整式与分式

整式与分式整式与多项式运算整数加减法：合并同类项整式乘法：分配律与合并同类项1常用的多项式乘法公式：1)完全平方公式(a? b)2 a2? 2ab b2 (可得出a2 + b2 ? 2ab，当且仅当a= b时取等号)2) 平方差 a2- b2 = (a- b)(a+ b)3) 立方和(差)a3? b3 (a?b)(a2mab b2)2因式分解：十字相乘、添项、拆项、分组、利用公式1) .每个次数_1的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式之积.2) .每一个次数_1的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解为一次因式与 二次不可约因式的乘积3) .设fanxn anJxnd |a1x a0是一个整系数多项式，而-是它的一个有s理根，其中r,s互素，那么必有san,r a0.特别地，如果f(x)的首项系数耳=1，那么f (x) 的有理根都是整根，而且是&的因子(任一非零有理系数多项式f(x)都可以表成一有理数r与一系数互素的整系数多项式g(x)的乘积.)3多项式除法：1) 带余除法定理：如果多项式g(x) =0,对任意多项式f(x)，一定存在q(x),r(x)，满足f (x)二 q(x)g(x) r(x),其中r(x)的次数小于g(x)的次数，或者r(x) = 0.(此时，称g(x) 整除f (x)q(x)称为商，r(x)称为余式，都是唯一的.2) 余数定理:g(x)=x-：时，f (x)=(x-： )q(x) f (:)，即 f (x)被(x-：)除余 数为 f (:)3) 根与一次因式的关系：是f(x)的根的充要条件是(x-)整除f(x)即(X-:)整除f (x)的充分必要条件是f (: ) =o例题 一多项式相等(对应系数相同)1 多项式 f(x) =X2 X1 与 g(x) =a(x 1)2 b(x 1)(x 1) c(x 一 1)2 相等11 1 1(1) a， b=1， c( 2) a， b=2， c =442解：g(xAa(x2 2x 1) b(x2 -1) c(x2 -2x 1)=a b c x (2a -2c)x a - b ca b c = 1I11要 f (x)= g(x)，必有 2 a - c; =1 ,所以 b =1,a ,c .选择 A44a b c 1两个多项式相等，是指两个多项式函数取任何值都相等 所以有该题的解法二：f (x) =x2 x -1 =a(x 1)2 b(x-1)(x 1) c(x-1)2 = g(x)分别将 x =1,x = 1,x =0 代入，有 4a =1,4c = 1,a b c = 1，所以 b =1,a=1,c = -l.4432. 如果多项式f (x)二 x3 4 5 px2 qx 6有一次因式x 1,A-，那么另外一个一次因式是()A. x - 2 B. x 2 C. x - 4 D. x 4 E. x 1解：f (x) = x3px2 qx 6 = (x 1)(x -2)(x-a)将x =0代入，则有1 ()(-a) =6,a = 4.所以另外一个一次因式为x-4.22 23. ax bx 1与3x -4x 5的积不含x的一次方项和三次方项.34(1) a:b =3: 4(2) ab 二55解：ax2 bx 1 3x2-4x，5的一次方项系数为5b - 4，三次项系数为3b -4a由(1)只能得到ax2 bx 1 3x2-4x，5的三次项系数为3b-4a = 0由(2)有一次方项系数为5b4=0,三次项系数为3b 4a=0.选择B二因式分解1. x3- 7x+ 6解：x3- 7x+ 6= X3- x- 6x+ 6= x(x- 1)(x+ 1)- 6(x- 1)=(x- 1)(x6 + x- 6)= (x- 1)(x+ 3)(x- 2)2. x3 - 3x2 + 432323解：x - 3x + 4=x-3x + 4=x - 2x - x + 422=x (x? 2)- (x- 2)(x+ 2)= (x- 2)(x - x- 2)= (x- 2)(x- 2)(x+ 1)三带余除法与多项式的整除除法转化为乘法是一种常用手段1.若多项式f(x)= x3 + m2x2 + mx- 1能被x+ 1整除，则实数m的值为多少?解：方法一 :f(x)= x3 + m2x2 + mx- 1能被x+ 1整除的充分必要条件是:所以f (- 1)=-1+ rn-2 m-1 = 2m m- 2=解得m =,-112mm1+-11- mm - m- 1方法21m2- 1 - m2 + m+ 1m2 m- 2f (x) = x3 + m2x2 + mx- 1 = (x+ 1)q(x)2 或 m =-1所以 f (x)= (x+ 1)轾 + (m - 1)x+ (-m2 + m+ 1)+ (m2- m- 2)f (x) = x3 + m2x2 + mx- 1 能被 x+ 1 整除，则 m2 x2 +(m2- 1)x + (- m2 + m+ 1)方法三 x+ 1 x3 + m2x2 + mx- 1m- 2 = 0，所以 m 二 2 或 m =(m2- 1)x2 + mx- 1(m2- 1 )x2 +(m2 - 1)x(-m2 + m+ 1)x- 132X + X(-m +2 m+ 1)x + (- m + m2 + 1)m6- m- 2 cf (x) = X3 + m2X2 + mx- 1 能被 x+ 1 整除，贝U m2 - m- 2 = 0 ,所以 m 二 2 或 m = - 1比较一下会发现方法一最简单，即将除法问题转化为乘法问题-2. f (x) = X3 + a7X2 + ax- 1 被 x+ 1 除余-2，求 a解：f (x) = x3 + a2x2 + ax- 1 被 x+ 1 除余-2，贝 U f (x) = x3 + a2x2 + ax- 1 = (x+ 1)q(x)- 2,2 2所以 f (- 1)= - 1 + a - a- 1 = a - a- 2= - 2，所以 a = 0 或 a = 13. 