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专题15：探索型问题1. （2015年江苏泰州3分）如图，中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交 AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是【 】A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对【答案】D.【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定. 【分析】AB=AC，D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，易得.EF是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的性质，易得.综上所述，图中全等的三角形的对数是4对.故选D.2. （2015年江苏扬州3分）如图，若锐角ABC内接于O，点D在O外（与点C在AB同侧）， 则下列三个结论：；中，正确的结论为【 】A. B. C. D. 【答案】D. 【考点】圆周角定理；三角形外角性质；锐角三角函数的性质.【分析】如答图，设与O相交于点，连接.，.正弦、正切函数值随锐角的增大而增大，余弦函数值随锐角的增大而减小， ， .正确的结论为.故选D.3. （2015年江苏常州2分）将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是【 】A. cm2 B.8 cm2 C. cm2 D. 16cm2【答案】B【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形的性质.【分析】如答图，当ACAB时，三角形面积最小，BAC=90，ACB=45，AB=AC=4cm.SABC=44=8cm2故选B4. （2015年江苏宿迁3分）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（3，0），（3，0），点P在反比例函数的图象上，若PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为【 】A. 2个 B. 4个 C. 5个 D. 6个【答案】D【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；圆周角定理；分类思想和数形结合思想的应用【分析】如答图，若PAB为直角三角形，分三种情况：当PAB=90时，P点的横坐标为3，此时P点有1个；当PBA=90时，P点的横坐标为3，此时P点有1个；当APB=90，以点O 为圆心AB长为直径的圆与的图象交于4点，此时P点有4个综上所述，满足条件的P点有6个故选D1. （2015年江苏无锡2分）某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：如果不超过500元，则不予优惠；如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款 元 【答案】838或910【考点】函数模型的选择与应用；函数思想和分类思想的应用【分析】由题意知：小红付款单独付款480元，实际标价为480或4800.8=600元，小红母亲单独付款520元，实际标价为5200.8=650元，如果一次购买标价480+650=1130元的商品应付款8000.8+（1130800）0.6=838元；如果一次购买标价600+650=1250元的商品应付款8000.8+（1250800）0.6=910元答案为：838或9102. （2015年江苏徐州3分）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为 【答案】.【考点】探索规律题（图形的变化类）；正方形的性质. 【分析】根据正方形的性质，知：第一个正方形ABCD的边长为，第二个正方形ACEF的边长为，第三个正方形AEGH的边长为，第四个正方形的边长为，第个正方形的边长为.3. （2015年江苏盐城3分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 【答案】.【考点】矩形的性质；勾股定理；点与圆的位置关系；分类思想的应用.【分析】如答图，连接， AB=4，AD=3，根据勾股定理，得BD=5.，当时，点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外.r的取值范围是.4. （2015年江苏盐城3分）设ABC的面积为1，如图将边BC、AC分别2等份，、相交于点O，AOB的面积记为；如图将边BC、AC分别3等份，、相交于点O，AOB的面积记为；， 依此类推，则可表示为 (用含的代数式表示，其中为正整数)【答案】.【考点】探索规律题（图形的变化类）；平行的判定和性质；相似三角形的判定和性质；等底或等高三角形面积的性质.【分析】如答图，连接，可知.在图中，由题意，得，且，.和的边上高的比是.又，.在图中，由题意，得，且，.和的边上高的比是.又，.在图中，由题意，得，且，.和的边上高的比是.又，.