专题资料（2021-2022年）323为新开发的商用飞机预测价格问题

西安邮电学院第五届大学生数学建模竞赛参赛作品 参赛队编号： 323 赛题类型代码： A 为新开发的商用飞机预测价格问题摘要：本文讨论了如何建立数学模型来分析新开发飞机的市场潜力与价格等问题。运用层次分析法，以飞机的市场潜力为目标层，以飞机的本身性能结合运营成本做准则层，以确定方案做决策层，建立了一种定性与定量相结合的，系统化、层次化的分析方法。并且运用Metlab求出矩阵的相关量值，评估了国产大飞机C919的市场潜力；同时运用多元线性回归建立数学模型，将影响商用飞机价格的因素及其价格作为参数，将国内外各型号飞机的参数进行线性回归处理，从而得到一个合理的飞机价格评估系统。然后运用建立的模型就可以预测其他的同类飞机价格。关键词：层次分析法、多元线性回归、 飞机性能参数一、问题的重述11背景知识“让中国的大飞机飞上蓝天，既是国家的意志，也是全国人民的意志。我们一定要把这件事情做成功，实现几代人的梦想。”在一次大型飞机研制重大专项工作有关会议上，温家宝总理告诉所有在场的人。 “一要坚定信心和决心，克服一切艰难险阻，不干则已，干就干好，干就干成。”国务院副总理张德江在成立大会上也首先提出了这一要求。一种型号民用客机往往要销售300400架才能达到盈亏平衡点，所以发展大型民用客机必须要依靠政府直接和间接的投入。世界各国政府都给航空工业以各种优惠，我国航空工业在资金的积累以及集资还贷的能力上还远不能和西方公司相比，更需要政府以战略的眼光，加大投入和支持的力度。 此外，还有专家表示，未来中国的大飞机可能会遭到竞争对手低价倾销的冲击，操纵国际航空组织制定种种阻挠中国大飞机进入国际市场的“规则”，以及以合作研发为诱饵的蓄意误导，等等。而要有效应对所有这些障碍，都离不开国家意志的坚定支持。12基本信息近日，中国商用飞机公司销售经理陈进接受中国官方China Daily采访时说:“国产大飞机与同类机型相比具有非常明显的竞争优势。”他说，在燃油消耗方面中国C919将比目前所有机型减少12-15%。最具有杀伤力的是中国大飞机上市时定价将会非常便宜，会大大低于波音和空客同类产品的定价。他透露说，C919上市时定价会低于5000万美元/架！ 在放手开发研制一种新飞机时，除了技术细节外，还有很多经济问题需要回答。其中最重要的是飞机制造商需要知道他的原始投资是否能够收回来，多久才能收回来。这就要预测一下飞机的上市价格和市场前景。波音747有600万的零部件，而它的价格绝不是600万零部件的综合！毕竟对于飞机这样庞然大物的高科技商品，高投入，也高风险，周期还长，其销售价格除了和制造商的制造成本、航空公司的运营成本有关外，还和同类型飞机的市场前景、竞争格局等其它因素有关。而飞机的技术数据往往能够一定程度上反映其中的一些因素。13需要解决的问题（1）假如你是中国商用飞机公司销售经理，请你对比同类客机B737-800，以航空公司的角度，结合飞机运营成本，评估一下国产大飞机C919未来的市场潜力； （2）假如你是飞机制造商，请你建立一合理的数学模型为将新开发的商用飞机预测一个较合理的价格，并结合你的模型对C919的价格进行预测； （3）以你所建立的模型，结合相关数据，计算当前A380-800和B737-800两种商用飞机的价格，并说明所建价格预测模型的优缺点；二、问题分析与名词解释2.1问题的初步分析要预测一个新开发商用飞机的市场前景必须分析影响飞机市场潜力的各个因素，包括和其他同类型的飞机性能参数的比较、飞机的固定成本和可变成本等等因素，考虑到是从定性分析和定量分析结合起来给出一个决策问题的定量结果，故建立数学模型，运用层次分析法。要预测一个新开发商用飞机的价格，要考虑决定或影响飞机价格的性能参数及各个指标，于是我们可以用已知的同类飞机的价格及各类指标为源数据，运用多元线性回归建立一个合理的数学模型，进而解决问题。运用建立的数学模型即可预测同类其他飞机的价格。2.2思路流程图问题一评估市场潜力 影响因素 做出决策运营成本运用层次分析法维护费用飞机售价能源消耗飞机性能而过问题二和问题三飞机价格预测 影响因素多元线性回归，得出模型运用模型计算飞机价格其他同类机型最大载客量、空重、最大负载量等2.3名词解释1.