【世纪金榜】2016届高三数学总复习 单元评估检测(八)平面解析几何 文 新人教A版

【世纪金榜】2016届高三数学总复习 单元评估检测(八)平面解析几何 文 新人教A版一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线x+2ay-5=0与直线ax+4y+2=0平行,则a的值为( )A.2B.2C.D.【解析】选D.因为直线x+2ay-5=0与直线ax+4y+2=0平行,所以,即2a2=4,解得a=,经检验都符合题意.2.(2015湖南六校联考)已知双曲线的标准方程为-y2=1,则它的焦点坐标为( )A.(1,0)B.(,0)C.(0,)D.(0,1)【解析】选B.因为a=,b=1,所以c=且焦点在x轴上,所以它的焦点坐标是(,0).3.(2015肇庆模拟)已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程是( )A.(x+1)2+y2=2B.(x+1)2+y2=8C.(x-1)2+y2=2D.(x-1)2+y2=8【解析】选A.根据题意直线x-y+1=0与x轴的交点为 (-1,0),因为圆与直线x+y+3=0相切,所以半径为圆心到切线的距离,即r=d=则圆的方程为(x+1)2+y2=2.4.已知椭圆=1的焦点是F1,F2,如果椭圆上一点P满足PF1PF2,则下面结论正确的是( )A.P点有两个B.P点有四个C.P点不一定存在D.P点一定不存在【解析】选D.设椭圆的基本量为a,b,c,则a=5,b=4,c=3.以F1F2为直径构造圆,可知圆的半径r=c=34=b,即圆与椭圆不可能有交点,所以P点一定不存在.5.已知点F1,F2是双曲线C的两个焦点,过点F2的直线交双曲线C的一支于A,B两点,若ABF1为等边三角形,则双曲线C的离心率为 ( )A.B.2C.3D.2【解析】选A.ABF1为等边三角形,所以F1F2AB.设ABF1的边长为x,所以=sin60,所以x=.由双曲线的定义知2a=x-x=,即a=,所以双曲线C的离心率为e=.6.(2015兰州模拟)已知圆O1:(x-a)2+(y-b)2=4,圆O2:(x-a-1)2+(y-b-2)2=1(a,bR),那么两圆的位置关系是( )A.内含B.内切C.相交D.外切【解析】选C.因为圆O1:(x-a)2+(y-b)2=4,圆O2:(x-a-1)2+(y-b-2)2=1,圆O1的圆心坐标是(a,b),半径为2,圆O2的圆心坐标是(a+1,b+2),半径为1,所以两圆的圆心距为:因为13,所以两圆的位置关系是相交.故选C.7.命题p:4r0)上恰好有2个点到直线4x-3y=2的距离等于1,则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.因为圆心(3,-5)到直线4x-3y=2的距离等于5,所以圆(x-3)2+(y+5)2=r2上恰好有2个点到直线4x-3y=2的距离等于1时,4rb0,e1,e2分别为圆锥曲线=1的离心率,则lg e1+lg e2的值( )A.大于0且小于1 B.大于1C.小于0 D.等于0【解析】选C.由题意,得(ab0),所以e1e2=所以lg e1+lg e2=lg(e1e2)=0,b0)的左支上一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,且PF1PF2,PF2与两条渐近线相交于M,N两点(如图),点N恰好平分线段PF2,则双曲线的离心率是( ) 【解析】选A.在F1F2P中,点N恰好平分线段PF2,点O恰好平分线段F1F2,所以ONPF1,又ON的斜率为,所以tanPF1F2=,在F1F2P中,设|PF2|=bt,|PF1|=at,根据双曲线的定义可知|PF2|-|PF1|=2a,所以bt-at=2a ,在RtF1F2P中,|PF2|2+|PF1|2=4c2 ,由消去t,得(a2+b2)=4c2,又c2=a2+b2,所以a2=(b-a)2,即b=2a,双曲线的离心率是10.已知抛物线y2=2px(p0)与双曲线=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=( )A.3B.6C.12D.42【解题提示】由双曲线的离心率可求出双曲线的渐近线方程,从而可求出A,B两点的坐标,然后利用抛物线的定义可求p的值.【解析】选B.因为双曲线的离心率为2,所以e2=4,即b2=3a2,所以双曲线=1(a0,b0)的两条渐近线方程为y=x,代入y2=2px(p0),得x=p或x=0,故xA=xB=p,又|AF|=xA+=7,所以p=6.【加固训练】(2014衡水模拟)若双曲线=1(a0,b0)与椭圆=1(mb0)的离心率之积等于1,则以a,b,m为边长的三角形一定是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形【解析】选B.设双曲线离心率为e1,椭圆离心率为e2, (m2-a2-b2)b2=0,即a2+b2-m2=0,所以,以a,b,m为边长的三角形为直角三角形.11.(2015兰州模拟)已知双曲线=1(a0,b0)与抛物线y2=2px(p0)有一个共同的焦点F,点M是双曲线与抛物线的一个交点,若|MF|=p,则此双曲线的离心率等于( )【解析】选A.因为抛物线y2=2px(p0)的焦点所以由题意知双曲线=1的一个焦点为F(c,0),所以c=a,(1)即p2a.所以双曲线方程为=1,因为点M是双曲线与抛物线的一个交点,若|MF|=p,则M点横坐标xM=,代入抛物线y2=2px得 得9p4-148p2a2+64a4=0,解得p=4a或p=a,因为p2a,所以p=a舍去,故p=4a.