自动控制原 理第8章

第第8章第章第1页页EXIT第第8章第章第2页页EXIT第第8 8章章 离散系统离散系统的分析和的分析和综合综合第第8章第章第3页页EXIT第第8章第章第4页页EXIT 控制系统中有一个或若干个部件的输出信号是一串脉控制系统中有一个或若干个部件的输出信号是一串脉冲形式或是数码，由于信号在时间上是离散的，这类系统冲形式或是数码，由于信号在时间上是离散的，这类系统称为离散系统。随着计算机普通运用于自动控制领域以来，称为离散系统。随着计算机普通运用于自动控制领域以来，离散控制系统在生产、科研等各个领域中得到了广泛的应离散控制系统在生产、科研等各个领域中得到了广泛的应用。用。对于连续时间系统，采用微分方程和拉普拉斯变换进对于连续时间系统，采用微分方程和拉普拉斯变换进行分析和设计；行分析和设计；对于离散时间系统，则采用差分方程和对于离散时间系统，则采用差分方程和z变变换进行分析和设计。换进行分析和设计。通过通过Z变换这个数学工具，可以把传递变换这个数学工具，可以把传递函数，频率特性，根轨迹法等概念应用于离散控制系统。函数，频率特性，根轨迹法等概念应用于离散控制系统。本章将重点介绍本章将重点介绍Z变换理论，脉冲传递函数，离散控制变换理论，脉冲传递函数，离散控制系统的稳定性等内容。系统的稳定性等内容。第第8章第章第5页页EXIT8.1 8.1 离散控制离散控制系统的基系统的基本概念本概念第第8章第章第6页页EXIT两类离散系统：两类离散系统：（1）采样控制系统或脉冲控制系统）采样控制系统或脉冲控制系统离散信号是脉冲序列（时间上离散）离散信号是脉冲序列（时间上离散）（2）数字控制系统或计算机控制系统）数字控制系统或计算机控制系统离散信号是数字序列（时间上离散、幅值上量化）离散信号是数字序列（时间上离散、幅值上量化）在理想采样及忽略量化误差情况下，数字控制系统近似在理想采样及忽略量化误差情况下，数字控制系统近似于采样控制系统，将它们统称为离散系统，这使得采样控于采样控制系统，将它们统称为离散系统，这使得采样控制系统与数字控制系统的分析与综合在理论上统一了起来。制系统与数字控制系统的分析与综合在理论上统一了起来。第第8章第章第7页页EXIT放大器与放大器与执行电动机执行电动机炉炉燃料供应燃料供应调节阀调节阀sTKs111seTs炉温炉温炉温炉温设定值设定值大滞后环节大滞后环节8.1.1 采样控制系统采样控制系统 在实际工业控制系统中，有些被控对象的惯性很大且具有在实际工业控制系统中，有些被控对象的惯性很大且具有滞后特性。对于这类被控对象，如采用连续控制方式，其滞后特性。对于这类被控对象，如采用连续控制方式，其控制效果就不会很好，应运用采样控制的方式进行控制。控制效果就不会很好，应运用采样控制的方式进行控制。sT()e t *()e t 连续信号连续信号 采样信号采样信号 sT第第8章第章第8页页EXIT 脉冲控制系统的特点：脉冲控制系统的特点：系统结构简单、投资少，系统结构简单、投资少，适合于要求不高的场合。适合于要求不高的场合。引入采样方式，使大延引入采样方式，使大延迟系统稳定。迟系统稳定。R(s)C(s)G（s）H（s）Ts第第8章第章第9页页EXIT8.1.2 数字控制系统数字控制系统1 基本概念基本概念 计算机技术的迅速发展，使得计算机、尤其是微型计计算机技术的迅速发展，使得计算机、尤其是微型计算机在工业自动控制领域中的应用越来越广泛。数字控制系算机在工业自动控制领域中的应用越来越广泛。数字控制系统就是指系统中具有数字计算机或数字控制器的自动控制系统就是指系统中具有数字计算机或数字控制器的自动控制系统。由于计算机所使用的量都是数字量，所以计算机控制系统。由于计算机所使用的量都是数字量，所以计算机控制系统又称为数字控制系统或离散系统。这一系统的特点就是具统又称为数字控制系统或离散系统。这一系统的特点就是具有对数字量进行处理的计算机（或数字控制器）。工程实践有对数字量进行处理的计算机（或数字控制器）。工程实践证明：只要证明：只要适当选取采样周期适当选取采样周期Ts，在采样时刻瞬时获取的一，在采样时刻瞬时获取的一系列离散信号完全可以表示相应的连续信号所包含的绝大部系列离散信号完全可以表示相应的连续信号所包含的绝大部分信息，满足对控制系统的性能指标要求分信息，满足对控制系统的性能指标要求。这样计算机就可。这样计算机就可以用采样时刻之间的大量时间去完成其它任务以用采样时刻之间的大量时间去完成其它任务.第第8章第章第10页页EXIT 数字计算机在进行信息处理时必须接受数字信号，所以必数字计算机在进行信息处理时必须接受数字信号，所以必须进行信号的转换。将连续时间信号转换为离散数字信号的须进行信号的转换。将连续时间信号转换为离散数字信号的过程称为过程称为模数转换（模数转换（A/D），），反之，则称为反之，则称为数模转换数模转换（D/A）。它们是数字控制的必要过程。它们是数字控制的必要过程。)(*te第第8章第章第11页页EXIT数字控制系统的特点：数字控制系统的特点：控制器的控制规律由计算机控制器的控制规律由计算机实现，使得控制规律比较灵活、控制精度高，而且实现，使得控制规律比较灵活、控制精度高，而且可以借助计算机实现许多附加功能，例如系统运行可以借助计算机实现许多附加功能，例如系统运行状态检测、报警、保护等。性价比超过模拟控制器。状态检测、报警、保护等。性价比超过模拟控制器。在航空航天、军事、工业、公用事业系统中的在航空航天、军事、工业、公用事业系统中的各类控制系统已经广泛地运用计算机控制。各类控制系统已经广泛地运用计算机控制。第第8章第章第12页页EXIT1）A/D转换器：转换器：采样、量化、编码采样、量化、编码 把连续的模拟信号转换为时间上离散的、幅值上整量化的数字把连续的模拟信号转换为时间上离散的、幅值上整量化的数字信号（二进制的整数），实际上对信号在时间点上信号（二进制的整数），实际上对信号在时间点上采样采样，对信号幅，对信号幅值进行值进行编码编码。