偏导数与全微分9课件

2.7 2.7 偏导数与全微分偏导数与全微分让我们先回放一下关于二元函数的定义及有关于二元让我们先回放一下关于二元函数的定义及有关于二元函数的一些简单知识：函数的一些简单知识：一、二元函数的概念一、二元函数的概念1.二元函数的定义二元函数的定义设有三个变量设有三个变量 x,y 和和 z,如果当变量如果当变量 x,y 在一定范围内任意取定一对数值时在一定范围内任意取定一对数值时.变量变量 z 按按照一定的规律照一定的规律 f,总有确定的数值与它们对应，总有确定的数值与它们对应，则则称称 z 是是 x,y 的二元函数，的二元函数，记为记为 定义定义 1,),(yxfz *自变量自变量 x、y 的取值范围称为的取值范围称为函数的定义域函数的定义域.其中其中 x,y 称为自变量称为自变量，z 称为因变量称为因变量二元函数在点二元函数在点(x0,y0)所取得的函数值记为所取得的函数值记为).,(,00),(0000yxfzzyxyyxx或或 二元函数的定义域有时是由一条或几条曲线二元函数的定义域有时是由一条或几条曲线所围成的区域，用所围成的区域，用 D 表示表示.2.二元函数的定义域二元函数的定义域围成区域的曲线称为围成区域的曲线称为区域的边界，不包括边界的区域称为开区域区域的边界，不包括边界的区域称为开区域.连连同边界在内的区域称闭区域，同边界在内的区域称闭区域，如果一个区域可以如果一个区域可以被包含在一个以原点为圆心，适当长为半径圆内，被包含在一个以原点为圆心，适当长为半径圆内，则称此区域为有界区域则称此区域为有界区域.关于二元函数定义可以由下列图形结合理解:(,),(,),zf x yx yDD是函数的定义域.二元函数的图形是空间的曲面S,二元函数的定义域是xoy面上的点集xzyoDS例：求下列函数的定义域，并画出区域：例：求下列函数的定义域，并画出区域：2(1)(,)ln(21)zf x yyxln()(2)(,)xyzf x yxyxyo221yxyxy xyo常用到的一些平面区域常用到的一些平面区域:abcdx:axbDcyd D(矩形区域)y kx by kx by kx b(半平面区域)abxy:axbDy(带形区域)22200()()x xy yr(圆域)222200()()rx xy yR(圆环域圆环域)yx2yxD（两曲线所围区域两曲线所围区域）201:xDxyx201:yDyxy=称为称为函数函数 z 对对 x 的的偏增量偏增量，2.7 偏导数和全微分偏导数和全微分偏导数的定义偏导数的定义定义定义，内内有有定定义义在在设设函函数数),(),(000 xxxyyyxfz则增量则增量),(),(0 00 00 00 0-yxfyxxf 记为记为 xz，如果当如果当 时时，0 x比值比值 的极限存在的极限存在，xzx 即即.),(),(0000yxfyxxfzx ,)(0 00 00 0 xxxx则称此极限值则称此极限值 为函数为函数 z=f(x,y)在点在点(x0,y0)处处对对 x 的偏导数的偏导数，记作记作,00yyxxxz ,00yyxxfx ,00yyxxxz ,),(00yxfx 或或即即),(00yxfx xzxx 0lim.),(),(lim00000 xyxfyxxfx 同样，同样，z=f(x,y)在点在点(x0,y0)处对处对 y 的偏导的偏导数定义为数定义为.),(),(limlim000000yyxfyyxfyzyyy -记作记作,00yyxxyz ,00yyxxfy 00yyxxyz 或或),(00yxfy 其中其中 称为称为函数函数 z 对对 y 的偏增量的偏增量.),(),(0000yxfyyxfzy 如果如果 f(x,y)在区域在区域 D 内每一点内每一点(x,y)处对处对 x 的的偏导数都存在，偏导数都存在，那么这个偏导数是那么这个偏导数是 x,y 的函数，的函数，此函此函数称为函数数称为函数 z=f(x,y)对自变量对自变量 x 的偏导函数，的偏导函数，记作记作,xz ),(yxfx xz).,(yxfx 或或 可以定义函数可以定义函数 z=f(x,y)对自变量对自变量 y 的偏导的偏导 函数，函数，类似地，类似地，记作记作,yz ),(yxfy yz).,(yxfy 或或在不致混淆的情况下，在不致混淆的情况下，偏导函数也称偏导数偏导函数也称偏导数.2.