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63基本不等式 知识梳理1基本不等式注：设a0，b0，则a、b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数2利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出现错误3几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同号)(3)ab2(a，bR)(4)2(a，bR)2(a2b2)(ab)2(a，bR)(5)ab(a，bR)(6)(a0，b0)诊断自测1概念思辨(1)两个不等式a2b22ab与成立的条件是相同的()(2)函数yx的最小值是2.()(3)函数f(x)sinx的最小值为2.()(4)x0且y0是2的充要条件()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A5P99例1(2)设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80 B77 C81 D82答案C解析由基本不等式18xy29xy81，当且仅当xy时，xy有最大值81，故选C.(2)(必修A5P100A组T2)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为_m，宽为_m时菜园面积最大答案15解析设矩形的长为x m，宽为y m则x2y30，所以Sxyx(2y)2，当且仅当x2y，即x15，y时取等号3小题热身(1)下列不等式一定成立的是()Alg lg x(x0)Bsinx2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1(xR)答案C解析取x，则lg lg x，故排除A；取x，则sinx1，故排除B；取x0，则1，故排除D.应选C.(2)已知x0，y0,2xy1，则xy的最大值为_答案解析2xy2，xy.xy的最大值为.题型1利用基本不等式求最值角度1直接应用(2018沈阳模拟)已知ab0，求a2的最小值本例两次采用均值不等式注意两次中等号成立的条件需一致解ab0，ab0.a2a2a224，当且仅当bab，a22，ab0，即a，b时取等号a2的最小值是4.角度2变号应用(一正问题)求f(x)lg x的值域分情况讨论解f(x)的定义域为(0,1)(1，)当0x1时，lg x0，f(x)lg x2，即f(x)2.当x1时，lg x0，f(x)lg x2(当且仅当x10时等号成立)f(x)的值域为(，22，)角度3寻求定值应用(二定问题)求f(x)4x2的最大值本题采用凑配法，先化为4x5，然后调整符号变为54x(因为4x50解得1x0，由f(x)0，所以f(x)在(1,0)上单调递增，在(0，)上单调递减当0ab时，0，Qf()PfRf.故选D.角度2利用基本不等式证明不等式设a，b，c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcca；(2)1.采用综合法证明证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc，所以1.角度3基本不等式中的恒成立问题(2018太原模拟)正数a，b满足1，若不等式abx24x18m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A3，) B(，3C(，6 D6，)用常量代换法求ab的最小值，然后解不等式答案D解析ab(ab)1016，故只需x24x18m16，得x24xm20恒成立，即164(m2)0，解得m6.故选D.角度4基本不等式与其他知识的综合问题已知直线l：xmy2(mR)与x轴的交点是椭圆C：y21(a0)的一个焦点(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C的左焦点为F1，是否存在m使得ABF1的面积最大？若存在，求出值；若不存在，请说明理由求出SABF1的表达式，然后用基本不等式求面积的最大值解(1)易知直线l：xmy2与x轴的交点坐标为(2,0)，椭圆C：y21(a0)的一个焦点坐标为(2,0)，c2，a2c21415.故椭圆C的方程为y21.(2)存在将xmy2代入y21并整理得(m25)y24my10，(4m)24(m25)(1)20m2200，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，|AB|，椭圆C的左焦点为F1(2,0)，F1到直线l的距离d，SABF14444.当且仅当m21，即m时，SABF1取得最大值存在m使得ABF1的面积最大方法技巧基本不等式的综合运用常见题型及求解策略1应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小，有时也与其他知识进行综合命题，如角度1，结合函数的单调性进行大小的比较2证明不等式的成立性如角度2典例3利用基本不等式研究恒成立问题，以求参数的取值范围为主如角度3典例4与其他知识综合考查求最值问题，此时基本不等式作为求最值时的一个工具，常出现于解三角形求最值、解析几何求最值问题等如角度4中利用基本不等式求三角形面积的最大值时参数的取值冲关针对训练(2017广西模拟)已知a0，b0，ab1，求证：(1)8；(2)9.证明(1)2.ab1，a0，b0，2224，8.(2)a0，b0，ab1，112，同理，12，52549.9.题型3基本不等式在实际问题中的应用某厂家拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足x3(k为常数)，如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是1万件已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将2017年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？列出函数关系式，分析函数关系式的构成特点，联系基本不等式求最值解(1)由题意知，当m0时，x1(万件)，13k，k2，x3.由题意可知每件产品的销售价格为1.5(元)，2017年的利润y1.5x816xm29(m0)(2)当m0时，(m1)28，y82921，当且仅当m1，即m3(万元)时，ymax21(万元)故该厂家2017年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元方法技巧利用基本不等式求解实际问题的求解策略1根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值2设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数3解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围4在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解提醒：利用基本不等式求最值时，一定要结合变量的实际意义验证等号是否成立冲关针对训练某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，每次购买面粉需支付运费900元(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由解(1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，则其购买量为6x吨，由题意知，面粉的保管等其他费用为36x6(x1)62619x(x1)设每天所支付的总费用为y1元，则y19x(x1)900618009x1080921080910989，当且仅当9x，即x10时取等号所以该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(2)若该厂家接受此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉设该厂接受此优惠条件后，每隔x(x35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2，则y29x(x1)900618000.909x9729(x35)由对勾函数的性质易知f(x)x在10，)上单调递增，故当x35时，y2取得最小值，约为10069.7，此时y1y2，所以该厂可以考虑接受此优惠条件1.