(2)联立(1)(2)两式得c=2a,即e=2.12.已知P为椭圆+=1上任意一点,过椭圆的右顶点A和上顶点B分别作x轴和y轴的垂线,两垂线交于点C,过P作BC,AC的平行线交BC于点M,交AC于点N,交AB于点D,E,矩形PMCN的面积是S1,三角形PDE的面积是S2,则= ( ) A.B.1C.D.【解析】选B.由题意知AB的方程为+=1,设P(x,y)在第一象限,所以D（5-,y）,所以SADN=y=,因为E（x,3-x）,所以S四边形ACME=（x+3）(5-x)=(25-x2),因为P(x,y)在椭圆上,所以+=1,所以y2=9-,所以y2=(25-x2),所以SADN=S四边形ACME,因为矩形PMCN的面积是S1,三角形PDE的面积是S2,所以S2+S四边形ANPE=S1+S四边形ANPE,故=1.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.若A,B为椭圆C:=1(ab0)长轴的两个端点,垂直于x轴的直线与椭圆交于点M,N,且kAMkBN=,则椭圆C的离心率为 .【解析】设M(x,y),则N(x,-y), 解得离心率e=.答案: 14.(2014银川模拟)设双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线的左支于A,B两点,则|BF2|+|AF2|的最小值为 .【解析】由题意可得|AF2|-|AF1|=2a=4,|BF2|-|BF1|=2a=4,两式相加得|AF2|+|BF2|-|AB|=8,所以|AF2|+|BF2|=8+|AB|当且仅当ABx轴时取等号,所以|BF2|+|AF2|的最小值为11.答案:1115.(2015长春模拟)已知双曲线=1(a0,b0),且双曲线的一条渐近线截圆(x-3)2+y2=8所得弦长为4,则双曲线的离心率为 .【解析】双曲线=1的渐近线方程为y=x,不妨设y=x,即bx-ay=0,又该渐近线截圆(x-3)2+y2=8所得弦长为4,所以圆心到该直线的距离为d=2,即2=,即2c=3b,所以4c2=9b2=9(c2-a2),9a2=5c2, 答案:16.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F与双曲线=1的右焦点重合,过定点P(2,0)且斜率为1的直线l与抛物线C交于A,B两点,则弦AB的中点到抛物线的准线的距离为 .【解析】由题意,设抛物线的方程为y2=2px(p0),因为双曲线=1的右焦点坐标为(3,0),所以=3,即p=6,所以抛物线的标准方程为y2=12x.过定点P(2,0)且斜率为1的直线l的方程为y=x-2,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y可得x2-16x+4=0,所以x1+x2=16,线段AB的中点到抛物线的准线的距离为答案:11三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2015福州模拟)在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A,B两点.(1)如果直线l过抛物线的焦点,求的值.(2)如果=-4,证明:直线l必过一定点,并求出该定点.【解析】(1)由题意:抛物线焦点为(1,0),设l:x=ty+1,代入抛物线y2=4x,消去x得y2-4ty-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=-4,所以=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2=t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2=-4t2+4t2+1-4=-3.(2)设l:x=ty+b,代入抛物线y2=4x,消去x得y2-4ty-4b=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=-4b,所以=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2=-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b.令b2-4b=-4,所以b2-4b+4=0,所以b=2,所以直线l过定点(2,0).所以若=-4,则直线l必过一定点(2,0).18.(12分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-y=4相切.(1)求圆O的方程.(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2,求直线MN的方程.(3)圆O与x轴相交于A,B两点,圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求的取值范围.【解析】(1)半径r=2,故圆O的方程为x2+y2=4.(2)因为圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,故MN的斜率等于直线x+2y=0斜率的负倒数,等于2,设MN的方程为y=2x+b,即2x-y+b=0.由弦长公式可得,圆心O到直线MN的距离等于=1.由点到直线的距离公式可得故MN的方程为2x-y=0.(3)圆O与x轴相交于A(-2,0),B(2,0)两点,圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,所以|PA|PB|=|PO|2,设点P(x,y),则有两边平方,化简可得x2=y2+2.