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第二节 曲线与方程,1.曲线与方程 如果曲线C上点的坐标(x,y)都是方程f(x,y)=0的解，且以方程 f(x,y)=0的解(x,y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程 f(x,y)=0叫做_，曲线C叫做_.,曲线C的方程,方程f(x,y)=0的曲线,2.求曲线方程的基本步骤,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”). (1)f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件.( ) (2)方程x2+xy=x的曲线是一个点和一条直线.( ) (3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2=y2.( ) (4)方程 与x=y2表示同一曲线.( ),【解析】(1)正确.由f(x0,y0)=0可知点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上,又P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上时，有f(x0,y0)=0, f(x0,y0)=0是P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件. (2)错误.方程变为x(x+y-1)=0, x=0或x+y-1=0, 故方程表示直线x=0或直线x+y-1=0.,(3)错误.当以两条互相垂直的直线为x轴、y轴时，是x2=y2,否则不正确. (4)错误.因为方程 表示的曲线，只是方程x=y2表示曲线的一部分，故其不正确. 答案：(1) (2) (3) (4),考向 1 利用直接法求轨迹方程 【典例1】已知直角坐标平面上的点Q(2,0)和圆C：x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数(0)，求动点M的轨迹方程.,【思路点拨】可设出动点M的坐标，依据动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数(0)即可得出方程.,【规范解答】设直线MN切圆C于N点，则动点M的集合为： P=M|MN=MQ，因为圆C的半径CN=1, 所以MN2=MC2-CN2=MC2-1， 设点M的坐标为M(x,y)，则 化简整理得：(2-1)(x2+y2)-42x+1+42=0(0).,【互动探究】本例中的条件不变，求动点M的轨迹. 【解析】由例题解析可知：曲线的方程为 (2-1)(x2+y2)-42x+1+42=0(0)， 因为0,所以当=1时，方程化为4x-5=0,它表示一条直线; 当1时，方程化为： 它表示圆心为 半径为 的圆.,【拓展提升】 1.直接法求曲线方程的一般步骤 (1)建立恰当的坐标系，设动点坐标(x,y). (2)列出几何等量关系式. (3)用坐标条件变为方程f(x，y)=0. (4)变方程为最简方程. (5)检验，就是要检验点轨迹的纯粹性与完备性.,2.直接法适合求解的轨迹类型 (1)若待求轨迹上的动点满足的几何条件可转化为动点与一些几何量满足的等量关系，而该等量关系又易于表达成含x,y的等式时，一般用直接法求轨迹方程. (2)题目给出了等量关系，直接代入即可得方程.,【变式备选】已知点M，N为两个定点，MN=6,且动点P满足 求点P的轨迹方程. 【解析】以点M，N所在的直线为x轴，MN的中点O为坐标原点， 建立平面直角坐标系，则M(-3,0)，N(3,0),设P(x,y)，则 又因为 所以(-3-x,-y)(3-x,-y)=6， 化简整理得：x2+y2=15.,考向 2 利用定义法求轨迹方程 【典例2】已知A(- ，0)，B是圆F：(x- )2+y2=4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，求动点P的轨迹方程. 【思路点拨】根据题设条件，寻找动点P与两点A，F距离的和满足的等量关系PA+PF=2，用定义法求方程.,【规范解答】如图，连接PA， 依题意可知PA=PB. PA+PF=PB+PF=BF=21. P点轨迹为以A(- ，0)， F( ，0)为焦点，长半轴长为1的椭圆. 其方程可设为 又c= ,a=1,b2=a2-c2= 故P点的轨迹方程为,【拓展提升】定义法适合所求轨迹的特点及关键 (1)特点：求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程. (2)关键：理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键.,【提醒】利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.,【变式训练】一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆 x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么曲线. 