依此类推， 可表示为，.5. （2015年江苏常州2分）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想4=2+2； 12=5+7；6=3+3 14=3+11=7+7；8=3+5； 16=3+13=5+11；10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；通过这组等式，你发现的规律是 （请用文字语言表达）【答案】所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和.【考点】探索规律型题（数字的变化类）.【分析】根据以上等式得出规律，此规律用文字语言表达为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和.6. （2015年江苏淮安3分）将连续正整数按如下规律排列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行1234第2行8765第3行9101112第4行16151413第5行17181920若正整数565位于第行，第列，则 【答案】147.【考点】探索规律题（数字的变化类循环问题）.【分析】分别根据行和列的循环规律求解：行的排列规律是4个数一行，而，.列的排列规律是按照12345432列的顺序8个数一循环， 而，.7. （2015年江苏南通3分）关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根都在1和0之间（不包括1和0），则a的取值范围是 【答案】.【考点】一元二次方程与二次函数的关系；一元二次方程根的判别式；二次函数的性质；分类思想和数形结合思想的应用.【分析】关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且.设实数根都在1和0之间，当a0时，如答图1，由图可知， 当时，；但，矛盾，此种情况不存在.当a0时，如答图2，由图可知， 当时，即.综上所述，a的取值范围是.8. （2015年江苏宿迁3分）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为 【答案】.【考点】单动点问题；直线上点的坐标与方程的关系；垂线段最短的性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质【分析】根据垂线段最短得出PMAB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用PBMABO，即可求出答案如答图，过点P作PMAB，则：PMB=90，当PMAB时，PM最短，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）.在RtAOB中，AO=4，BO=3，根据勾股定理，得AB=5.BMP=AOB=90，ABO=PBM， PBMABO. ，即：，解得.1. （2015年江苏连云港10分）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是直线AB上一动点，P的半径为1（1）判断原点O与P的位置关系，并说明理由；（2）当P过点B时，求P被y轴所截得的劣弧的长；（3）当P与x轴相切时，求出切点的坐标【答案】解：（1）原点O在P外理由如下：直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点.在RtOAB中，OBA=30，如答图1，过点O作OHAB于点H，在RtOBH中，1，原点O在P外.（2）如答图2，当P过点B时，点P在y轴右侧时，PB=PC，PCB=OBA=30.P被y轴所截的劣弧所对的圆心角为：1803030=120.弧长为：.同理：当P过点B时，点P在y轴左侧时，弧长同样为：.当P过点B时，P被y轴所截得的劣弧的长为：.（3）如答图3，当P与x轴相切时，且位于x轴下方时，设切点为D，PDx轴，PDy轴. APD=ABO=30.在RtDAP中，此时点D的坐标为：（，0）.当P与x轴相切时，且位于x轴上方时，根据对称性可以求得此时切点的坐标为：（，0）.综上所述，当P与x轴相切时，切点的坐标为：（，0）或（，0）【考点】圆和一次函数的的综合题；单动点问题；直线上点的坐标与方程的关系；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；点与圆的位置关系的判定；扇形弧长的计算；直线与圆相切的性质；分类思想的应用【分析】（1）作辅助线“过点O作OHAB于点H”，由直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，可求得点A、B的坐标，从而根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值求得OBA=30，进而应用三角函数可求得OH的长，继而根据点与圆的位置关系的判定求得结论.（2）分点P在y轴右侧和点P在y轴左侧两种情况讨论：求得P被y轴所截的劣弧所对的圆心角，则可求得弧长.（3）分P位于x轴下方和P位于x轴上方两种情况讨论即可.2. （2015年江苏连云港12分）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上（1）小明发现DGBE，请你帮他说明理由（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，将线段DG与线段BE相交，交点为H，写出GHE与BHD面积之和的最大值，并简要说明理由【答案】解：（1）四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，AD=AB，DAG=BAE=90，AG=AE，ADGABE（SAS）.AGD=AEB.