一般要求。一般要求A/D转换器具有足够的字长（转换器具有足够的字长（8 bit、10 bit、12 bit、14bit），要求量化单位），要求量化单位 q 足够小。这样幅值的断续性可以足够小。这样幅值的断续性可以忽略不记。若采样编码的时间可以忽略，这时忽略不记。若采样编码的时间可以忽略，这时数字信号可以看成脉数字信号可以看成脉冲信号冲信号，A/D转换器可以认为采样周期为转换器可以认为采样周期为 TS 的理想采样开关。的理想采样开关。2 A/D转换器与转换器与D/A转换器转换器第第8章第章第13页页EXIT2）D/A转换器转换器：把离散的数字信号转换为连续模拟信号。把离散的数字信号转换为连续模拟信号。D/A转转换器有两个工作过程：换器有两个工作过程：（1）解码，解码，把离散的二进制数字信号转换为离散的模拟信号；把离散的二进制数字信号转换为离散的模拟信号；（2）模拟信号复现模拟信号复现，通过，通过“保持器保持器”将离散模拟信号复现为连将离散模拟信号复现为连续的模拟信号，该信号才能真正驱动模拟放大器等。续的模拟信号，该信号才能真正驱动模拟放大器等。第第8章第章第14页页EXIT第第8章第章第15页页EXIT8.1.3离散控制系统的优点离散控制系统的优点1.采样信号特别是数字信号的传递可以有效抑制噪声，提高采样信号特别是数字信号的传递可以有效抑制噪声，提高抗干扰能力；抗干扰能力；2.允许采用高灵敏度的控制元件，提高控制精度；允许采用高灵敏度的控制元件，提高控制精度；3.软件实现的控制规律易于改变，控制灵活，效果好；软件实现的控制规律易于改变，控制灵活，效果好；4.可以分时控制若干系统，提高设备利用率，经济性好；可以分时控制若干系统，提高设备利用率，经济性好；5.引入采样方式，使大延迟系统稳定。引入采样方式，使大延迟系统稳定。第第8章第章第16页页EXIT8.1.4离散系统的研究方法离散系统的研究方法 在离散控制系统中，系统至少有一处的信号是一个脉冲序在离散控制系统中，系统至少有一处的信号是一个脉冲序列，其作用的过程从时间上看是不连续的，控制的过程是断列，其作用的过程从时间上看是不连续的，控制的过程是断断续续的，研究连续线性系统所用的方法，例如拉普拉斯变断续续的，研究连续线性系统所用的方法，例如拉普拉斯变换，传递函数和频率特性等不再适用。研究离散控制系统的换，传递函数和频率特性等不再适用。研究离散控制系统的数学基础是数学基础是Z变换，通过变换，通过Z变换这个数学工具，可以把以前学变换这个数学工具，可以把以前学习过的传递函数，频率特性，根轨迹法等概念应用于离散控习过的传递函数，频率特性，根轨迹法等概念应用于离散控制系统。制系统。Z变换是分析单输入单输出线性定常离散控制系统变换是分析单输入单输出线性定常离散控制系统的有力数学工具。的有力数学工具。Z变换法和线性离散控制系统的关系如同拉变换法和线性离散控制系统的关系如同拉普拉斯变换和线性连续系统的关系一样。普拉斯变换和线性连续系统的关系一样。1.用用Z变换法建立离散系统的数学模型后进行分析、综合。变换法建立离散系统的数学模型后进行分析、综合。2.用离散系统的状态空间分析法（一阶差分方程组）对系统用离散系统的状态空间分析法（一阶差分方程组）对系统进行分析、设计。进行分析、设计。第第8章第章第17页页EXIT8.2 8.2 信号的采样信号的采样与保持与保持第第8章第章第18页页EXIT采样过程：连续信号采样过程：连续信号 采样器采样器 离散信号离散信号 )(*tesT8.2.1信号的采样信号的采样1.理想采样信号的数学表示理想采样信号的数学表示()e t *()e t 连续信号连续信号 采样信号采样信号 采样器的作用时间趋于采样器的作用时间趋于0而得到的理想采样信号而得到的理想采样信号 实际采样信号实际采样信号 设采样持续时间非常小，远小于采设采样持续时间非常小，远小于采样时间间隔样时间间隔,也远小于控制系统中最大也远小于控制系统中最大的时间常数。的时间常数。第第8章第章第19页页EXIT理想脉冲序列理想脉冲序列0()()sTsnttnT 单位理想脉冲序列单位理想脉冲序列理想采样过程的数学描述理想采样过程的数学描述（重要）：（重要）：)()()(*ttetesT0*0()()()()()sssTnsnee te ttnTnTtnTe ttsT)(*te第第8章第章第20页页EXIT*0()()()ssne te nTtnT脉冲产生的时刻脉冲产生的时刻nTs时刻脉冲强度时刻脉冲强度 把窄脉冲信号当作理想脉冲信号处理是近似的，把窄脉冲信号当作理想脉冲信号处理是近似的，要求设采样持续时间非常小，远小于采样时间间隔要求设采样持续时间非常小，远小于采样时间间隔,也远小于控制系统中最大的时间常数。一般都能满也远小于控制系统中最大的时间常数。一般都能满足。足。第第8章第章第21页页EXIT 连续信号连续信号e(t)经过采样而变成离散信号经过采样而变成离散信号e*(t)，这种离散化处理不会丢失原来连续信号这种离散化处理不会丢失原来连续信号e(t)所含有所含有的信息？或者说，我们能否有离散信号的信息？或者说，我们能否有离散信号e*(t)无失无失真地恢复原来连续信号真地恢复原来连续信号e(t)？如果能，离散化处理？如果能，离散化处理需要满足什么条件？香农（需要满足什么条件？香农（shannon）采样定理解）采样定理解决了这一问题。决了这一问题。第第8章第章第22页页EXIT 由以上分析可得出以下结论：由以上分析可得出以下结论：按间隔进行采样后，信号的傅立叶变换是周期函数，按间隔进行采样后，信号的傅立叶变换是周期函数，是原是原函数傅立叶变换的函数傅立叶变换的TS分之一按周期所进行的周期延拓。分之一按周期所进行的周期延拓。“等间等间隔离散化隔离散化”的函数的傅立叶变换是的函数的傅立叶变换是“周期周期”频谱。频谱。