【解析】如图所示，设动圆圆心M 的坐标为(x,y)，半径为R，设已知 圆的圆心分别为O1,O2,将圆的方程 分别配方得：(x+3)2+y2=4, (x-3)2+y2=100， 当动圆与圆O1相外切时，有O1M=R+2. ,当动圆与圆O2相内切时，有O2M=10-R. 将两式相加，得O1M+O2M=12O1O2, 动圆圆心M(x,y)到点O1(-3,0)和O2(3,0)的距离和是常数12, 所以点M的轨迹是焦点为O1(-3,0),O2(3,0),长轴长等于12的椭圆. 2c=6,2a=12,c=3,a=6,b2=36-9=27, 圆心M的轨迹方程为 轨迹为椭圆.,考向 3 利用相关点(代入)法、参数法求轨迹方程 【典例3】设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足DM=mDA(m0,且m1).当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标.,【思路点拨】解答本题的关键是把点M的坐标设出，利用代入法求轨迹方程.,【规范解答】设M(x,y)，A(x0,y0),则由DM=mDA(m0,且 m1),可得x=x0,|y|=m|y0|,所以 因为A点在单位圆上运动，所以 将式代入式即得所求曲线C的方程为 因为m(0,1)(1,+),所以当01时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为,【拓展提升】 1.相关点法(代入法)适用的轨迹类型及使用过程 动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x,y)的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x，y表示成x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，整理化简即得动点P的轨迹方程. 【提醒】用代入法求轨迹方程是将x，y表示成x，y的式子，同时注意x，y的限制条件.,2.参数法适用的轨迹类型及使用过程 有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个或两个变量(斜率、比值、截距或坐标等)的制约，即动点坐标(x,y)中的x,y分别随另外变量的变化而变化，我们可称这些变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法，如果需要得到轨迹的方程，只要根据参数满足的约束条件消去参数即可.,【变式训练】已知抛物线y2=4px(p0),O为顶点，A，B为抛物 线上的两动点，且满足OAOB,如果OMAB于M点，求点M的轨 迹方程. 【解析】设M(x,y)， 当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为y=kx+b, 由OMAB得 由y2=4px及y=kx+b消去y,得 消去x，得ky2-4py+4pb=0.所以,由OAOB，得y1y2=-x1x2, 所以 故y=kx+b=k(x-4p), 把 代入，得x2+y2-4px=0(x0).(*) 当直线AB斜率不存在时，M点坐标为(4p,0)，适合(*)式. 所以M的轨迹方程为x2+y2-4px=0(x0).,1.已知真命题：若A为O内一定点，B为O上一动点，线段AB的垂直平分线交直线OB于点P，则点P的轨迹是以O，A为焦点，OB长为长轴长的椭圆. 类比此命题，写出另一个真命题：若A为O外一定点，B为O上一动点，线段AB的垂直平分线交直线OB于点P，求点P的轨迹.,【解析】如图，连接AP， 由于P是线段AB垂直平分线上一点， 故有PA=PB， 因此|PA-PO|=|PB-PO|=OB=R为定值， 其中R为O的半径.又由于点A在圆外, 故|PA-PO|=OB=ROA, 故动点P的轨迹是以O，A为焦点，OB为实轴长的双曲线.,2.一动圆与圆O1:(x+2)2+y2=3外切，与圆O2:(x-2)2+y2=27内切. (1)求动圆圆心M的轨迹方程. (2)试探究圆心M的轨迹上是否存在点P，使直线PO1与PO2的斜 率满足 ?若存在，请指出共有几个这样的点，并说 明理由(不必具体求出这些点的坐标).,【解析】(1)设动圆圆心为M(x,y)，半径为R， 由题意，得 由椭圆定义知M在以O1,O2为焦点的椭圆上， 且 动圆圆心M的轨迹方程为,(2)由(1)知动圆圆心M的轨迹是椭圆，它的两个焦点坐标分别 为O1(-2,0)和O2(2，0). 设P(x,y)是椭圆上的点，由 得 即x2-y2=4(x2)， 这是实轴在x轴，顶点是椭圆的两个焦点的双曲线(除去两个顶 点)，它与椭圆的交点即为点P.由于双曲线的两个顶点在椭圆 内，根据椭圆和双曲线的对称性可知，它们必有四个交点. 即圆心M的轨迹上存在四个点P，使直线PO1与PO2的斜率满足,3.(2013南京模拟)设定点M(-3,4)，动点N在圆x2+y2=4上运 动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程. 【解析】设P(x,y)，圆上的动点N(x0,y0)，则线段OP的中点坐标为 线段MN的中点坐标为 又因为平行四边形的对角线互相平分， 所以有 可得 又因为N(x0,y0)在圆上，所以N点坐标应满足圆的方程.