如答图1，延长EB交DG于点H，在ADG中，AGD+ADG=90，AEB+ADG=90.在EDH中，AEB+ADG+DHE=180，DHE=90. DGBE.（2）四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，AD=AB，DAB=GAE=90，AG=AE，DAB+BAG=GAE+BAG，即DAG=BAE，ADGABE（SAS）.DG=BE.如答图2，过点A作AMDG交DG于点M，则AMD=AMG=90，BD为正方形ABCD的对角线，MDA=45.在RtAMD中，MDA=45，AD=2，.在RtAMG中，根据勾股定理得：，.（3）GHE和BHD面积之和的最大值为6，理由如下：对于EGH，点H在以EG为直径的圆上，当点H与点A重合时，EGH的高最大；对于BDH，点H在以BD为直径的圆上，当点H与点A重合时，BDH的高最大.GHE和BHD面积之和的最大值为2+4=6【考点】面动旋转问题；正方形的性质；全等三角形的判定和性质；三角形内角和定理；等腰直角三角形的性质，勾股定理；数形结合思想的应用【分析】（1）由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS得到ADGABE，利用全等三角形对应角相等得AGD=AEB，作辅助线“延长EB交DG于点H”，利用等角的余角相等得到DHE=90，从而利用垂直的定义即可得DGBE.（2）由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS得到ADGABE，利用全等三角形对应边相等得到DG=BE，作辅助线“过点A作AMDG交DG于点M”，则AMD=AMG=90，在RtAMD中，根据等腰直角三角形的性质求出AM的长，即为DM的长，根据勾股定理求出GM的长，进而确定出DG的长，即为BE的长.（3）GHE和BHD面积之和的最大值为6，理由为：对两个三角形，点H分别在以EG为直径的圆上和以BD为直径的圆上，当点H与点A重合时，两个三角形的高最大，即可确定出面积的最大值3. （2015年江苏连云港14分）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线交于A，B两点，其中点A的横坐标是2（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标（2）在x轴上是否存在点C，使得ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过线段AB上一点P，作PMx轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？【答案】解：（1）点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为2，.A点的坐标为（2，1）.设直线AB的函数关系式为，将（0，4），（2，1）代入得，解得.直线AB的函数关系式为.直线与抛物线相交，联立，得，解得：或.点B的坐标为（8，16）.（2）如答图1，过点B作BGx轴，过点A作AGy轴，交点为G，由A（2，1），B（8，16）根据勾股定理，得AB2=325设点C（，0），根据勾股定理，得，若BAC=90，则，即，解得：.若ACB=90，则，即，解得：=0或=6.若ABC=90，则，即，解得：=32.点C的坐标为（，0），（0，0），（6，0），（32，0）.（3）如答图2，设MP与y轴交于点Q，设， 在RtMQN中，由勾股定理得，又点P与点M纵坐标相同，点P的横坐标为.又，268， 当M的横坐标为6时，的长度的最大值是18【考点】二次函数综合题；待定系数的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；直角三角形存在性问题；勾股定理；二次函数的最值；分类思想和方程思想的应用【分析】（1）首先求得点A的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得直线与抛物线的交点坐标.（2）作辅助线“过点B作BGx轴，过点A作AGy轴，交点为G”，分若BAC=90，ACB=90，ABC=90三种情况根据勾股定理列方程确定点C的坐标.（3）设MP与y轴交于点Q，设，首先在RtMQN中，由勾股定理得，然后根据点P与点M纵坐标相同得到点P的横坐标，从而得到，根据二次函数的最值原理求解即可4. （2015年江苏苏州10分）如图，已知二次函数（其中0m1）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC（1）ABC的度数为 ；（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由【答案】解：（1）45.（2）如答图1，过点作轴于点，设l与轴交于点，根据题意，得抛物线的对称轴为，设点的坐标为，PA=PC，.，即.解得.P点坐标为.（3）存在点Q满足题意.P点坐标为，.，.是等腰直角三角形.以Q、B、C为顶点的三角形与PAC相似，是等腰直角三角形.由题意知，满足条件的点Q的坐标为或.当点Q的坐标为时，如答图2，若PQ与垂直，则，解得，即.若PQ与不垂直，则有，0m1，当时，取得最小值，取得最小值.，.当时，点Q的坐标为，取得最小值.当点Q的坐标为时，如答图3，若PQ与垂直，则，解得，即.