1 连续信号与采样信号的频谱的频谱连续信号与采样信号的频谱的频谱 1()()snsEjE jjnss2可得采样信号的傅氏变换为可得采样信号的傅氏变换为第第8章第章第23页页EXIT 连续信号频谱与采样信号频谱的比较连续信号频谱与采样信号频谱的比较第第8章第章第24页页EXIT如果采样器的如果采样器的 输入信号输入信号 具有有限带宽，具有最具有有限带宽，具有最高频率为高频率为 的分量，只要采样周期满足以下条件：的分量，只要采样周期满足以下条件：)(temaxmax(2)smax2()2sTs信号信号 可以从采样信号可以从采样信号 中恢复过来。中恢复过来。)(te)(*te3 3 香农采样定理香农采样定理第第8章第章第25页页EXIT 工程上采用的将采样信号恢复为连续时间信号的装置称为工程上采用的将采样信号恢复为连续时间信号的装置称为保持器，而最常用、最简单的保持器是零阶保持器。保持器，而最常用、最简单的保持器是零阶保持器。D/A转换器转换器 理想低通滤器幅频特性理想低通滤器幅频特性 从采样信号中恢复出连续时间信号称为信号的复现。在满足采样从采样信号中恢复出连续时间信号称为信号的复现。在满足采样定理的前提下，采样信号没有混叠现象。这样，如用一个具有下图定理的前提下，采样信号没有混叠现象。这样，如用一个具有下图所示幅频特性的理想低通滤波器就可以无畸变的把原信号复现出来。所示幅频特性的理想低通滤波器就可以无畸变的把原信号复现出来。8.2.2信号的复现及零阶保持器信号的复现及零阶保持器第第8章第章第26页页EXIT)(tgh)(1)(1)(shTtttg脉冲过渡函数：脉冲过渡函数：幅值为幅值为1，持续时间为，持续时间为 Ts对应的对应的L变换变换1()()1()11()ssTT shshseG sL g tLttTsses)(t)(tgh当给零阶保持器输入一个理想单位脉冲当给零阶保持器输入一个理想单位脉冲 ，则脉冲响应，则脉冲响应（输出）（输出）零阶保持器零阶保持器可以将采样点幅值保持至下一个采样瞬时，把采可以将采样点幅值保持至下一个采样瞬时，把采样信号变为阶梯信号样信号变为阶梯信号：第第8章第章第27页页EXIT零阶保持器的频率特性零阶保持器的频率特性)/(2/2/2/)/()/(sin22)(21)(sssssjsssjTjTjTjThejeeejejGssT/2ss3s2)(jGh零阶保持器的特性：零阶保持器的特性：（1）低通特性）低通特性（2）相角迟后特性）相角迟后特性（3）时间迟后特性）时间迟后特性 （平均迟后时间（平均迟后时间 TS/2）第第8章第章第28页页EXIT8.3 8.3 Z Z变换变换第第8章第章第29页页EXIT0()()()ssnftf nTtnT0()()()snT ssnFsL ftf nT e8.3.1采样信号的拉氏变换采样信号的拉氏变换连续信号：连续信号：f（t）其理想采样信号：其理想采样信号：其拉氏变换：其拉氏变换：从此式可以看出，任何采样信号的拉氏变换中，都含有超越从此式可以看出，任何采样信号的拉氏变换中，都含有超越函数函数 ，因此，若仍用拉氏变换处理采样系统的问题，因此，若仍用拉氏变换处理采样系统的问题，就会给运算带来很多困难，就会给运算带来很多困难，snTe第第8章第章第30页页EXIT0()()()snT ssnFsL ftf nT esT szezTssln10()()()nsnF zZ ftf nT z8.3.2 Z变换的定义（单边变换的定义（单边Z变换）变换）z为变换算子，是一个复变量为变换算子，是一个复变量 F（z）定义为采样信号）定义为采样信号f*（t）的）的Z变换。变换。第第8章第章第31页页EXIT说明：说明：F（z）实际上是理想采样信号实际上是理想采样信号f*（t）的拉氏变换；从定的拉氏变换；从定义上看，义上看，F（z）只考虑了采样时刻的信号值只考虑了采样时刻的信号值f（nTs）。对于。对于一个连续函数一个连续函数f（t），由于采样时刻，由于采样时刻nTs的值就是的值就是f（nTs），因此因此F（z）既是采样信号既是采样信号f*（t）的的Z变换，也是连续信号变换，也是连续信号f（t）的的z变换，即变换，即0()()()()nsnF zftf tf nT z 第第8章第章第32页页EXIT z变换是变换是s变换的变形，只适用于离散信号，变换的变形，只适用于离散信号，只表征连续函数在采样时刻的特性，与采样时刻只表征连续函数在采样时刻的特性，与采样时刻之间的特性无关。之间的特性无关。12()(0)()(2)ssF zff TzfTz是一个开放形式的级数，希望写成闭合式。是一个开放形式的级数，希望写成闭合式。第第8章第章第33页页EXIT1 级数求和法级数求和法已知连续函数已知连续函数f(t)的采样值的采样值f（nTs）0()()()nsnF zftf nT z 8.3.1 Z变换的求法变换的求法 一般，函数的一般，函数的Z变换的级数形式都是收敛的，可以写成闭变换的级数形式都是收敛的，可以写成闭合形式。根据无穷级数求和公式合形式。根据无穷级数求和公式2,11aaaqaqqq第第8章第章第34页页EXIT例例8.2 试求单位阶跃信号的试求单位阶跃信号的Z变换。变换。解解：单位阶跃函数：单位阶跃函数1(t)在任何采样时刻的值均为在任何采样时刻的值均为1。即。即()1()1(0,1,2,)ssf nTnTn0120()1()1()111nnF zttzzzz 11z11()1()11zF ztzz 可写成闭合形式可写成闭合形式若若1z是一个等比级数，公比是一个等比级数，公比第第8章第章第35页页EXITZ变换的无穷级数形式的物理含义：变换的无穷级数形式的物理含义：变量变量zn的系数代表了连续时间函数在各采样的系数代表了连续时间函数在各采样时刻的采样值时刻的采样值。通过级数求和法求取通过级数求和法求取Z变换的缺点：变换的缺点：需要将无穷级数写成闭合形式。需要将无穷级数写成闭合形式。