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一、不定积分的概念一、不定积分的概念二、不定积分的性质基本积分公式二、不定积分的性质基本积分公式 三、换元积分法三、换元积分法 四、分部积分法四、分部积分法 五、有理函数的积分五、有理函数的积分第一节第一节 不定积分不定积分第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学一、不定积分的概念一、不定积分的概念 定义3-1 若在某区间上 ,则称 为 在该区间上的一个原函数)(xF)(xf上的一个原函数在区间是),(cossinxx上的一个原函数在区间是),0(1lnxx例例 xxcossin),(xxx1)ln(),0(x)()(xfxFxcxcossin（为任意常数）为任意常数）Cxxcossin分析分析（2假设假设 和和 都是都是 的原函的原函数数,)(xF)(xG)(xf那么那么CxFxG)()(（为任意常数）为任意常数）C结论结论（1假设假设 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，)()(xfxF C都有都有)()(xfCxF（3）为为 原函数的全体原函数的全体CxF)()(xf问题问题(1)原函数是否唯一？原函数是否唯一？(2)若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？(3)原函数的全体如何表示原函数的全体如何表示?任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数CxFdxxf)()(被积表达式被积表达式 定义3-2 若函数 是 一个原函数,那么 原函数的全体 称为的不定积分.记为.)(xf)(xfCxF)()(xfdxxf)()(xF积分变量积分变量 由此可知由此可知,求求 不定积分只需求出不定积分只需求出 一个原函数一个原函数,再加上任意常数再加上任意常数 .)(xf)(xfC例例3-1 求求xdxcos于是于是函数函数,解解的的一一个个原原是是所所以以因因为为xxxxcossin,cos)(sinCxxdxsincos例例3-2 求求dxx1解解上上的的在在是是所所以以时时),0(1ln,1)(ln,0 xxxxx是是所所以以时时)ln(),1(1)ln(,0 xxxx上的上的在在)0,(1x),0()0,(ln1xCxdxx.一个原函数所以一个原函数.不定积分的几何意义不定积分的几何意义xyoxCxFy)()(xFy CxFy)(是积分曲线是积分曲线上、下平移所得到一上、下平移所得到一族积分曲线，称为积族积分曲线，称为积分曲线族分曲线族)(xF在点处有相同的斜率，即这些切线互相平行x)(xf二、不定积分的性质和基本积分公式二、不定积分的性质和基本积分公式 )()(xfdxxf或或dxxfdxxfd)()(性质性质3-1Cxfdxxf)()(Cxfxdf)()(或或性质性质3-2dxxkf)(dxxfk)(（k是是常常数数，)0 k性质性质3-3dxxgxf)()(dxxgdxxf)()(性质性质3-4基本积分公式基本积分公式 );1(1)1(1CxdxxCxxdxln)2(xdxcos)5(CxsinCaaxlndxax(3)dxexCex(4)xdxsin)6(Cxcosx2sec)7(Cx tanx2csc)8(Cxcotdxx211)9(CxarcCxcotarctandxx211)10(CxCxarccosarcsin例例3-3 3-3 求求.)1212(2dxxxdxdxxdxx212213Cxxx3例例3-4 3-4 求求.dxexx3解解dxedxexxx)(33Ceex3ln)3(Cexx3ln13解解dxxx)1212(2例例3-5 3-5 求求dxxx)(1122解解dxxx)(1122dxxxxx)(222211dxxx)(22111dxxdxx22111Cxxarctan1例例3-7 3-7 求求xdx2tan例例3-6 3-6 求求dxxx)5(2Cxx232731071解解 )1(sectan22dxxxdxCxxtan 解解 dxxx)5(2dxxx)5(2125例例3-8 3-8 求求dxxx221cossin解解 dxxx221cossindxxxxx2222cossincossindxxx)cossin(2211Cxxcottan但是但是dxex2Cex2解决方法解决方法 利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.