若PQ与不垂直，则有，0m1，当时，取得最小值，取得最小值.，.当时，点Q的坐标为，取得最小值.综上所述，点Q的坐标为或时，的长度最小.【考点】二次函数综合题；相似三角形的存在性问题；二次函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；等腰直角三角形的判定和性质；勾股定理；相似三角形的性质；实数的大小比较；分类思想的应用.【分析】（1）令，则，点C的坐标为，令，即，解得，0m1，点A在点B的左侧，点B的坐标为. .BOC=90，是等腰直角三角形.OBC=45.（2）过点作轴于点，设l与轴交于点，求出抛物线的对称轴为，则可设点的坐标为，由PA=PC即，根据勾股定理得到，解出即可求解.（3）根据相似和是等腰直角三角形证明是等腰直角三角形，由题意知，满足条件的点Q的坐标为或，从而分点Q的坐标为或两种情况讨论即可.5. （2015年江苏泰州12分）如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA 上的动点，且AE=BF=CG=DH.（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由；（3）求四边形EFGH面积的最小值.【答案】解：（1）证明：四边形ABCD是正方形，.，.四边形EFGH是菱形.，.四边形EFGH是正方形.（2）直线EG经过定点-正方形ABCD的中心. 理由如下：如答图，连接，、相交于点，四边形ABCD是正方形，ABDC.，四边形BGDE是平行四边形.，即点是正方形ABCD的中心.直线EG经过定点-正方形ABCD的中心.（3）设，则，当时，四边形EFGH面积的最小值为32.【考点】单动点和定值问题；正方形的判定和性质；全等三角形的判定和性质；平行四边形的判定和性质；勾股定理；二次函数的应用（实际问题）.【分析】（1）由证明，即可证明四边形EFGH是一个角是直角的菱形-正方形.（2）作辅助线“连接，、相交于点”构成平行四边形BGDE，根据平行四边形对角线互分的性质即可证明直线EG经过定点-正方形ABCD的中心.（3）设，根据正方形的性质和勾股定理得到关于的二次函数，应用二次函数最值原理求解即可.6. （2015年江苏无锡8分）（1）甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，从第二次起，每一次都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人求第二次传球后球回到甲手里的概率（请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程）（2）如果甲跟另外n（n2）个人做（1）中同样的游戏，那么，第三次传球后球回到甲手里的概率是 （请直接写出结果）【答案】解：（1）画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有3种，P（第2次传球后球回到甲手里）=（2）【考点】列表法或树状图法；概率；探索规律题（数字的变化类）.【分析】（1）画树状图或列表，根据图表，可得总结果与传到甲手里的情况，根据传到甲手里的情况比上总结果，可得答案.（2）根据第一步传的总结果是，第二步传的总结果是，第三步传的总结果是，传给甲的结果是，根据概率的意义，第三次传球后球回到甲手里的概率是.7. （2015年江苏无锡10分）已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为O(0，0)、A（5，0）、B(m，2)、C(m5，2)（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使OPA90？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由；（2）当AOC与OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值【答案】解：（1）存在，OA=BC=5，BCOA.如答图1，以OA为直径作D，与直线BC分别交于点E、F，则OEA=OFA=90，过点D作DGEF于G，连接DE，则DE=OD=2.5，DG=2，EG=GF，.E（1，2），F（4，2）.由解得，当时，边BC上总存在这样的点P，使OPA=90.（2）如答图2，BC=OA=5，BCOA，四边形OABC是平行四边形. OCAB.AOC+OAB=180.OQ平分AOC，AQ平分OAB，AOQ=AOC，OAQ=OAB.AOQ+OAQ=90. AQO=90.以OA为直径作D，与直线BC分别交于点E、F，则OEA=OFA=90，点Q只能是点E或点F.当Q在F点时，OF、AF分别是AOC与OAB的平分线，BCOA，CFO=FOA=FOC，BFA=FAO=FAB. CF=OC，BF=AB.而OC=AB，CF=BF，即F是BC的中点而F点为 （4，2），此时m的值为6.5.当Q在E点时，同理可求得此时m的值为3.5.综上所述，m的值为3.5或6.5【考点】圆的综合题；垂径定理；圆周角定理；平行四边形的判定和性质；坐标与图形性质；勾股定理；分类思想的应用.