第第8章第章第36页页EXIT2 部分分式法部分分式法已知连续函数已知连续函数f（t）的拉氏变换）的拉氏变换1()()()niiikM sF sN ssp 1i snip TizF zkzeip tik e对应对应Z变换变换iikspi sipTk zze第第8章第章第37页页EXIT例例8.6 求拉氏变换为求拉氏变换为 的连续函数的的连续函数的Z变换变换。1(1)s s解：解：111()(1)1F ss sss02()1(1)(1)ssssssTTTTTTzzzzF zzezezzezezeze常用函数的常用函数的Z变换及相应拉氏变换见表变换及相应拉氏变换见表8.1。第第8章第章第38页页EXIT8.3.4 Z变换的性质变换的性质1 线性定理线性定理 1122()()Z f tFzZ ftFz1212()()()()af tbf taF zbF z第第8章第章第39页页EXIT2 滞后定理（类似积分定理）滞后定理（类似积分定理）()()smfFmzztT3 超前定理超前定理（类似微分定理）（类似微分定理）10()()()mmksskf t mTF zf kzT z初始条件初始条件信号滞后波形信号滞后波形 信号超前波形信号超前波形 第第8章第章第40页页EXIT5 初值定理初值定理(0)lim()zfFz 6 终值定理终值定理*1()lim()lim(lim(1()ttzff tftzF z 4 复位移定理复位移定理 saTatf t eF ze第第8章第章第41页页EXIT 应当注意，应当注意，z变换只反映信号在采样点上变换只反映信号在采样点上的信息，而不能描述采样点间信号的状态。的信息，而不能描述采样点间信号的状态。因此变换与采样序列对应，而不对应唯一的因此变换与采样序列对应，而不对应唯一的连续信号。不论什么连续信号，只要采样序连续信号。不论什么连续信号，只要采样序列一样，其变换就一样。列一样，其变换就一样。第第8章第章第42页页EXIT1()F z8.3.5 Z反变换反变换 从原则上讲，经过从原则上讲，经过Z反变换反变换 f（nTs）或记为或记为f（nTs）。1 幂级数展开法（长除法）幂级数展开法（长除法）)()(011011mnazazabzbzbzFnnnnmmmm对上式用分母去除分子，所得之商按对上式用分母去除分子，所得之商按z1的升幂排列的升幂排列1z120120()nnnnnF zff zf zf zf z第第8章第章第43页页EXIT方法：将方法：将 展开成部分分式展开成部分分式 将部分分式中将部分分式中的每一项乘以因子的每一项乘以因子z 对照对照Z变换表变换表 X(z)的反变换的反变换()F zz2 部分分式法部分分式法011()nnkkkF zzzzzzz 01niiik zF zkzz 01()()nnsiiif nTktkz第第8章第章第44页页EXIT例例8.19 设设 ，试用部分分式法求，试用部分分式法求f（n）。）。21()12zzF zzz解：解：2012()11212KKKF zzzzz zzzzz1()()11.522nnsf nTt 11.5()212zzF zzz第第8章第章第45页页EXIT8.4 8.4 脉冲传递脉冲传递函数函数 第第8章第章第46页页EXIT 与连续系统的分析相同，与连续系统的分析相同，离散系统的数学模离散系统的数学模型主要有时域模型（差分方程）与复域模型型主要有时域模型（差分方程）与复域模型（脉冲传递函数）。二者之间可相互转换（脉冲传递函数）。二者之间可相互转换，其，其关系与连续系统的微分方程、传递函数相同。关系与连续系统的微分方程、传递函数相同。在离散控制系统中，连续信号被离散时间信号在离散控制系统中，连续信号被离散时间信号所取代，描述系统的时域模型就成了差分方程，所取代，描述系统的时域模型就成了差分方程，系统用变量的前后序列差表示。系统用变量的前后序列差表示。第第8章第章第47页页EXIT8.4.1 脉冲传递函数脉冲传递函数1 脉冲传递函数的定义脉冲传递函数的定义在零初始条件下在零初始条件下)()()()(11*zRzGZzCZtc()()()/()()nsnsc nT zG zC zR zr nT z 脉冲传递函数是分析离散控制系统最重要的数学工具，它的作用同脉冲传递函数是分析离散控制系统最重要的数学工具，它的作用同分析连续系统的数学工具传递函数相当，是分析与设计系统的前提。分析连续系统的数学工具传递函数相当，是分析与设计系统的前提。G(s)c(t)Tsr*(t)R(z)Tsc*(t)C(z)r(t)G(z)第第8章第章第48页页EXIT2 脉冲传递函数的物理意义脉冲传递函数的物理意义对于上图所示系统，系统处于零初始状态，输入信号为对于上图所示系统，系统处于零初始状态，输入信号为r（t）=（t），则有，则有r*（t）=（t），），R（z）=1。则该系统的响应与无采样开关时的响应相同，为连续系统则该系统的响应与无采样开关时的响应相同，为连续系统G（s）的单位脉冲响应，可用）的单位脉冲响应，可用g（t）表示）表示 g（t）=L1G（s）系统虚设的输出序列的系统虚设的输出序列的z变换为变换为 C（z）=Zg*（t）=Zg（t）=ZL1G（s）并满足并满足 C（z）=G（z）R（z）=G（z）因此，该线性离散系统的脉冲传递函数为因此，该线性离散系统的脉冲传递函数为 G（z）=ZL1G（s）第第8章第章第49页页EXIT 以上分析说明，对于图所示的线性环节与采样开关相串以上分析说明，对于图所示的线性环节与采样开关相串联所组成的离散系统，其脉冲传递函数联所组成的离散系统，其脉冲传递函数G（z）是连续环节）是连续环节G（s）脉冲过渡函数）脉冲过渡函数g（t）经采样后得到的离散信号）经采样后得到的离散信号g*（t）的的z变换。变换。()()s zG zG sG（z）=ZL1G（s）G(s)c(t)Tsr*(t)R(z)Tsc*(t)C(z)r(t)G(z)第第8章第章第50页页EXIT说明：说明：（1）G（s）一个线性环节的传递函数一个线性环节的传递函数 G（z）是线性环节与采样开关相串联的离散系统的是线性环节与采样开关相串联的离散系统的脉冲传递函数脉冲传递函数。