层次分析法（The Analytic Hierarchy Process，AHP）是美国著名运筹学家萨迪（Salty）教授于20世纪70年代初期提出的，是一种对非定量事件进行定量分析的有效方法。其基本原理是把复杂系统分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性和定量的分析和决策。层次分析法把人的决策思维过程层次化、数量化、模型化，并用数学手段为其分析、决策提供定量的依据。特别是在目标因素结构复杂且缺少必要的数据情况下，需要将决策者的经验判断定量化时，该方法非常实用。层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。它把复杂问题分解成组成因素，并按支配关系形成层次结构，然后用两两比较的方法确定决策方案的相对重要性。2.多元线性回归现实中，某一现象的变动常受多种现象变动的影响，右这种场合，仅仅考虑单个变量是不够的，这就产生了测定多因素之间相关关系的问题。研究在线性相关条件下，两个或两个以上自变量对一个因变量的数量变化关系，称为多元线性回归分析，它是一元线性回归模型的扩展，其基本原理与一元线性回归模型相类似，只是在计算上比较繁琐。3.飞机性能参数飞机的性能包含很多方面，在这里我们将参数定为10个，分别是：定价、融租每月租金、纯租每月租金、最大载客、最大载货、空重、最大滑行重量、最大起飞重量、最大着陆重量、最大空重。三、模型假设与基本符号说明模型一 运用层次分析模型解决飞机市场潜力问题假设 目标层为飞机市场潜力，准则层为飞机的本身性能结合运营成本，决策层为确定机型方案。假设数据的可靠性及赋权的合理性 ，进行计算。模型二 运用多元线性回归模型解决飞机价格假设数据来源地相对准确性和可靠性，同时参数确定较合理，对问题进行分析预测。符号说明：C1,C2,C3,C4,C5标准层O目标 P1,P2方案 W，W1,W2,W3,W4,W5所对应权向量CI不一致程度的指标 max矩阵的最大特征值 CR随机一致性比率 A判断矩阵飞机参数影响因素:y飞机定价（万美元）x1最大载客(人)x2最大载货（磅）x3最大起飞重量（磅）x4最大空重（磅）x5最大着落重量（磅）x6最大航程（千米）x7最大使用高度（米）【注：飞行高度】四、模型准备 4.1基本知识1）层次分析法概念 层次分析法（The analytic hierarchy process）简称AHP，在20世纪70年代中期由美国运筹学家T.L.Saaty正式提出。它是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。 2)层次分析法的基本步骤 建立层次结构模型。在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。最上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有一个或几个层次，通常为准则或指标层。当准则过多时(譬如多于9个)应进一步分解出子准则层。 构造成对比较阵。从层次结构模型的第2层开始，对于从属于(或影响)上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和19比较尺度构追成对比较阵，直到最下层。 计算权向量并做一致性检验。对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量(归一化后)即为权向量：若不通过，需重新构追成对比较阵。 计算组合权向量并做组合一致性检验。计算最下层对目标的组合权向量，并根据公式做组合一致性检验，若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较3)建立层次结构模型 将问题包含的因素分层：最高层（解决问题的目的）；中间层（实现总目标而采取的各种措施、必须考虑的准则等。也可称策略层、约束层、准则层等）；最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。把各种所要考虑的因素放在适当的层次内。