【分析】（1）由四边形四个点的坐标易得OA=BC=5，BCOA，以OA为直径作D，与直线BC分别交于点E、F，根据圆周角定理得OEA=OFA=90，如图1，作DGEF于G，连DE，则DE=OD=2.5，DG=2，根据垂径定理得EG=GF，利用勾股定理可计算出EG=1.5，于是得到E（1，2），F（4，2），即点P在E点和F点时，满足条件，此时，即1m9时，边BC上总存在这样的点P，使OPA=90；（2）如图2，先判断四边形OABC是平行四边形，再利用平行线的性质和角平分线定义可得到AQO=90，以OA为直径作D，与直线BC分别交于点E、F，则OEA=OFA=90，于是得到点Q只能是点E或点F，当Q在F点时，证明F是BC的中点而F点为 （4，2），得到m的值为6.5；当Q在E点时，同理可求得m的值为3.58. （2015年江苏无锡10分）如图，C为AOB的边OA上一点，OC6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段05上一点，过点P分别作PQOA交OB于点Q，PMOB交OA于点M（1）若AOB=60，OM=4，OQ=1，求证：05OB；（2）当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形；问：的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理由；设菱形OMPQ的面积为S1，NOC的面积为S2，求的取值范围【答案】解：（1）证明：如答图，过点P作PEOA于点E，PQOA，PMOB，四边形OMPQ为平行四边形.OQ=1，AOB=60，PM=OQ=1，PME=AOB=60. PCE=30. CPM=90，又PMOB，05O=CPM=90，即05OB.（2）的值不发生变化，理由如下：设，四边形OMPQ为菱形，.PQOA，NQP=O.又QNP=ONC，NQPNOC.，即， 化简,得.不变化.如答图,过点P作PEOA于点E，过点N作NFOA于点F，设，则,PMOB，MCP=O.又PCM=NCO，CPM05O. .0x6，根据二次函数的图象可知， 【考点】相似形综合题；单动点问题；定值问题；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；相似三角形的判定和性质；二次函数的性质；平行四边形的判定和性质；菱形的性质.【分析】（1）作辅助性线，过点P作PEOA于E，利用两组对边平行的四边形为平行四边形得到OMPQ为平行四边形，利用平行四边形的对边相等，对角相等得到PM=OQ=1，PME=AOB=60，进而求出PE与ME的长，得到CE的长，求出tanPCE的值，利用特殊角的三角函数值求出PCE的度数，得到PM于NC垂直，而PM与ON平行，即可得到05与OB垂直.（2）的值不发生变化，理由如下：设OM=x，ON=y，根据OMPQ为菱形，得到PM=PQ=OQ=x，QN=yx，根据平行得到NQP与NOC相似，由相似得比例即可确定出所求式子的值. 作辅助性线，过点P作PEOA于点E，过点N作NFOA于点F，表示出菱形OMPQ的面积为S1，NOC的面积为S2，得到，由PM与OB平行，得到CPM与05O相似，由相似得比例求出所求式子的范围即可9. （2015年江苏徐州8分）如图，平面直角坐标系中，将含30的三角尺的直角顶点C落在第二象限. 其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB=12cm（1）若OB=6cm求点C的坐标；若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（2）点C与点O的距离的最大值= cm.【答案】解：（1）如答图1，过点C作y轴的垂线，垂足为D，在RtABC中，AB=12，BAC=30，BC=6.在RtAOB中，AB=12， OB=6，BAO=30，ABO=60.又CBA=60，CBD=60，BCD=30.BD=3，CD=OD=9.点C的坐标为.如答图2，设点A向右滑动的距离，根据题意得点B向动的距离.在RtAOB中，AB=12， OB=6，.在AO B中，由勾股定理得，解得，（舍去）.滑动的距离为（2）12【考点】面动问题；含30度角直角三角形的性质；勾股定理；点的坐标；二次函数最值的应用；方程思想的应用.【分析】（1）作辅助线“过点C作y轴的垂线，垂足为D”，应用含30度角直角三角形的性质求出CD和BD的长，即可求出点C的坐标.设点A向右滑动的距离，用表示出和的长，在AO B中，应用勾股定理列方程求解即可.（2）设点C的坐标为，如答图3，过点C作CEx轴，CDy轴， 垂足分别为E，D，则OE=x，OD=y.ACEBCE=90，DCBBCE=90，ACE=DCB.又AEC=BDC=90，ACE BCD.，即. .当取最大值，即点C到y轴距离最大时，有最大值，即OC取最大值，如图，即当转到与y轴垂时. 此时OC=1210. （2015年江苏徐州12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CDx轴于点D,交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点.（1）OBA= ；（2）求抛物线的函数表达式；（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？【答案】解：（1）90.（2）如答图1，连接OC， 由（1）知OBAC，又AB=BC，OB是的垂直平分线.OC=OA=10.在RtOCD中，OC=10，CD=8，OD=6.C(6，8)，B(8，4).OB所在直线的函数关系为.又E点的横坐标为6，E点纵坐标为3，即E(6，3)抛物线过O(0，0)，E(6，3) ，A(10，0)，设此抛物线的函数关系式为，把E点坐标代入得，解得.