（2）用）用G（z）只能得出输出信号的采样序列）只能得出输出信号的采样序列C（z），为了强），为了强调这一点，往往在输出端画上一个假想的同步采样开关。调这一点，往往在输出端画上一个假想的同步采样开关。（3）表征离散系统的固有特性，与表征离散系统的固有特性，与 1 系统结构、参数；系统结构、参数；2 采样周期；采样周期；3 采样开关的具体位置采样开关的具体位置有关。有关。第第8章第章第51页页EXIT3 脉冲传递函数的基本求法脉冲传递函数的基本求法 连续系统的传递函数连续系统的传递函数G(s)事实上：事实上：（2）已知差分方程，进行已知差分方程，进行Z变换，两者可转换变换，两者可转换G(z)=ZL1G(s)但但，（1）按定义）按定义脉冲响应函数脉冲响应函数g(t)按采样周期离散化按采样周期离散化g*(t)变换变换G(z)G(s)G(z)Z Z变换表变换表()()s zG zG s第第8章第章第52页页EXIT例例8.23 求图示系统的脉冲传递函数。求图示系统的脉冲传递函数。解：解：11/11/TG sTssT得得 11/111/stTTTTzG zZLZesTTTzec(t)TsTsr(t)11Ts 第第8章第章第53页页EXIT例例8.23 求图示系统的脉冲传递函数。求图示系统的脉冲传递函数。解：解：查查Z变换表，得变换表，得 10111010G ss sss 1010101()11sssTTTzezzG zZ G szzezzec(t)TsTsr(t)10(10)s s 由以上例题可见，原连由以上例题可见，原连续系统传递函数续系统传递函数G（s）的阶）的阶次与加入采样开关后的离散次与加入采样开关后的离散系统脉冲传递函数系统脉冲传递函数G（z）的）的阶次完全相同。阶次完全相同。第第8章第章第54页页EXIT8.4.2 开环系统的脉冲传递函数开环系统的脉冲传递函数 当离散系统中有两个连续环节串联时，他们之当离散系统中有两个连续环节串联时，他们之间有无采样开关，系统的脉冲传递函数是不同的。间有无采样开关，系统的脉冲传递函数是不同的。第第8章第章第55页页EXIT1 环节串联时的脉冲传递函数环节串联时的脉冲传递函数)()()()()()(212zGzGzRzGzXzC)()()()()()()(2121zGzGsGZsGZzRzCzG结论：结论：被理想采样开关隔开的被理想采样开关隔开的n个线性环节串联时，其个线性环节串联时，其脉冲传递函数为每个环节所对应的脉冲传递函数之积。脉冲传递函数为每个环节所对应的脉冲传递函数之积。1212()()()()()()()nnG zZ G s Z G sZ G sG z G zG zr(t)c(t)G1(s)G2(s)Tsx(t)G1(z z)G2(z z)TsX(z z)第第8章第章第56页页EXIT2 连续环节之间有同步采样开关连续环节之间有同步采样开关 11212()()()()G zZ LG sG sGG zr(t)c(t)G1(s)G2(s)Tsx(t)G1(z z)G2(z z)第第8章第章第57页页EXIT例例8.251010)(,1)(21ssGssG解：解：两环节之间有采样开关时两环节之间有采样开关时1()1zG zz11()G ss210()10G ss21010()sTzG zze两环节串联，两环节串联，G1(s)前有一采样开关，比较两环节之间有无前有一采样开关，比较两环节之间有无采样开关时脉冲传递函数有何区别采样开关时脉冲传递函数有何区别。12()()()G zG zGz 10101sTzzzze21010210(1)ssTTzzeze第第8章第章第58页页EXIT112()()()G zZ LG sG s1211011()()1010G sG ss sss1212()()()G zG zGG z11110ZLss101sTzzzze1010102(1)(1)sssTTTezzeze 两环节之间无采样开关时两环节之间无采样开关时 因此因此,环节之间有无采样开关，两个系统的脉冲传递函数环节之间有无采样开关，两个系统的脉冲传递函数往往是不同的，但极点是相同的，只是零点不同。往往是不同的，但极点是相同的，只是零点不同。第第8章第章第59页页EXIT3 带有零阶保持器的开环系统的脉冲传递函数带有零阶保持器的开环系统的脉冲传递函数 221()()()11()()()()(1)ssssT sTT sTssZGZ G sZ G seeG sG zZsZG sesesG sZss上式第二项可写为上式第二项可写为 1222()()()sT ssZ G s eZ g t TzZ G s采样后带有零阶保持器的系统的脉冲传递函数为采样后带有零阶保持器的系统的脉冲传递函数为2211()()(1(1)()zZG ssG zZ G szZ G sr(t)c(t)G(s)Ts零阶保持器零阶保持器1sT ses连续环节连续环节R(z z)11z()GsZsC(z z)第第8章第章第60页页EXIT例例8.26 采样控制系统如图所示，试求其脉冲传递函数。采样控制系统如图所示，试求其脉冲传递函数。解：解：101.011.0)10(10)10(101)(122sssssssssGs102210.110.10.10.1()101(1)ssTT zzzZG sZsssszzze系统脉冲传递函数为：系统脉冲传递函数为：110210101010110.10.1()(1)()1(1)(0.1 0.1)(0.10.1)(1)()ssssssTTTTssTT zzzzG zzZG sszzzzeTezT eezze可见，零阶保持器的引入对系统脉冲传递函数的阶次无影响。可见，零阶保持器的引入对系统脉冲传递函数的阶次无影响。