由点P在圆内可得x2+y24,故有0y2b0)的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合,过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S,T两点,与抛物线交于C,D两点,且 (1)求椭圆E的方程.(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆E相交于两点A,B,设P为椭圆E上一点,且满足+=t(O为坐标原点),当|-|0,k20,所以k2,所以k2b0)的离心率为,右焦点为F,右顶点A在圆F:(x-1)2+y2=r2(r0)上.(1)求椭圆C和圆F的方程.(2)已知过点A的直线l与椭圆C交于另一点B,与圆F交于另一点P.请判断是否存在斜率不为0的直线l,使点P恰好为线段AB的中点,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.【解析】(1)由题意可得c=1,又由题意可得,所以a=2,所以b2=a2-c2=3,所以椭圆C的方程为=1,所以椭圆C的右顶点为A(2,0),代入圆F的方程,可得r2=1,所以圆F的方程为(x-1)2+y2=1.(2)假设存在直线l:y=k(x-2)(k0)满足条件,由得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.设B(x1,y1),则2+x1=,可得中点由点P在圆F上可得化简整理得k2=0,又因为k0,所以不存在满足条件的直线l.【一题多解】解决本题(2)还有如下方法:假设存在直线l满足题意,由(1)可得OA是圆F的直径,所以OPAB.由点P是AB的中点,可得|OB|=|OA|=2.设点B(x1,y1),则由题意可得又因为直线l的斜率不为0,所以0).设抛物线W的焦点在直线AB的下方.(1)求k的取值范围.(2)设C为W上一点,且ABAC,过B,C两点分别作W的切线,记两切线的交点为D,判断四边形ABDC是否为梯形,并说明理由.【解析】(1)抛物线y=x2的焦点为由题意,得直线AB的方程为y-1=k(x-1),令x=0,得y=1-k,即直线AB与y轴相交于点(0,1-k).因为抛物线W的焦点在直线AB的下方,所以1-k,解得k0,所以0kb0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+=0相切,A,B是椭圆的左、右顶点,直线l过B点且与x轴垂直. (1)求椭圆C的标准方程.(2)设G是椭圆C上异于A,B的任意一点,作GHx轴于点H,延长HG到点Q使得HG=GQ,连接AQ并延长交直线l于点M,N为线段MB的中点,判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系,并证明你的结论.【解析】(1)由题意可得因为以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+=0相切,所以=b,解得b=1.由a2=b2+c2,可得a=2.所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)直线QN与以AB为直径的圆O相切,证明如下:由(1)可知A(-2,0),B(2,0),直线l的方程为x=2.设G(x0,y0)(y00),于是H(x0,0),Q(x0,2y0),且有+=1,即4=4-.连接BQ,设直线AQ与直线BQ的斜率分别为kAQ,kBQ, 即AQBQ,所以点Q在以AB为直径的圆上.因为直线AQ的方程为 于是直线OQ与直线QN垂直,所以直线QN与以AB为直径的圆O相切.22.(12分)已知椭圆C: =1(ab0)的右焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程.(2)设经过点M(0,2)作直线AB交椭圆C于A,B两点,求AOB面积的最大值.(3)设椭圆的上顶点为N,是否存在直线l交椭圆于P,Q两点,使点F为PQN的垂心?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设F(c,0),则.过点F且与x轴垂直的直线方程为x=c,代入椭圆方程,有解得y=b.于是b=,解得b=1.又a2-c2=b2,从而a=,c=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意可设直线AB的方程为y=kx+2.由消去y并整理,得(2k2+1)x2+8kx+6=0,由=(8k)2-24(2k2+1)0,得k2.由根与系数的关系, 当且仅当t=4,即k2=时等号成立.所以AOB面积的最大值为.(3)假设存在直线l交椭圆于P,Q两点,且F为PQN的垂心.设P(x1,y1),Q(x2,y2),因为N(0,1),F(1,0),所以kNF=-1.由NFPQ,知kPQ=1.设直线l的方程为y=x+m,由,得3x2+4mx+2m2-2=0.由0,得m23,且x1+x2=-,x1x2=.由题意,有=0.因为=(x1,y1-1),=(x2-1,y2),所以x1(x2-1)+y2(y1-1)=0,即x1(x2-1)+(x2+m)(x1+m-1)=0,所以2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m2-m=0,于是m(m-1)+m2-m=0,解得m=-或m=1.经检验,当m=1时,PQN不存在,故舍去m=1.当m=-时,所求直线l存在,且直线l的方程为y=x-.20