已知多项式f (x)除以x+ 2余1,除以x+ 3余-1，求f (x)除以(x+ 2)(x+ 3)所得的余 式解：设 f (x) = g(x) (x+ 2)(x+ 3)+ ax+ b由于 f (- 2) = - 2a + b = 1 ; f (- 3) = - 3a + b = - 1，解得 a= 2,b= 5所以余式为2x+ 54. ax3 -bx2 23x -6 能被 x -2 (x -3)整除(1) a =3,b - -16(2) a =3,b =16四二项式定理a b n 八 C：n an*bkk=0特别 an八，C： Anbk 中 a =1,b =1 即得 2n八 C： nk=Qk=0注意：a bn八C ： anbk中的第m项为CAa, m)bm k=e1. 若(1 +x ) (x式0)展开式的第4项与第6项的和等于第5项的2倍，求x解：(1+x )电迟c; xk,第4项与第6项的和为C； x3+c5x5 =2C： X4，k=071 得 2x 2 =5x, x 或 x = 22. x 2 io(xA2x)的展开式中xii项的系数、 io解：(x+2) (x_2x) =(x_2x)送 C10X10 上 2kk=Qh180-2 xii,系数为 178展开式中含xii项的为x3C1ox82A2xC1oxio2o3. ?x- a壬的展开式的第6项是-486 x4(1) a= 3,(2) a= - 3一6,6a4解：a圭的弟六项为C：大x选择D4. (1- ax)7的展开式中x3的系数与(ax- 1)6展开式中x2的系数相等23(1) a 二-一 ； (2) a =-77解：(1- ax)7的展开式中含x3的项为C73(- ax) = - 35a3x32(ax- 1)6 展开式中含 x2 的项为 C6(ax) (- 1)4 = 15a2x2当a = -3时(1- ax)7的展开式中x3的系数与(ax- 1)6展开式中x2的系数相等.选择B五代数式1. 有四个数，第一个数是a2b的值，第二个数比第一个数的2倍少a2,第三个 数是第一个数与第二个数的差的3倍，第四个数比第一个数多2b，若第一数是-2, 则这四个数的和为()A. -1 B. -2 C. -4 D. -6 E.七解：第一个数：a2b，第二个数：2 a2b -a022b，第三个数:3 a2 b - a2 2b = -3b，第四个数：a2 b 2b =a2 3b，且 a2 b - -2，则这四个数的和为3a2 3b =3(a2 b) = -6.所以选择D2.2分式运算21.x_；_2玄40的值为正整数的x值的总和为(x - 8能使分式-)2解：-ExZx-40 =为正整数，则 x- 2= -1,-2,- 5,-10，所以X3- 8x- 2x= 1,0,- 3,- 8，这些x值的总和为-10 齐次式的比值1.已知 4x- 3y- 6z = 0, x+ 2y- 7z = 0，A.1 B.0 C.-1 D.2 E.-22x+3y +饥2 22的值为(2 x + 5y + 7z-3A-6= 0解：由已知Z，解得丫= 2,兰二3z z2- 7= 0 z2x2 + 3y2 + 6z2-2x + 5y + 7z空、19+ 20+ 7A.1 B.0 C.-3 D.-10 E.-22. 已知x, y, z满足-二、=，贝U竺y的值为x yz z + xy+2zD. E.-1A. -1 B. C.3答案BQa2-b3-19a96匠 2(1)a,b是实数，1134且 a2 -2 +(a2-b2-1)2 =02 a,b是实数，且 一4 =1 a -2b4. 对于使有意义的一切x的值，这个分式为一个定值(B)bx +11(1) 7a -11b-0(2) 11a _7b =0分式化简i.已知AW，且a，b，C均非零，则冷+抄噜日+M十卜()A. -1 B.0 C. 1 D. -3 E.2解:ab1 b1 1112.已知x + = 4的3,求X4 +值解：！+1 *=9,y22+ =9X2xX4 + =47ba c .b . c-3b b c c a a一1骣x+”,桫19X28 成立(1)X+ J - 3;(2)x +X2 + 1x解：x4 + x2 + 1=81 +- *- x.所以选择D4.当x分别取值11，川I，圮川2007, 2008,20092008 20072009 寸，2代数式1 -x21 x2的值的和等于(A. -1 B. 1 C.0 D.2007E.20081-1解：1x.x. 1x211jx ,所以代数式1 1 x21 - X；中代入a和1的值是相 反数，所以当x分别取值2009 2008 2007,1,12,2 0 07, 2 008 眩 0 0 代数式21 _x2的值的和等于-x；中x代入1时的值，所以这些值的和为0.选择C5. 已知上 3,里ba b c x yA. -1 B.O C. 1 D.3 E. 9316. m 3/ 234 成3.立O0,则-2-2-26m-解:m=6m可得m3igim 2=-6m+即m-可得m3所以选择A分式方程:1.分式方程x- 4x2 + 2x= x2- 2x(1)a= 2,)a= 1解：-x*二 J x + 2x x - 2x X2土.(E1 = 0;(2) m2 + 6m- 1 =，如果(1)成立有m2 = 6m+ 1，即234;如果(2)成立有r m2+3=- 234-(x2- 4)- a(x2 - 2x) =(x2- 2x)(x2- 4)去分胃有&- 4)(x-2)=轾廿2)-ax = (1- a)x+ 2 ,当(1)a = 2;上式变为(x- 4)(x- 2)= 2- x, x= 2是该方程的根，且x= 2时(2)a = 1时上式变为x2- 2x,x2- 4都为0 ,所以原方程有增根x= 2 ;(x- 4)(x- 2)= 2, x= 2不是该方程的根.选择A.