第第8章第章第61页页EXIT4 连续信号直接进入连续环节时的脉冲传递函数连续信号直接进入连续环节时的脉冲传递函数 连续环节连续环节G1（s）的输入信号为连续信号）的输入信号为连续信号r(t)，输出的连续信号为，输出的连续信号为e(t)。)()()(1sGsRsEe(t)经采样开关后得到离散信号经采样开关后得到离散信号e*(t)，z变换为变换为)()()()(111zRGsGsRLZzE而连续环节而连续环节G2（s）输入采样信号）输入采样信号e*(t)，其输出序列的，其输出序列的z变换为变换为221()()()()()C zG z E zG z RG z 若对于某离散系统，当连续信号首先进入连续环节时，该系统若对于某离散系统，当连续信号首先进入连续环节时，该系统无法写出脉冲传递函数的形式，只能求出输出序列无法写出脉冲传递函数的形式，只能求出输出序列C（z）的表达式。）的表达式。G2(s)r(t)c(t)Tse*(t)E(z)Tsc*(t)C(z)G1(s)e(t)第第8章第章第62页页EXIT8.4.3离散控制系统的闭环脉冲传递函数离散控制系统的闭环脉冲传递函数 由于离散控制系统中，既有连续信号的传递由于离散控制系统中，既有连续信号的传递,又有离散信号的传又有离散信号的传递递,所以在分析离散控制系统时与连续系统分析不同，需要增加符合所以在分析离散控制系统时与连续系统分析不同，需要增加符合离散传递关系的分析。离散传递关系的分析。1 采样信号拉氏变换的重要性质采样信号拉氏变换的重要性质采样函数的拉氏变换采样函数的拉氏变换G*1（s）与连续函数的拉氏变换）与连续函数的拉氏变换G2（s）相乘后）相乘后再离散化，则再离散化，则G*1（s）可以从离散符号中提出来，即）可以从离散符号中提出来，即212*1()()()()G s G sG s G s212*112()()()()()()Z G s G sZ G s G sG z G z与此相比较，若连续信号相乘后再离散化，则有与此相比较，若连续信号相乘后再离散化，则有)()()(*1*212sGGsGsG1212()()()Z G s G sGG z第第8章第章第63页页EXIT离散系统的典型结构离散系统的典型结构()()()()1()C zG zzR zGH z)(11)()()(zGHzRzEze()()()()E zR zE z GH z2 离散控制系统的闭环脉冲传递函数离散控制系统的闭环脉冲传递函数)()()()()()(*sHsGsEsHsCsB)()()()()()()(*sHsGsEsRsBsRsE)()()()(*sGHsEsRsE考虑到离散信号拉氏变换的相关性质，则偏差信号离散化后的考虑到离散信号拉氏变换的相关性质，则偏差信号离散化后的s变换为变换为 r(t)c(t)H(s)Tsb(t)e(t)e*(t)G(s)第第8章第章第64页页EXIT)(zGH0)(1)(zGHzD闭环系统的特征方程：闭环系统的特征方程：开环脉冲传递函数：开环脉冲传递函数：应当注意：离散系统的闭环脉冲传递函数不应当注意：离散系统的闭环脉冲传递函数不能从对应的连续系统传递函数的能从对应的连续系统传递函数的Z变换直接得到。变换直接得到。()()()()eezZszZs第第8章第章第65页页EXIT例例820 已知离散控制系统结构如下图所示，前向传递函已知离散控制系统结构如下图所示，前向传递函数数 ，反馈传递函数，反馈传递函数H（s）=1，试计算系统的闭环，试计算系统的闭环脉冲传递函数。脉冲传递函数。10()(1)G ss s解：解：10()(1)G ss s()()1()G zzGH z2101010()(1)1101010(1)1(1)ssssTTTTG zZZs ssszzezzzezezer(t)c(t)H(s)Tsb(t)e(t)e*(t)G(s)第第8章第章第66页页EXIT22210(1)10(1)(1)10(1)(9 11()1(1)()()1()1()sssssssssTTTTTTTTTezezzezeezzezezG zG zzzGezzeGH第第8章第章第67页页EXIT解：解：1）首先求出该系统闭环脉冲传递函数，由结构图可知）首先求出该系统闭环脉冲传递函数，由结构图可知 例例8.28 8.28 已知离散控制系统结构如图所示，试计算系统的闭已知离散控制系统结构如图所示，试计算系统的闭环脉冲传递函数。环脉冲传递函数。1sTse(t)c(t)r(t)TsTsb(t)1s-1-sT ses10.1s+15s+零阶保持器零阶保持器()cG s1()G s2()G s第第8章第章第68页页EXIT()()()()cC zG z G z E z()()()E zR zB z1()()()()()()()cB zG z GH z E zGH zZ LG s H s()()()()()1()()ccG z G zC zzR zG z GH ze(t)c(t)r(t)Gc(s)G(s)Tsx(t)TsH(s)b(t)()()()()()cE zR zG z GH z E z()()()11()()ceE zzR zG z GH z第第8章第章第69页页EXIT2）系统闭环传递函数为）系统闭环传递函数为 1sTse(t)c(t)r(t)TsTsb(t)1s-1-sT ses10.1s+15s+零阶保持器零阶保持器1()cG ss()1czG zz12111010()()(1)0.10.1ssT sT seG s G sessss121 10100.950()10.9050.905zzzGG zzzzz 1212()()()1()()ccG z GG zzGG H z G z()cG s1()G s2()G s第第8章第章第70页页EXIT1212()()()1()()ccG z GG zzGG H z G z()1czG zz120.950()0.905GG zz2320.950.0071.7590.9530.006zzzzz121111()(1)0.15(0.1)(5)ssTTeGG H zZZessss ss120.1530.035()(0.905)(0.007)zGG H zzz第第8章第章第71页页EXIT 此系统为三阶离散系统，零阶保持器的引入此系统为三阶离散系统，零阶保持器的引入并不影响系统的阶次。