即有(x+3)2+(y-4)2=4，但应除去两点,4.(2013淮安模拟)设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且 (1)当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3)是曲线C上的点，且 成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴 交于点E(3，0)时，求B点坐标.,【解析】(1)设N(x,y)，则由 得P为MN中点，所以 又 所以y2=4x(x0).,(2)由(1)知F(1，0)为曲线C的焦点，由抛物线定义知，抛物线 上任一点P0(x0,y0)到F的距离等于其到准线的距离，即 所以 根据 成等差数列，得x1+x3=2x2, 易知直线AD的斜率存在，所以直线AD的斜率为 所以AD的垂直平分线l的方程为 又AD中点 在垂直平分线上，则 即 x2=1,所以B(1,2).,5.在RtABC中，CAB=90，AB=2，AC= ，一曲线E过C 点，动点P在曲线E上运动，且保持PA+PB的值不变. (1)建立适当的坐标系，求曲线E的方程. (2)直线l:y=x+t与曲线E交于M，N两点，求四边形MANB的面积 的最大值.,【解析】(1)以AB为x轴，以AB中点为原点O建立直角坐标系， PA+PB=CA+CB= 动点P的轨迹为椭圆，且a= ,c=1,从而b=1. 曲线E的方程为,(2)将y=x+t代入 得3x2+4tx+2t2-2=0. 设M(x1,y1),N(x2,y2), 由得t23, t=0时，,6.(2013徐州模拟)在平面直角坐标 系xOy中，已知点A(-1，1)，P是动点， 且三角形POA的三边所在直线的斜率 满足kOP+kOA=kPA. (1)求点P的轨迹C的方程. (2)若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且 直线 OP与QA交于点M，问：是否存在点P使得PQA和PAM的面积满 足SPQA =2SPAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说 明理由.,【解析】(1)设点P(x,y)为所求轨迹 上的任意一点，则由kOP+kOA=kPA得， 整理得轨迹C的方程 为y=x2(x0且x-1). (2)设 由 可知直线PQOA，则kPQ=kOA, 故 即x2=-x1-1, 直线OP方程为:y=x1x，,直线QA的斜率为： 直线QA的方程为：y-1=(-x1-2)(x+1), 即y=-(x1+2)x-x1-1， 联立，得x=- ，点M的横坐标为定值- . 由SPQA =2SPAM，得到QA=2AM， 因为PQOA，所以OP=2OM. 由 得x1=1,P的坐标为(1，1). 存在点P满足SPQA =2SPAM ,P的坐标为(1,1).,7.已知线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，AB=3， 点M满足 (1)求动点M的轨迹E的方程. (2)若曲线E的所有弦都不能被直线l:y=k(x-1)垂直平分，求实 数k的取值范围.,【解析】(1)设M(x,y),A(x0,0),B(0,y0), 则 由 得 解得 代入 化简得点M的轨迹方程为,(2)由题意知k0, 假设存在弦CD被直线l垂直平分，设直线CD的方程为 由 消去y化简得 (k2+4)x2-8kbx+4k2(b2-1)=0, =(-8kb)2-4(k2+4)4k2(b2-1) =-16k2(k2b2-k2-4)0， k2b2-k2-40,设C(x1,y1)，D(x2,y2)，CD中点P(xp,yp), 则,解得 当曲线E的所有弦都不能被直线l:y=k(x-1)垂直平分时，k的 取值范围是k- 或k .,8.(2013南通模拟)在平面直角坐标系中，已知向量a=(x,y)，b=(x,ky-4)(kR),ab,动点M(x,y)的轨迹为T. (1)求轨迹T的方程，并说明该方程表示的曲线的形状. (2)当k=0时，过点F(0，1)，作轨迹T的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N，试判断直线MN是否过定点？并说明理由.,【解析】(1)ab,ab=(x,y)(x,ky-4)=0, 得x2+ky2-4y=0. 当k=0时，方程为x2=4y表示抛物线； 当k=1时，方程表示以(0，2)为圆心，2为半径的圆； 当k0且k1时，方程表示椭圆； 当k0时，方程表示焦点在x轴上的双曲线. (2)当k=0时，轨迹T的方程为x2=4y. 设A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),N(xN,yN). 由题意设直线AB的方程为y=k1x+1,联立x2=4y有：x2-4k1x-4=0， 点M的坐标为 同理可得：点N的坐标为 直线MN的斜率为 其方程为,整理得 显然，不论k1为何值，点(0，3)均满足方程， 直线MN恒过定点(0，3).,
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