用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。 4)作一致性检验 从理论上分析得到：如果A是完全一致的成对比较矩阵，应该有 aijajk = aik 但实际上在构造成对比较矩阵时要求满足上述众多等式是不可能的。因此退而要求成对比较矩阵有一定的一致性，即可以允许成对比较矩阵存在一定程度的不一致性。 由分析可知，对完全一致的成对比较矩阵，其绝对值最大的特征值等于该矩阵的维数。对成对比较矩阵 的一致性要求，转化为要求： 的绝对值最大的特征值和该矩阵的维数相差不大。 检验成对比较矩阵 A 一致性的步骤如下： 计算衡量一个成对比矩阵 A （n1 阶方阵）不一致程度的指标CI： 其中max是矩阵 A 的最大特征值。 注解 从有关资料查出检验成对比较矩阵 A 一致性的标准RI：RI称为平均随机一致性指标，它只与矩阵阶数 有关。 按下面公式计算成对比较阵 A 的随机一致性比率 CR： 。 N（阶数）1234567891011Ri000.580.91.121.241.321.411.451.491.51上表为部分RI值判断方法如下： 当CR0.1时，判定成对比较阵 A 具有满意的一致性，或其不一致程度是可以接受的；否则就调整成对比较矩阵 A，直到达到满意的一致性为止。 在实践中，可采用下述方法计算对成对比较阵A=(a_ij)的最大特征值max(A)和相应特征向量的近似值。 定义 ， 可以近似地看作A的对应于最大特征值的特征向量。 计算 可以近似看作A的最大特征值。实践中可以由来判断矩阵A的一致性。 层次总排序及决策 层次分析法应用的程序 运用AHP法进行决策时，需要经历以下4个步骤： 1、建立系统的递阶层次结构； 2、构造两两比较判断矩阵；（正互反矩阵） 3、针对某一个标准，计算各备选元素的权重； 4、计算当前一层元素关于总目标的排序权重。 5、进行一致性检验。 应用层次分析法的注意事项 如果所选的要素不合理，其含义混淆不清，或要素间的关系不正确，都会降低AHP法的结果质量，甚至导致AHP法决策失败。 为保证递阶层次结构的合理性，需把握以下原则： 1、分解简化问题时把握主要因素，不漏不多； 2、注意相比较元素之间的强度关系，相差太悬殊的要素不能在同一层次比较。 关于判断矩阵权重计算的方法有两种，即几何平均法（根法）和规范列平均法（法）。 （1）几何平均法（根法） 计算判断矩阵A各行各个元素mi的乘积； 计算mi的n次方根； 对向量进行归一化处理； 该向量即为所求权重向量。 （2）规范列平均法（和法） 计算判断矩阵A各行各个元素mi的和； 将A的各行元素的和进行归一化； 该向量即为所求权重向量。 计算矩阵A的最大特征值?max 对于任意的i=1,2,n, 式中为向量AW的第i个元素 （4）一致性检验 构造好判断矩阵后，需要根据判断矩阵计算针对某一准则层各元素的相对权重，并进行一致性检验。虽然在构造判断矩阵A时并不要求判断具有一致性，但判断偏离一致性过大也是不允许的。因此需要对判断矩阵A进行一致性五、模型的建立与求解5.2问题一的解答 评价飞机的市场前景就是要看此飞机所能带给航空公司的收益。飞机所能创造的收益越多，市场前景愈好。经过各个方向的查询，我们给出了几个影响的重要因素。飞机运营成本（不含油耗），飞机维护费用，飞机售价，能源消耗，飞机性能。本题要对比B737-800与国产C919分析C919的市场潜力。由于两种飞机引起的以上各种因素有差异。所以根据实际情况可以建立层次分析模型对c919的市场潜力经行评估。5.2.1模型的建立运用层次分析法解决问题，大体可分4个步骤：（1）建立问题的层次结构；（2）建立两两比较判断矩阵；（3）由判断矩阵计算被比较元素相对权重；（4）计算各层元素的组合权重利用层次分析法进行研究，关键是建立层次分析结构模型，即指标体系。整个市场前景系统可以看作是由飞机运营成本（不含油耗）（C1），飞机维护费用（C2），飞机售价（C3），能源消耗（C4），飞机性能（C5）几个有机素所组成的有机系统。而飞机运营成本（不含油耗），飞机维护费用，飞机售价，能源消耗，飞机性能着五个每个又可以看做是由C919（P1）和B737-800（P2）组成的系统。