问题的提出Cedxexx三、换元积分法三、换元积分法 dxxedxexx)2(2122xdex2212xxeCe22)(因为因为xu 2.2121212CeCeduexuu第一类换元法第一类换元法(凑微分法凑微分法)dxxxf)()(CxFdxxxf)()()()()(xuduuf注意注意 使用此公式的关键在于使用此公式的关键在于CxFxdxfdxxxf)()()()()(即将即将)()()()(xdxfdxxxf拼凑成定理定理3-13-1则有换元公式则有换元公式证明证明dxxuFxdF)()()(dxxxfdxxuf)()()()(CxFduufxu)()()(可导具有原函数设)(),()(xuuFuf解解dxxa221dxaxa222111.122dxxa例例3-9 3-9 求求axdaxa2111duua2111axu Caxaarctan1Cuaarctan1dxxtan例例3-10 3-10 求求解解dxxxdxxcossintanxxdcoscosxucosuduCu lnCx cosln对换元积分比较熟练以后对换元积分比较熟练以后,不必写出中间变量不必写出中间变量udxax例例3-11 3-11 求求解解)()(21axdaxdxaxCax23)(32dxxex 22例例3-12 3-12 求求解解)(2222xdedxxexx Cex2dxxxln例例3-13 3-13 求求解解dxxxdxxx1lnlndxxx)(lnlnCxxxd2)(ln21lnln.dxxa221例例3-14 3-14 求求解解dxxaxadxxa)(1122dxxaxaa)(1121)()(xaxadxaxada21Cxaxaa)ln(ln21Cxaxaaln21xxd2sin1sin同理可得同理可得Cxxxdx)cotln(csccsc.secxdx例例3-15 3-15 求求解解dxcos1dxxx2coscosxdxsecCxxsin1sin1ln21Cxx22sin1)sin1(ln21Cxx)tanln(secCxxcossin1ln21Cxx42sin2dxx22cos1dxx2sin解解)2(221(21xxdcoxdxdxx2sin例例3-16 3-16 求求dxx3sin例例3-17 3-17 求求xdxxdxxdxxcos)cos(sinsinsin2231解解CxxCxxcoscos31)cos31(cos33解法解法1xdxxcossin)(sinsinxxdCx2sin21xdxxcossin例例3-18 3-18 求求解法解法2xdxxcossin)(coscosxxdCx2cos21解法解法3xdx2sin21xdxxcossinCx2cos41凑微分常见的类型凑微分常见的类型1)()()(.1111nxdxfdxxxfnnnn)()(2)(.2xdxfdxxxf)(ln)(ln)(ln.3xdxfdxxxf)1()1()1(.42xdxfdxxxf)(sin)(sincos)(sin.5xdxfxdxxfxxxxdeefdxeef)()(.6xdxfxdxxftan)(tansec)(tan.72)(arctan)(arctan1)(arctan.82xdxfdxxxfduufdxxxf)()()(化为积分化为积分第一类换元法是通过变量替换第一类换元法是通过变量替换 将积分将积分)(xu 下面介绍的第二类换元法是通过变量换下面介绍的第二类换元法是通过变量换 将积分将积分)(txdtttfdxxf)()()(化为积分化为积分2第二类换元法第二类换元法dtttfdxxf)()()(定理定理3-23-2设设 单调、可导，且，假单调、可导，且，假设具有原函数设具有原函数 ，则有则有)(tx0)(t)()(ttf)(tG证明证明dxxfdxtttfdxdxdtdtdGtdG)()(1)()()(dtttfCtGdxxf)()()()(注意注意 使用此公式的关键在于通过变量替换使用此公式的关键在于通过变量替换 将将 换成一个容易求得的积分换成一个容易求得的积分 来计算来计算)(txdxxf)(dtttf)()(例例3-19 3-19 求求.11dxx解解 令令2tx tdtdx2dxx11dttt12dttt11)1(2tdtdt122Ctt)1ln(22Cxx)1ln(22 对被积函数中含有无理根式的积分，通过适当的变换去掉根式后再积分，也称根式代换.