串联导数研究函数性质、不等式和方程；例3是一个以构造函数、通过研究函数的单调性、极值点和特殊点的函数值研究不等式的典型例题，这个题和本讲例5，可以形成学习使用导数的方法研究不等式的一个基本思路，提高学习解决函数综合题的能力例1若f(x)h(x)axbg(x)，则定义h(x)为曲线f(x)，g(x)的线已知f(x)tanx，x，g(x)sinx，x，则f(x)，g(x)的线为_【分析】 实际上就是确定a，b的值，使得不等式sinxaxbtanx对任意的x恒成立可以通过构造函数的方法解决这个不等式的恒成立问题【答案】 yx【解析】 这样的直线若存在，则对x0时一定满足不等式sinxaxbtanx，故b0.设h(x)sinxax，则h(x)cosxa，如果a0，则h(x)0，函数h(x)在区间上单调递增，h(x)h(0)0，无论a取何值，都不会有h(x)0恒成立；如果0a1，则函数h(x)在区间存在一个极值点x0，且是极大值点，从而当x(0，x0)时，h(x)h(0)，也不可能；当a1时，函数h(x)在上单调递减，故h(x)h(0)0，此时不等式sinxax恒成立例2设函数f(x)lnxax2bx.(1)当ab时，求f(x)的最大值；(2)令F(x)f(x)ax2bx(01，则函数在区间有一个极值点x0，且是极大值点，当x(0，x0)时，(x)(0)0，不等式axtanx不恒成立，故不等式axtanx恒成立时a1.综合可知只能是a1.故所求的直线是yx.【解答】 (1)依题意，知f(x)的定义域为(0，)，当ab时，f(x)lnxx2x，f(x)x.令f(x)0，解得x1(因为x0，所以舍去x2)当0x0，此时f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，x0，所以x10(舍去)，x2.当x(0，x2)时，g(x)0，g(x)在(x2，)上单调递增，当xx2时，g(x2)0，g(x)取最小值g(x2)则即所以2mlnx2mx2m0.因为m0，所以2lnx2x210(*)设函数h(x)2lnxx1，因为当x0时，h(x)是增函数，所以h(x)0至多有一解因为h(1)0，所以方程(*)的解为x21，即1，解得m.例3已知函数f(x)sinx(x0)，g(x)ax(x0)(1)若f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a取(1)中最小值时，求证：g(x)f(x)x3.【解答】 (1)令h(x)sinxax(x0)，h(x)cosxa.若a1，则h(x)cosxa0，h(x)sinxax在0，)上单调递减，h(x)h(0)0，所以sinxax(x0)成立若0a0，h(x)sinxax在x(0，x0)单调递增，h(x)h(0)0，不合题意，舍去若a0时，对任意的x，有cosxa0，h(x)在0，)上恒大于0，不合题意，舍去综上，a1.(2)证明：设H(x)xsinxx3(x0)，则H(x)1cosxx2.令G(x)1cosxx2，则G(x)sinxx0(x0)，G(x)1cosxx2在(0，)上单调递减，此时G(x)1cosxx2G(0)0，即H(x)1cosxx20，所以H(x)xsinxx3在0，)上单调递减，所以H(x)xsinxx3H(0)0，即xsinxx30(x0)，即g(x)f(x)x3(x0)- 9 -