并不影响系统的阶次。离散控制系统中，如果比较环节之后无采离散控制系统中，如果比较环节之后无采样开关，输入信号未经采样就直接输入连续环样开关，输入信号未经采样就直接输入连续环节，节，这种采样开关的配置可使系统不存在闭环这种采样开关的配置可使系统不存在闭环脉冲传递函数，但若已知外输入信号，可得输脉冲传递函数，但若已知外输入信号，可得输出信号的出信号的Z变换表达式。变换表达式。第第8章第章第72页页EXIT表表8.1 典型离散控制系统结构图及输出信号典型离散控制系统结构图及输出信号C（z）第第8章第章第73页页EXIT第第8章第章第74页页EXIT第第8章第章第75页页EXIT结论：结论：1）利用利用z变换只能求出输出信号离散序列的变换只能求出输出信号离散序列的z变换，采样开变换，采样开关的不同位置，导致了闭环系统输出关的不同位置，导致了闭环系统输出C（z）具有不同的形式）具有不同的形式，若输出信号为连续信号，可以在输出端虚设采样开关表明，若输出信号为连续信号，可以在输出端虚设采样开关表明只能求取输出信号在采样瞬时的值。只能求取输出信号在采样瞬时的值。2）当输入信号与第一个连续环节之间（即比较环节之后）当输入信号与第一个连续环节之间（即比较环节之后）无采样开关时，则应利用输入信号拉氏变换函数无采样开关时，则应利用输入信号拉氏变换函数R（s）与相）与相连环节传递函数连环节传递函数G1（s）乘积）乘积RG1（s）的）的z变换变换RG1（z），以，以求出输出序列的求出输出序列的z变换变换C（z），但无法定义），但无法定义（z）=C（z）/R（z）。）。3）离散系统的脉冲传递函数与连续系统的传递函数作用类离散系统的脉冲传递函数与连续系统的传递函数作用类似，表征离散系统的固有特性，与系统连续部分的结构、参似，表征离散系统的固有特性，与系统连续部分的结构、参数，采样周期，采样开关的具体位置有关。数，采样周期，采样开关的具体位置有关。第第8章第章第76页页EXIT4）离散系统脉冲传递函数）离散系统脉冲传递函数（z）与相应的连续系统的闭环）与相应的连续系统的闭环传递函数传递函数（s）具有相似的形式，可以根据）具有相似的形式，可以根据（s）再考虑）再考虑离散系统采样开关的位置直接写出离散系统的离散系统采样开关的位置直接写出离散系统的（z）；当当环节环节G1（s）与环节）与环节G2（s）之间无采样开关隔开时，利用相）之间无采样开关隔开时，利用相连环节传递函数拉氏变换乘积的连环节传递函数拉氏变换乘积的z 变换变换G1G2（z）。）。需要注意的是，需要注意的是，由于研究的是采样输入与采样输出之间由于研究的是采样输入与采样输出之间的关系，当输入信号与输出信号之间（前向通道）无采样开的关系，当输入信号与输出信号之间（前向通道）无采样开关时，由于输入信号未经采样就流向输出端，则无法利用上关时，由于输入信号未经采样就流向输出端，则无法利用上述规律直接求系统的输出序列述规律直接求系统的输出序列C（z），必须严格按照信号之），必须严格按照信号之间的关系求取间的关系求取C（z）。）。第第8章第章第77页页EXIT8.4.4应用应用z变换分析离散系统的局限性与条件变换分析离散系统的局限性与条件1 局限性局限性 由以上分析可知，对于离散控制系统，若希望将采样点上的值由以上分析可知，对于离散控制系统，若希望将采样点上的值C（nTs）平滑地连接以代表相应的连续信号）平滑地连接以代表相应的连续信号C（t），），则输出响应曲线则输出响应曲线C（t）应该是光滑无跳变的，即系统的连续部分应该能够光滑输入的脉冲）应该是光滑无跳变的，即系统的连续部分应该能够光滑输入的脉冲序列，输出信号在采样点不应该发生跳变。序列，输出信号在采样点不应该发生跳变。C（nTs）t/s0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 图图 C（nTs）与）与C（t）响应曲线）响应曲线1.582C（t）C*（t）0.582第第8章第章第78页页EXIT 则连续系统对于一序列理想脉冲信号作用下的输出在每个采样则连续系统对于一序列理想脉冲信号作用下的输出在每个采样点都不会产生跳变，输出的响应曲线将是平滑的曲线。在前面的分点都不会产生跳变，输出的响应曲线将是平滑的曲线。在前面的分析中已经指出，为了使采样信号不失真地复现原连续信号，应该满析中已经指出，为了使采样信号不失真地复现原连续信号，应该满足两个条件：足两个条件：采样频率满足香农采样定理；采样频率满足香农采样定理；采样信号应该通过采样信号应该通过低通滤波器滤掉采样引起的高频分量，低通滤波器滤掉采样引起的高频分量，其其物理意义是采样开关后接物理意义是采样开关后接的连续环节应该具有较好的低通滤波特性，则采样后的信号可以恢的连续环节应该具有较好的低通滤波特性，则采样后的信号可以恢复为原信号。复为原信号。当连续部分传递函数当连续部分传递函数G（s）的极点比零点的个数多于）的极点比零点的个数多于2个（分个（分母的阶次母的阶次n与分子的阶次与分子的阶次m之差之差nm2）时，）时，G（s）在单位脉冲）在单位脉冲信号（信号（t）作用下的脉冲过渡函数）作用下的脉冲过渡函数g（t）在）在0时刻时无跳变，即：时刻时无跳变，即：0lim()lim()0tsg ts G s2 应用应用z变换分析离散系统的条件变换分析离散系统的条件第第8章第章第79页页EXIT 当连续环节传递函数当连续环节传递函数G（s）的极点与零点数不满足上述条）的极点与零点数不满足上述条件时，如果离散系统在采样开关之后串联了零阶保持器，则件时，如果离散系统在采样开关之后串联了零阶保持器，则采样开关输出的每个脉冲信号被零阶保持器保持为矩形信号，采样开关输出的每个脉冲信号被零阶保持器保持为矩形信号，脉冲序列变为了连续的阶梯信号，系统的输出脉冲序列变为了连续的阶梯信号，系统的输出C（t）在每个）在每个采样点也不会产生跳变。