例例3-20 3-20 求求.)1(13dxxx解解 令令6tx dttdx56dxxx)1(13dtttt)1(6235dttt2216dttt2216dttt221116dttdt21166Ctt)arctan(6Cxx)arctan(666 若被积函数中含有 时,可采用三角替换的方法化去根式,这种方法称为三角代换.2222ax、xa三角代换常有下列规律三角代换常有下列规律22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax tdtatadxxacoscos22解解 设设tdtadxcos 22,sin ttaxtataaxacossin22222dttatdta221222coscosCttatacossin2222Cxaxaxa22221arcsin2).0(22adxxa例例3-21 3-21 求求t22xa xadxax221tdtata2secsec1tdtsec1)tanln(secCtttax22ax 122lnCaaxax解解 令令taxtantdtadx2sec 2,2t).0(122 adxax例例3-22 3-22 求求Caxx)ln(22)ln(1aCC解解 令令taxsec 2,0ttdttadxtansecdxax221dttattatantansectdtsec1tanseclnCtttax22ax 122lnCaaxax).0(122 adxax例例3-23 3-23 求求Caxx22ln)ln(1aCC注注 倒数代换倒数代换 也是常用的代换之一也是常用的代换之一 ux1ux1duudx21解解 令令例例3-24 3-24 求求dxxx112duuuu2211111dxxx112Cuuduarccos12Cx1arccos考虑积分考虑积分?cosxdxx解决思路解决思路利用分部积分法利用分部积分法 四、分部积分法四、分部积分法 定理定理3-33-3设设函函数数)(xuu 和和)(xvv 具具有有连连续续导导数数,则则有有 duvuvudv证明证明vuvuuv由导数公式由导数公式,vuuvvu即即两边求不定积分两边求不定积分dxuvdxuvdxvu)(分部积分公式分部积分公式duvuvudv所以所以dvxdxdxsincosxdxxcosxxd sinxdxxxsinsincxxxcossin解解 令令,xu xvsin如果令如果令,cos xu dvdxxdx221xdxxcosxdxxxxsin2cos222显然，显然，选择不当，积分更难进行选择不当，积分更难进行.dvu,.cosxdxx例例3-25 3-25 求求更复杂了更复杂了!.21容容易易积积出出要要比比）（要要容容易易求求得得；）（udvvduv 选择注意以下两点选择注意以下两点 若被积函数是幂函数和指数函数或三角函数的乘若被积函数是幂函数和指数函数或三角函数的乘积积,设幂函数为设幂函数为 .u例例3-26 3-26 求求.dxxexdxxexdxexexx解解,xu 设设dvdedxexx,xev Cexexxdvu,解解dxexx222dxeexxxCexeexxxx)(22)(22dxexeexxxxdxxeexxx22xxdexex22dxexx2例例3-27 3-27 求求例例3-28 3-28 求求xdxxln解解xdxxlnxdxxx21ln2122ln21xdxCxxx2241ln21解解 令令,arctan xu dvxdxdx22xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxxdxxxxx222112arctan2xxarctan22Cxxxx)arctan(21arctan22dxx)111(212.arctanxdxx例例3-29 3-29 求求 若被积函数是幂函数和对数函数或反三角函数的若被积函数是幂函数和对数函数或反三角函数的乘积，设对数函数或反三角函数为乘积，设对数函数或反三角函数为 .uxdxexexxcossinxxxdexecossin)coscos(sinxdexexexxxxdxexxexxsin)cos(sin解解xdxexsinxxdesin)(sinsinxdexexxxdxexsinCxxex)cos(sin2.sinxdxex例例3-30 3-30 求求 若被积函数是指数函数与三角函数乘积时若被积函数是指数函数与三角函数乘积时,二者皆可二者皆可作为作为 ,但作为但作为 的函数的类型不变的函数的类型不变.uu.lndxxx例例3-31 3-31 求求ududxxxln2ln)ln(2duuuCuu)1(ln2Cxx)1(ln2解解 设设 ,那那么么xu ududx201110111)()(bxbxbxbaxaxaxaxQxPmmmmnnnn有理函数有理函数 两个多项式的商表示的函数两个多项式的商表示的函数.