此抛物线的函数关系式为，即（3）设点，若点P在CD的左侧，延长OP交CD于Q，如答图2，OP所在直线函数关系式为：，当x=6时，即Q点纵坐标为.S四边形POAE= SOAE SOPE= SOAE SOQESPQE=.若点P在CD的右侧，延长AP交CD于Q，如答图3，A(10，0)，设AP所在直线方程为：y=kxb，把P和A坐标代入得，解得.AP所在直线方程为：.当x=6时，即Q点纵坐标为.QE=.S四边形POAE= SOAE SAPE= SOAE SAQE SPQE=.当P在CD右侧时，四边形POAE的面积最大值为16，此时点P的位置就一个，令，解得，.当P在CD左侧时，四边形POAE的面积等于16的对应P的位置有两个.综上知，以P、O、A、E为顶点的四边形面积S等于16时，相应的点P有且只有3个【考点】二次函数综合题；单动点问题；圆周角定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理；待定系数洪都拉斯应用；曲线上点的坐标与方程的关系；分类思想、转换思想和方程思想的应用.【分析】（1）根据直径所对的圆周角定理直接得出结论.（2）作辅助线：连接OC，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理求出点E、A的坐标，从而应用待定系数法求出抛物线的函数关系式.（3）设点，分点P在CD的左侧和右侧两种情况求出S四边形POAE关于的二次函数关系式，根据二次函数的最值原理求解即可.11. （2015年江苏盐城12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线的对称轴绕着点P（，2）顺时针旋转45后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上的一点.（1）求直线AB的函数表达式；（2）如图，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）如图，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t2）是直线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与PAT相似时，求所有满足条件的t的值.【答案】解：（1）如答图1，设直线AB与轴的交点为M，P（，2），.设直线AB的解析式为，则，解得.直线AB的解析式为.（2）如答图2，过点Q作轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为点D，根据条件可知，是等腰直角三角形.设，则，.当时，点Q到直线AB的距离的最大值为.（3），中必有一角等于45.由图可知，不合题意.若，如答图3，过点B作轴的平行线与轴和抛物线分别交于点，此时，.根据抛物线的轴对称性质，知，是等腰直角三角形.与相似，且，也是等腰直角三角形.i）若，联立，解得或. .，此时，.ii）若，此时，.若，是情况之一，答案同上.如答图4，5，过点B作轴的平行线与轴和抛物线分别交于点，以点为圆心，为半径画圆，则都在上，设与y轴左侧的抛物线交于另一点.根据圆周角定理，点也符合要求.设，由得解得或，而，故.可证是等边三角形，.则在中，.i）若，如答图4，过点作轴于点，则，.，此时，.ii）若，如答图5，过点作轴于点，设，则.，.，此时，.综上所述，所有满足条件的t的值为或或或.【考点】二次函数综合题；线动旋转和相似三角形存在性问题；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；等腰直角三角形的判定和性质；含30度角直角三角形的性质；二次函数最值；勾股定理；圆周角定理；分类思想、数形结合思想、方程思想的应用.【分析】（1）根据旋转的性质得到等腰直角三角形，从而得到解决点M的坐标，进而应用待定系数法即可求得直线AB的解析式.（2）作辅助线“过点Q作轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为点D”，设，求出关于的二次函数，应用二次函数最值原理即可求解.（3）分，三种情况讨论即可.12. （2015年江苏扬州12分）如图，直线线段于点，点在上，且，点是直线上的动点，作点关于直线的对称点，直线与直线相交于点，连接.（1）如图1，若点与点重合，则= ，线段与的比值为 ； （2）如图2，若点与点不重合，设过三点的圆与直线相交于，连接.求证：；（3）如图3，则满足条件的点都在一个确定的圆上，在以下两小题中选做一题：如果你能发现这个确定圆的圆心和半径，那么不必写出发现过程，只要证明这个圆上的任意一点Q，都满足QA=2QB；如果你不能发现这个确定圆的圆心和半径，那么请取几个特殊位置的点，如点在直线上、点与点重合等进行探究，求这个圆的半径.【答案】解：（1）30；2.（2）证明：点关于直线的对称点，.是圆内接四边形的外角，.如答图1，连接交于点，过点作交于点，点关于直线的对称点，是的垂直平分线.，.，.（3）两小题中选做一题：如答图2，在的延长线上取点，使，以点为圆心，2为半径画圆，取圆上任一点，连接，在上取点，使，连接，作点关于直线的对称点，连接交于点，过点作交于点，点关于直线的对称点，是的垂直平分线. .又，.点、重合.，.若点在线段上，由知，点与点重合，点与点重合，这个圆的半径为2.若点在射线的延长线上，由知，点与点重合，这个圆的半径为2.等.