采样点也不会产生跳变。实际上，对于大多数离散系统，其连续部分的传递函数都实际上，对于大多数离散系统，其连续部分的传递函数都满足极点比零点的个数多于满足极点比零点的个数多于2个的条件；同时，对于大多数数个的条件；同时，对于大多数数字控制系统，字控制系统，D/A转换器都具有零阶保持器的作用。转换器都具有零阶保持器的作用。综上所述，对于大多数离散系统，其输出信号综上所述，对于大多数离散系统，其输出信号C（t）都是）都是平滑无跳变的，通过平滑无跳变的，通过z变换所求取的输出脉冲序列变换所求取的输出脉冲序列C（z）完全）完全可以准确地描述实际的输出信号可以准确地描述实际的输出信号C（t）。）。第第8章第章第80页页EXIT8.4.5差分方程差分方程1差分方程的基本概念差分方程的基本概念g（t）是系统连续部分的脉冲响应函数。系统的输入信号）是系统连续部分的脉冲响应函数。系统的输入信号r(t)经理想开关采样后变成一个理想脉冲序列经理想开关采样后变成一个理想脉冲序列r*(t)G（s）r(t)c(t)Tsr*(t)Tsc*(t)2()2()()()()0()(ssssssssTnTgTrTnTgTrnTgrnTc0()()nssskr kT g nTkT在某一采样瞬时在某一采样瞬时t=nTs，输出信号的瞬时值为，输出信号的瞬时值为*0()()()(0)(0)()()(2)(2)nsssssskr tr kTtkTrr TtTrTtT第第8章第章第81页页EXIT例例8.32 求上图所示系统的差分方程，其中求上图所示系统的差分方程，其中11)(TssG解解：系统连续部分的脉冲响应函数为：系统连续部分的脉冲响应函数为TteTTsLsGLtg/11111)()(在在t=nTs瞬时的输出为瞬时的输出为 nkkTnTTsssseTkTrnTc0)(11)()(10)1(11)()1(nkkTTnTsssseTkTrTnc由以上两式得由以上两式得)1(1)()1(/ssTTsTnrTnTreTncs为了强调是序列，可令采样周期为为了强调是序列，可令采样周期为1s，则上式可写成，则上式可写成)1(1)()1(/1nrTncencT第第8章第章第82页页EXIT)1(1)()1(/1nrTncencT 上式就是描述图所示离散控制系统的差分方程，也称前向差分上式就是描述图所示离散控制系统的差分方程，也称前向差分方程。由于此离散系统在任一采样时刻的输出值方程。由于此离散系统在任一采样时刻的输出值c（n+1）与系统在）与系统在前一采样时刻的输出值前一采样时刻的输出值c（n）有关，称为一阶差分方程。从此系统）有关，称为一阶差分方程。从此系统的差分方程可见，系统在任一采样时刻的输出值的差分方程可见，系统在任一采样时刻的输出值c（n+1）也与系统）也与系统在当前采样时刻的输入瞬时值在当前采样时刻的输入瞬时值r（n）有关，即某一采样瞬时的输入）有关，即某一采样瞬时的输入将立刻改变系统在此采样时刻的输出瞬时值，说明了系统的输出在将立刻改变系统在此采样时刻的输出瞬时值，说明了系统的输出在每个采样时刻将发生跳变。每个采样时刻将发生跳变。对于对于n阶连续系统所构成的离散系统，其时域模型是阶连续系统所构成的离散系统，其时域模型是n阶差分方阶差分方程，即当前采样时刻的输出与系统在过去程，即当前采样时刻的输出与系统在过去n个采样时刻的输出有关。个采样时刻的输出有关。第第8章第章第83页页EXIT2 应用应用Z变换求解差分方程变换求解差分方程（类似用（类似用s变换求解微分方程）变换求解微分方程）已知外输入和初始条件时，可以用迭代解法求出在任一已知外输入和初始条件时，可以用迭代解法求出在任一采样时刻的输出值，但输出在采样时刻的一般表达式却很难采样时刻的输出值，但输出在采样时刻的一般表达式却很难得到。但利用得到。但利用Z变换可以实现。变换可以实现。利用利用Z变换的超前定理变换的超前定理(Ts=1s)10()()()mmkkf nmzF zf k z将差分方程将差分方程 代数方程代数方程第第8章第章第84页页EXIT解解：对差分方程两边取：对差分方程两边取Z变换变换例例8.33 用用Z变换法解二阶差分方程变换法解二阶差分方程0)(2)1(3)2(ncncnc,0)0(c1)1(c22()(0)(1)3()3(0)2()0z C zz czczC zzcC z代入初始条件化简得代入初始条件化简得 2()3()2()0z C zzzC zC z2()32(1)(2)12zzzzC zzzzzzz得得:),2,1,0(,)2()1()()(1nzCZncnn10()()()mmkkf nmzF zf k z第第8章第章第85页页EXIT3 差分方程与脉冲传递函数的相互转换差分方程与脉冲传递函数的相互转换解：解：/1()()()sTTzC zeC zzR zT/()1()()sTTC zzG zR zTze差分方程差分方程脉冲传递函数脉冲传递函数 已知已知求解求解求解求解已知已知例例8.34 设初始条件为设初始条件为0，已知差分方程，已知差分方程 ，试求脉冲传递函数，试求脉冲传递函数G（z）。）。/1(1)()(1)sTTc nec nr nT第第8章第章第86页页EXIT解：解：将上式等号两边分子、分母交叉相乘，得将上式等号两边分子、分母交叉相乘，得例例8.35 已知脉冲传递函数，试求差分方程已知脉冲传递函数，试求差分方程。2()0.2340.668()()1.2340.234C zzG zR zzz2(1.2340.234)()(0.2340.668)()zC zzR zc(n2)-1.234c(n1)0.234c(n)0.234r(n1)0.668r(n)在零初始条件下，应