五、有理函数的积分五、有理函数的积分其中其中 、都是非负整数；都是非负整数；及及 都是实数都是实数,并且并且 ，.m nnaaa,10mbbb,100na0mb假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn 这有理函数是真分式；这有理函数是真分式；,)2(mn 这有理函数是假分式这有理函数是假分式.例例11323xxx1122xxx注意注意 (1)(1)利用多项式除法利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和一个真分式之和.kaxA)(2)(2)在实数范围内真分式总可以为几个最简分式之和在实数范围内真分式总可以为几个最简分式之和.最简分式是下面两种形式的分式最简分式是下面两种形式的分式kqpxxNMx)(2042 qpk为正整数，其中其中 都是待定的常数都是待定的常数.qpaBA,axAaxAaxAkkk121)()(分母中若有因式分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为kax)(3)(3)有理函数化为部分分式之和的一般规有理函数化为部分分式之和的一般规律律分母中若有因式分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为kqpxx)(2 qpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk21222211)()(042qp其中其中,为待定的常数为待定的常数 .iiNM,),2,1(ki 其中其中 为待定的常数为待定的常数.kAAA,21 便于求积分必须把真分式化为部分分式之和便于求积分必须把真分式化为部分分式之和,同时同时要把上面的待定的常数确定要把上面的待定的常数确定,这种方法叫待定系数法这种方法叫待定系数法例例3-32 求求.65122dxxxx解解 设设65122xxx)3)(2(12xxx32xBxA下面确定系数下面确定系数A、方法方法1：去分母：去分母,两端同乘以两端同乘以 ,得得)3)(2(xx)32()()3()2(12BAxBAxBxAx比较两端比较两端 同次幂的系数同次幂的系数,得得x1322BABA65122xxx.3325xx解方程组解方程组,得得3,5BA方法方法2：在恒等式中：在恒等式中 ,)3()2(12xBxAx令令 ,得得 ;令令 ,得得 .3x2x5A3Bdxxxdxxxx)2335(65122Cxx2ln33ln5例例3-33 求求.)1(122dxxxx)1()1(122xCxBxxAx11)1(312xxx2)1(12xxx;3,1Bx令;1,0Ax令1225,2CCBAx令2)1(12xxx1)1(2xCxBxA解解 设设dxxxxdxxxx11)1(31)1(1222Cxxx1ln13ln)1)()1(7222xCBxxAxx11)1)(1(72222xCBxxAxxxx解解 设设例例3-34 求求.)1)(1(7222dxxxxxdxxxxdxxxxx15312)1)(1(72222Cxxxarctan5)1ln(231ln2215312)1)(1(72222xxxxxxx3251,2BCBAx得令;5,7,0CCAx所以得令;2,1Ax得令解解 例例3-35 求求.136222dxxxx 分析分析:被积函数的分母被积函数的分母 在实数范围内不能在实数范围内不能因式分解因式分解,可用凑微分法求解可用凑微分法求解.1362 xxdxxxxdxxxx136462136222222222)3(4136)136(xdxdxxxxxdCxxx23arctan2)136ln(2 1原函数的概念不定积分的概念不定积原函数的概念不定积分的概念不定积分的性质基本积分公式分的性质基本积分公式主要内容主要内容2两类换元法两类换元法3分部积分法分部积分法 （1）若被积函数是幂函数和指数函数或三角函数若被积函数是幂函数和指数函数或三角函数的乘积的乘积,设幂函数为设幂函数为 .u (2)若被积函数是幂函数和对数函数或反三角函数若被积函数是幂函数和对数函数或反三角函数的乘积，设对数函数或反三角函数为的乘积，设对数函数或反三角函数为 .u (3)若被积函数是指数函数与三角函数乘积时若被积函数是指数函数与三角函数乘积时,二者二者皆可作为皆可作为 ,但作为但作为 的函数的类型不变的函数的类型不变.uu
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