所以将市场前景（O）作为目标层，将C1,C2,C3,C4,C5作为标准层，将P1,P2作为方案层，得到如下层次分析法模型。市场前景（收益）O运营成本（无油耗）C1维护费用(C2)飞机售价(C3)能源消耗C4飞机性能C5C919(P1)B737-800（层次分析模型）5.2.2模型的算法的确定经过各种途道的查询，得知两种飞机的各种参数，经过分析对比，给方案层赋予对于每一个目标层的重要性参数。我们的到如下几个矩阵：C1P1P2W1权向量P1130.750 P2 1/310.250 P1,P2C1C2P1P2W2权向量P1120.667P2 1/210.333P1,P2C2C3P1P2W3权向量P11 1/70.125P2710.875P1,P2C3C4P1P2W4权向量P11 1/50.167P2510.833P1,P2C4C5P1P2W5权向量P1130.750 P2 1/310.250 P1,P2C根据上文给出的做一致性检验的方法。其最大特征根（max）都为2，且对以上二阶矩阵做一致性检验，得出以上五个矩阵符合一致性检验。在计算出其权值。已附于上表中。经过多途径的查询以及C1,C2,C3,C4,C5对航空公司的重要性及航空公司的支出比例.将标准层对目标层赋予较为合理的重要性参数。写出判断矩阵如下：OC1C2C3C4C5W 权向量C11 1/24330.263 C2217550.475 C3 1/4 1/71 1/2 1/30.055 C4 1/3 1/52110.090 C5 1/3 1/53110.110 一致性检验 判断一致性比例:0016070.1, 通过一致性检验经过上面已给公式用MATLAB计算，得出最大特征向量（max）=5.073。计算出权向量各値.定义权向量W1 为 (0.750,0.250)的转置W2 为 （0.667,0.333）的转置W3 为 （0.125,0.875）的转置 W4 为 （0.167,0.833）的转置W5 为 （0.75,0.250）的转置 W 为 （0.263,0.475,0.055,0.090，0.110）的转置定义 A=（W1,W2,W3,W4,W5） B=W。用A*B计算出组合权向量：上图是运用数学软件计算截面。得出了方案层对目标层的组合权向量（0.6185,0.3745）结论：通过对层次分析模型的分析计算的出方案层对目标层的组合权重。结果可以得出国产C919的性价比较B737800略高。通过对B737-800的销售情况可以预测国产C919的市场潜力较大，较同类型的飞机有着一定的竞争力。5.3问题二的解答5.3.1 模型的建立 运用多元线性回归解决问题，飞机的价格为因变量，以影响价格的各方面因素为自变量建立多元线性回归模型为：表示截距，表示在其它自变量保持不变的情况下，自变量变动一个单位所引起的因变量Y平均变动的数额，成为偏回归系数。1）根据搜集到的飞机参数数据，得出如下Excel表格数据来源于 虚拟运营网 2）由于数据的不完整性，筛选后的数据为下：3）用spss软件进行数据分析：4）录入数据，选择分析回归线性，选择自变量和因变量所在列，进行数据处理，处理结果如下：REGRESSION /MISSING LISTWISE /STATISTICS COEFF OUTS R ANOVA /CRITERIA=PIN(.05) POUT(.10) /NOORIGIN /DEPENDENT VAR00001 /METHOD=ENTER VAR00002 VAR00003 VAR00004 VAR00005 VAR00006 VAR00007 VAR00009.回归数据集0 输入移去的变量模型输入的变量移去的变量方法1VAR00009, VAR00002, VAR00007, VAR00003, VAR00006, VAR00005a.输入a. 已达到容差 = .000 限制。模型汇总模型RR 方调整 R 方标准 估计的误差11.000a.999.995260.07936a. 预测变量: (常量), VAR00009, VAR00002, VAR00007, VAR00003, VAR00006, VAR00005。