(2017广东清远一中一模)若正数a，b满足1，则的最小值为()A16 B9 C6 D1答案C解析正数a，b满足1，abab，10，10，b1，a1，则226，的最小值为6.故选C.2(2017河北衡水中学调研)若a0，b0，lg alg blg (ab)，则ab的最小值为()A8 B6 C4 D2答案C解析由lg alg blg (ab)得lg (ab)lg (ab)，即abab，则有1，所以ab(ab)2224，当且仅当ab2时等号成立，所以ab的最小值为4.故选C.3(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_答案30解析一年的总运费为6(万元)一年的总存储费用为4x万元总运费与总存储费用的和为万元因为4x2 240，当且仅当4x，即x30时取得等号，所以当x30时，一年的总运费与总存储费用之和最小4(2017天津高考)若a，bR，ab0，则的最小值为_答案4解析a，bR，ab0，4ab2 4，当且仅当即时取得等号故的最小值为4.基础送分 提速狂刷练一、选择题1若x0，则x的最小值是()A2 B4 C. D2答案D解析由基本不等式可得x22，当且仅当x即x时取等号，故最小值是2.故选D.2若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a等于()A1 B1 C3 D4答案C解析当x2时，x20，f(x)(x2)2224，当且仅当x2(x2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a3.故选C.3(2018河南平顶山一模)若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是()Aa Ba Ca Da答案A解析因为对任意x0，a恒成立，所以对x(0，)，amax，而对x(0，)，当且仅当x1时等号成立，a.故选A.4在方程|x|y|1表示的曲线所围成的区域内(包括边界)任取一点P(x，y)，则zxy的最大值为 ()A. B. C. D.答案C解析根据题意如图所示，要保证z最大，则P应落在第一或第三象限内，不妨设P点落在线段AB上，故zxyx(1x)2，当且仅当x时，等号成立，故z的最大值为.故选C.5(2018福建四地六校联考)已知函数f(x)x2的值域为(，04，)，则a的值是()A. B. C1 D2答案C解析由题意可得a0，当x0时，f(x)x222，当且仅当x时取等号；当x0，b0，且ab1，若不等式(xy)m，对任意的正实数x，y恒成立，则实数m的取值范围是()A4，) B(，1C(，4 D(，4)答案D解析因为a，b，x，y为正实数，所以(xy)abab2224，当且仅当ab，即ab，xy时等号成立，故只要m0，b0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则的最小值是()A4 B. C8 D9答案D解析(a1,1)，(b1,2)，若A，B，C三点共线，则有，(a1)21(b1)0，2ab1，又a0，b0，(2ab)5529，当且仅当即ab时等号成立故选D.10(2018河南洛阳统考)设二次函数f(x)ax2bxc的导函数为f(x)若xR，不等式f(x)f(x)恒成立，则的最大值为()A.2 B.2 C22 D22答案B解析由题意得f(x)2axb，由f(x)f(x)在R上恒成立得ax2(b2a)xcb0在R上恒成立，则a0且0，可得b24ac4a2，则，且4ac4a20，440，10，令t1，则t0.当t0时，2，当t0时，0，故的最大值为2.故选B.二、填空题11(2014福建高考)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_(单位：元)答案160解析设底面的相邻两边长分别为x m，y m，总造价为T元，则Vxy14xy4.T420(2x2y)1108020(xy)8020280204160.(当且仅当xy时取等号)故该容器的最低总造价是160元12(2018河南百校联盟模拟)已知正实数a，b满足ab4，则的最小值为_答案解析ab4，a1b38，(a1)(b3)(22)，当且仅当a1b3，即a3，b1时取等号，的最小值为.13(2018泰安模拟)正实数a、b满足6，则4a5b的最小值是_答案解析正实数a、b满足6，令a2bm,2abn，则正数m，n满足6，则4a5b2mn(2mn)，当且仅当即mn时取等号，此时ab，故4a5b的最小值为.14已知x，y满足约束条件且目标函数zaxby(a，b0)的最大值为4，则的最小值为_答案32解析画区域如图，易知目标函数在点A处取得最大值，由解得所以2a2b4，即ab2，所以2133232，当且仅当，即时，取等号故的最小值为32.三、解答题15(2017太原期末)如图，围建一个面积为100 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(旧墙需维修)，其余三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，已知旧墙的维修费用为56元/米，新墙的造价为200元/米，设利用的旧墙长度为x(单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用y(单位：元)(1)将y表示为x的函数；(2)求当x为何值时，y取得最小值，并求出此最小值解(1)由题意得矩形场地的另一边长为米，y56x200256x400(x0)(2)由(1)得y256x40024006000，当且仅当256x时，等号成立，即当x米时，y取得最小值6000元16(2018南昌模拟)已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanA，tanB是关于x的方程x2(1p)xp20的两个实根，c4.(1)求角C的大小：(2)求ABC面积的取值范围解(1)由题意得tanAtanB1p，tanAtanBp2，所以tan(AB)1，故ABC中，AB，所以C.(2)由C，c4及c2a2b22abcosC，可得42a2b22ab，整理得16a2b2ab，即16aba2b2，又a0，b0，所以16aba2b22ab，得ab，当且仅当ab时取等号，所以ABC的面积SabsinCab44，所以ABC面积的取值范围为(0,44
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