【考点】开放型；单动点和轴对称问题；轴对称的性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；圆内接四边形的性质；等腰三角形的判定；线段垂直平分线的性质；平行线分线段成比例的性质.【分析】（1），.，线段与的比值为2.（2）一方面证明得到；另一方面，由是圆内接四边形的外角得到，从而得到，进而根据等角对等边的判定得证.作辅助线“连接交于点，过点作交于点”，应用线段垂直平分线的性质和平行线分线段成比例的性质证明.（3）如答图2，在的延长线上取点，使，以点为圆心，2为半径画圆，取圆上任一点，连接，在上取点，使，连接，作点关于直线的对称点，连接交于点，过点作交于点，此圆即为所求定圆.取特殊点探讨，答案不唯一.13. （2015年江苏常州10分）设是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为的“化方”（1）阅读填空如图，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积理由：连接AH，EHAE为直径，AHE=90，HAE+HEA=90DHAE，ADH=EDH=90HAD+AHD=90AHD=HED，ADH ，即DH2=ADDE又DE=DCDH2= ，即正方形DFGH与矩形ABCD等积（2）操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形如图，请用尺规作图作出与等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的 （填写图形名称），再转化为等积的正方形如图，ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算ABC面积作图）（4）拓展探究n边形（n3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n1边形，直至转化为等积的三角形，从而可以化方如图，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）【答案】解：（1）HDE；ADDC.（2）如答图1，矩形ANMD即为与等积的矩形.（3）矩形.如答图2，CF为与ABC等积的正方形的一条边.（4）如答图3，BCE是与四边形ABCD等积的三角形.，【考点】阅读理解型问题；尺规作图（复杂作图）；全等、相似三角形的判定和性质；平行四边形的性质；矩形的性质；正方形的性质；圆周角定理；转换思想和数形结合思想的应用【分析】（1）首先根据相似三角形的判定方法，可得ADHHDE；根据等量代换，可得DH2=ADDC，据此判断即可（2）过点D作DMBC，交BC的延长线于点M，以点M为圆心，AD长为半径画弧，交BC于点N，连接AN，则易证DCMABN，因此，矩形ANMD即为与等积的矩形. （3）三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的矩形，再转化为等积的正方形首先以三角形的底为矩形的长，以三角形的高的一半为矩形的宽，将ABC转化为等积的矩形BCMN；然后延长BC到E，使CE=CM，以BE为直径作圆延长CM交圆于点F，则CF即为与ABC等积的正方形的一条边（4）连接AC，过点D作DEAC交BA的延长线于点E，连接CE，则BCE是与四边形ABCD等积的三角形.14. （2015年江苏常州10分）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合（1）写出点A的坐标；（2）当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得OQB与APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由（3）若点M在直线l上，且POM=90，记OAP外接圆和OAM外接圆的面积分别是S1、S2，求的值【答案】解（1）（4，0）.（2）存在理由如下：如答图1所示：将x=0代入得：，OB=4.由（1）可知OA=4.在RtBOA中，由勾股定理得：BOQAQP，QA=OB=4，BQ=PA，PA= 点P的坐标为（4，）（3）如答图2所示：OPOM，1+3=90又2+1=90，2=3又OAP=OAM=90，OAMPAO.设AP=m，则：，在RtOAP中，.在RtOAM中，.【考点】圆的综合题；单动点问题；直线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；全等三角形的性质；相似三角形的判定和性质【分析】（1）将y=0代入，求得x的值，从而得到点A的坐标.（2）首先根据题意画出图形，然后在RtBOA中，由勾股定理求得AB的长度，由全等三角形的性质求得QA的长度，从而得到BQ的长，然后根据PA=BQ求得PA的长度，从而可求得点P的坐标.（3）首先根据题意画出图形，设AP=m，由OAMPAO，可求得AM的长度，然后根据勾股定理可求得两圆的直径（用含m的式子表示），然后利用圆的面积公式求得两圆的面积，最后代入所求代数式求解即可15. （2015年江苏淮安12分）阅读理解：如图，如果四边形ABCD满足AB=AD，CB=CD，B=D=900,那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”.将一张如图所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图所示的形状，再展开得到图，其中CE、CF为折痕，BCD=ECF=FCD，点B为点B的对应点，点D为点D的对应点，连接EB、FD相交于点O.