Anovab模型平方和df均方FSig.1回归9.615E761.603E7236.918.050a残差67641.272167641.272总计9.622E77a. 预测变量: (常量), VAR00009, VAR00002, VAR00007, VAR00003, VAR00006, VAR00005。b. 因变量: VAR00001系数a模型非标准化系数标准系数tSig.B标准 误差试用版1(常量)1246.5041607.297.776.580VAR0000217.03510.511.3341.621.352VAR00003-.007.035-.013-.198.876VAR00005.057.0312.2281.859.314VAR00006-.032.023-1.285-1.378.400VAR00007-.333.189-.324-1.764.328VAR00009.115.121.046.947.517a. 因变量: VAR00001已排除的变量b模型Beta IntSig.偏相关共线性统计量容差1VAR000045.747a.1.0002.129E-5a. 模型中的预测变量: (常量), VAR00009, VAR00002, VAR00007, VAR00003, VAR00006, VAR00005。b. 因变量: VAR000015）得出自变量系数分别为：=1246.504 1=17.0352=-0.007 3排除 4=0.057 5=-0.032 6=-0.333 7=0.115得公式：y = 1246.504 + 17.035x1 -0.007x2 + 0.057x4 - 0.032x5 - 0.333x6+0.115x76）将c919 机型参数带入：x1=168 x2=10094 x4=102000 x5=146827 x6=2500 x7=12100代入公式，得：y=5712.262（万美元）5.4问题三的解答根据以上建立的模型以及其他同类型飞机的有关参数，可以计算出飞机的价格：1)A380-800飞机的参数：x1=853 x2=200179.734 x4=617300 x5=623908.202 x6=15100 x7=13100代入公式y = 1246.504 + 17.035x1 -0.007x2 + 0.057x4 - 0.032x5 - 0.333x6+0.115x7得 y=26075.339（万美元）2)B737-800飞机的参数：x1=176 x2=10694 x4=136000 x5=144000 x6=3565 x7=12500代入公式y = 1246.504 + 17.035x1 -0.007x2 + 0.057x4 - 0.032x5 - 0.333x6+0.115x7得 y=7564.161 （万美元）六、模型检验 通过对问题二和问题三飞机价格的计算，得出的计算结果与附件中所给的价格进行对比，结果相差不大。所以认为模型有较好的稳定性，详见五、模型的建立与求解中的运算结果七、模型的改进1、运用层次分析时，增加标准层和方案层的影响因素。使市场潜力的评估更加具有说服力。2、加入人为因素的影响，例如人们的消费习惯、产品认可程度、航空公司的信誉度。八、模型的评价与推广5.1模型的评价模型的优点：模型稳定性较强，使结果接近实际值。 进行价格预测时，考虑比较全面，使模型可靠。运用metlab软件对层次分析法的矩阵进行运算，运用spss软件对多元线性回归进行运算，结果为最精确的优化解。模型的不足：在进行层次分析法赋权时，主观因素较多，不够专业。由于国产大飞机c919对外公布的参数不够全面，使对其价格预测时不够精确。5.2模型的推广 由于飞机是典型的耐用品，所以该数学模型的建模方法也可以推广到其他耐用品的市场分析及价格预测中去，如火车、轮船、空调等。九、参考文献1 姜启源，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，20032 石辛民，基于的实用数值计算，北京：清华大学出版社，20063 赵小军， SPSS数据分析：问题提出与实力导学；中国水利电出版社，20094http:/www.china- 访问时间2010-05-01-18：005 访问时间2010-05-01-18：0017