偏导数的求法偏导数的求法求 对自变量 (或 )的偏导数时,只须将另一自变量 (或 )看作常数,直接利用一元函数求导公式和四则运算法则进行计算.),(yxfz xyyx例例1 1 设函数设函数324(,)23,f x yxx yy求求(,),xfx y(,),yfx y(1,1),xf(1,1),yf解：解：xyxyyxxyxfxx43)32(),(242332423122)32(),(yxyyxxyxfyy111413)1,1(2xf14)1(1212)1,1(32yf例例2 2 设函数设函数 求),ln()(2222yxyxzxzyz解：解：xxyxyxyxyxxz)ln()ln()(222222222222222212 ln()()()xxxyxyxyxy222 ln()2xxyx222 ln()1xxy类似可得类似可得2222222)()ln(2yxyyxyxyyz222 ln()1yxy定义定义2.8 二阶偏导数二阶偏导数函数函数 z=f(x,y)的两个偏导数的两个偏导数),(yxfxzx ),(yxfyzy 一般说来仍然是一般说来仍然是 x,y 的函数，的函数，如果这两个函数关于如果这两个函数关于 x,y 的偏导数也存在，的偏导数也存在，则称它们的偏导数是则称它们的偏导数是 f(x,y)的二阶偏导数的二阶偏导数.依照对变量的不同求导次序，依照对变量的不同求导次序，二阶偏导数有四二阶偏导数有四个：（用符号表示如下）个：（用符号表示如下）xzxxzx22xz ),(yxfxx ;xxz xzyxzyyxz 2),(yxfxy ;xyz yzxyzxxyz 2),(yxfyx ;yxz yzyyzy22yz ),(yxfyy .yyz 其中其中 及及 称为二阶混合偏导数称为二阶混合偏导数.),(yxfxy ),(yxfyx 类似的，可以定义三阶、四阶、类似的，可以定义三阶、四阶、n 阶偏导数，阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，),(,),(yxfyyxfx而称为函数称为函数 f(x,y)的一阶偏导数的一阶偏导数.注：当两个二阶导数连续时，它们是相等的注：当两个二阶导数连续时，它们是相等的 即即 ),(yxfxy (,)yxfx y例例 3,arctanxyz 设设试求试求yxz 2xyz 2，.解解2211xyxyxz ,22yxy xxyyz1112 ,22yxx 222yxyyyxz22222)()20()()()1(yxyyyx ,)(22222yxxy 222yxxxxyz22222)()02()(1yxxxyx ,)(22222yxxy .22xyzyxz 验证了验证了请同学们自己计算：请同学们自己计算：,xxz ,yyz ;)(2222yxxyzxx;)(2222yxxyzyy 2.7.2 2.7.2 全微分全微分与一元函数的微分 类似,具备一定条件的二 元函数的全增量 也有相应地简单近似公式,即全微分，dxxfxdf)()(),(),(0000yxfyyxxfz记为：记为：dz，即即dz这时，这时，也称函数也称函数 z=f(x,y)在点在点(x0,y0)处处可微可微.定义定义 如果二元函数如果二元函数 z=f(x,y)在点在点(x0,y0)处处的两个偏导数存在且连续，称的两个偏导数存在且连续，称 为函数为函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)的的全微分全微分，可以可以 zzxyxy zzxyxy 如果函数如果函数 z=f(x,y)在区域在区域 D 内每一点都可内每一点都可微，微，则称函数则称函数 z=f(x,y)在区域在区域 D 内可微内可微.一般地,记 ,则 的全微分可写成 dyydxx,),(yxfz dzdyyzdxxz例例 1求函数求函数 在点在点(2,1)处当处当 xyz 0.01,x 0.01y 时的全增量与全微分时的全增量与全微分.解解 全增量全增量1 0.0110.00248.20.012yyyzxxx 因为因为），（12xz )1,2(2xy 41 ,25.0 所以全微分所以全微分yyzxxzz )1,2()1,2(d0.25 0.01 0.5 0.01 0.00250.)1,2(yz )1,2(1x.5.021 关于关于2.7.3 2.7.3 二元复合函数的微分法二元复合函数的微分法2.7.4 2.7.4 二元函数的无条件极值二元函数的无条件极值同学们可以自己有兴趣阅读，本课不再作要求同学们可以自己有兴趣阅读，本课不再作要求