简单应用：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是 ；（2）当图中的时，AEB ；（3）当图中的四边形AECF为菱形时，对应图中的“完美筝形”有 个（包含四边形ABCD）.拓展提升： 当图中的时，连接AB，请探求ABE的度数，并说明理由.【答案】解：简单应用：（1）正方形.（2）80.（3）5.拓展提升：，理由如下：如答图，连接，且AB=AD，四边形ABCD是正方形. .由折叠对称的性质，得，点在以为直径的圆上.由对称性，知，.【考点】新定义和阅读理解型问题；折叠问题；正方形的判定和性质；折叠对称的性质；圆周角定理；等腰直角三角形的性质.【分析】简单应用：（1）根据“完美筝形”的定义，知只有正方形是“完美筝形”.（2），根据折叠对称的性质，得.，. .（3）根据“完美筝形”的定义，可知是“完美筝形”.拓展提升：作辅助线“连接”，由题意判定四边形ABCD是正方形，从而证明点在以为直径的圆上，即可得出.16. （2015年江苏淮安12分）如图，在RtABC中，ACB90，AC=6，BC=8. 动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动；同时，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动. 过线段MN的中点G作边AB的垂线，垂足为点G，交ABC的另一边于点P，连接PM、PN，当点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动，设运动时间为t秒.（1）当t 秒时，动点M、N相遇；（2）设PMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（3）取线段PM的中点K，连接KA、KC，在整个运动过程中，KAC的面积是否变化？若变化，直接写出它的最大值和最小值；若不变化，请说明理由.【答案】解：（1）2.5.（2）在整个运动过程中，分三段：点与点重合前；点与点重合后点M、N相遇前；点与点重合后点M、N相遇后.当点与点重合时，如答图1，.根据勾股定理，得，解得.由（1）动点M、N相遇时，.当点N运动到点A时，由得.当时，如题图，.，即.当时，如答图2，.，即.当时，如答图3，.，即.综上所述，S与t之间的函数关系式为.（3）在整个运动过程中，KAC的面积变化，它的最大值是4，最小值是.【考点】双动点问题；由实际问题列函数关系式（几何问题）；勾股定理；相似三角形的判定和性质；一次函数的应用和性质；三角形和梯形的中位线定理；分类思想和数形结合思想的应用.【分析】（1）在RtABC中，ACB900，AC=6，BC=8，根据勾股定理，得.点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位长度，动点M、N相遇时，有秒.（2）分点与点重合前；点与点重合后点M、N相遇前；点与点重合后点M、N相遇后三种情况讨论即可.（3）分点与点重合前；点与点重合后点M、N相遇前；点与点重合后点M、N相遇后三种情况讨论，如答图，分别过点作的垂线，垂足分别为点，易得当时，如答图4，易得，.当时，最大值为；当时，最小值为.当或时，如答图4，5，易得，.当时，最大值为4； 最小值不大于.综上所述，在整个运动过程中，KAC的面积变化，它的最大值是4，最小值是.17. （2015年江苏南通13分）已知抛物线（m是常数）的顶点为P，直线.（1）求证：点P在直线l上；（2）当m=3时，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，与直线l的另一个交点为Q，M是x轴下方抛物线上的一点，ACM=PAQ（如图），求点M的坐标；（3）若以抛物线和直线l的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m的值【答案】解：（1）证明：，点P的坐标为（m，m1），当x=m时，y=x1=m1，点P在直线l上.（2）当m=3时，抛物线解析式为，当y=0时，解得x1=1，x2=5，则A（5，0）.当x=0时，则C（0，5）.联立方程组，解得或，P（3，4），Q（2，3）.如答图，过点M作MEy轴于E，过点P作PFx轴于F，过点Q作QGx轴于G， OA=OC=5，OAC为等腰直角三角形.ACO=45. MCE=45ACM.QG=3，OG=2，AG=OAOG=3=QG.AQG为等腰直角三角形. QAG=45.ACM=PAQ，APF=MCE.RtCMERtPAF. .设，则.，整理得，解得x1=0（舍去），x2=4，点M的坐标为（4，3）.（3）m的值为0，【考点】二次函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；等腰直角三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质；勾股定理；分类思想和方程思想的应用.【分析】（1）利用配方法求得点P的坐标，然后根据一次函数图象上点的坐标特征判断点P在直线l上.（2）当m=3时，抛物线解析式为，根据抛物线与x轴的交点问题求出A（5，0），易得C（0，5），通过解方程组得P（3，4），Q（2，3），如图，作MEy轴于E，PFx轴于F，QGx轴于G，证明RtCMERtPAF，利用相似得，设，则，解之即可求得点M的坐标
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