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晨鸟教育第 8 单元 数学广角找次品本单元以“找次品”这一探索性操作活动为载体，让学生通过观察、猜测、试验等方式 探索解决问题的策略。同时，进一步理解随机事件，感受解决问题策略的多样性和优化思想， 培养观察、分析、逻辑推理的能力，并学习如何用直观的方式清晰、简洁、有条理地表示逻 辑推理过程。首先，教科书从最简单的问题（3 瓶钙片）入手，让学生讨论找次品的方法， 通过用天平直观演示，说明基本推理过程：如果天平平衡如果天平不平衡，引导学 生用直观方式记录找次品的思维过程，了解找次品的基本思路。在此基础上，从 8 个零件中找出 1 个次品（重一些），探索找次品的一般方法。教科书 通过“直观图”示例引导，启发学生将推理的过程用直观、简洁的方式表示出来，并通过问 题给出探索的线索，帮助学生找出称的次数最少的方法，进行归纳、验证，概括出找次品的 最优方法。本单元的教学重难点是理解并解决简单的“找次品”问题，充分经历“比较猜测 验证”的过程，归纳出“找次品”的最优策略，感知逻辑推理的数学思想方法。需要说 明的是，用天平找次品，并不是一定要通过天平称，而是利用天平平衡原理，通过逻辑推理 确定次品。学生在本单元学习之前很少接触“找次品”问题，没有相关的学习与生活经验，而教科 书中的“次品”与日常生活中提到的“次品”有所不同。本单元的次品是指从外表看完全相 同的物品，其中重一些或轻一些的那一个就是“次品”。所以首先要让学生理解什么是“次 品”。从知识层面上看，学生已经会进行初步的分析推理，能在观察、实验、猜想、验证等活 动中，进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果。但是学生是第一次接 触用“直观图”表示推理的过程，学起来还是有难度。1.让学生认真读题，充分理解“找次品”的意思，了解“正品”“次品”的含义。说理 时，引导学生尽量用规范的语言“如果天平平衡如果天平不平衡”来表述，并理解 这是两种情况。在此基础上，让学生把推导的过程用直观图或流程图辅以文字说明记录下来， 这一点尤其重要。2.让学生充分经历“比较猜测验证”的探究过程，理解找次品的最优策略。 “至少称几次能保证找出次品”是理解的难点，这里要让学生理解“能保证”是指每一种可 能的情况都要考虑，“至少”就是指在保证一定能找出次品的各种方法中称量次数最少的那 种方案。在找次品的过程中，允许学生借助直观学具推理；用直观图或流程图直接推理；口 头叙述。让学生多“说过程”，通过说体会到“尽可能将待测物品平均分成三份”的最优策Earlybird晨鸟教育略，培养逻辑推理能力。第 1 课时 找次品（1）教学内容教科书 P111112 例 1、例 2 及“做一做”，完成教科书 P113“练习二十七”中第 1 题。 教学目标1.初步理解找次品的含义，明确找次品的基本思路，探索找次品的一般方法。2.经历观察、猜测、试验、推理等活动，探索解决问题的策略，渗透优化思想，感受解 决问题策略的多样性，培养观察、分析、推理的能力。3.经历解决简单问题的过程，初步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。教学重点寻找用天平原理找次品的最优方案。教学难点经历找次品的过程，掌握找次品的方法，体验最优方案的原理。教学准备课件，3 瓶未拆封的钙片，每名学生 5 张扑克牌，记录单。教学过程一、创设现实情境，生成问题教师出示 3 瓶外观一样的钙片。师：同学们，看看我手上有什么？它们是一样的吗？【学情预设】从外观看，有的学生初步确定是一样的;也有的学生可能想到，仅仅从外 观看，还不能确定是否一样。师：看来同学们不仅会观察，还有批判性思维，真棒！师：我手中这 3 瓶钙片，看起来是一样的，但其实是有一瓶少了一些。生活中常常有一 些看似完全相同的物品中混着一个质量不同的物品（重一点或轻一点），需要想办法把它找 出来，我们把这类问题称为找次品问题。板书课题：找次品（1）【设计意图】利用学生熟悉的物品，通过外观一样而里面不一样，激发学生的思维，引 导学生用数学的眼光看问题。二、经历探究过程，领会找次品的基本思路1.认识天平。教师出示实物天平，认识天平。师：同学们，认识这个工具吗？你们会使用天平吗？如果天平平衡说明什么？教学笔记【教学提示】 可以让学生用双手演示天平，表演 重的一端向下。教师【学情预设】在此之前，学生已经接触过天平，认识了天平的组成部分。在这里教师应 喊“右边重”“左 重点引导学生理解，天平两边平衡说明两边的物体同样重，哪边的托盘向下，就说明那边的 边重”“一样重”物体稍重，反之则稍轻。2.从 3 瓶钙片中找次品，感悟找次品的基本思路。 课件出示教科书 P111 例 1。等口令，学生演示。Earlybird晨鸟教育教学笔记师：运用天平，怎样才能很快地找出哪一瓶是次品呢？谁来说说你的想法？师：大家觉得这种方法怎么样？还有别的方法吗？师：那要怎么称？称几次就能找出这瓶次品呢？师：谁明白他的意思？能上来再演示一下吗？学生上讲台边说边演示。师：你们的想法真好，因为天平有两个托盘，次品的位置只有两个托盘上和天平外三个地方，用天平称一次就能确定次品在什么位置，所以从三瓶钙片中找次品时平均分成三份，不仅天平左右两边的两瓶参与了比较，天平外的那瓶也参与了比较。【学情预设】此时学生可能会想到用手掂一掂、倒出来数一数等方法。面对这些方法，学生也可能会提出用手掂的话并不准确，而倒出来数又不卫生，如果学生未能想到这些，教师要引导学生分析这些方法的不合理性。师：你们还有别的方法吗？【学情预设】有的学生可能会说用有砝码的天平一个一个去称，2 次可找到，也有的学生可能会说用没砝码的天平来称，1 次可找到。【设计意图】让学生借助已有的生活经验去寻找找次品的方法，进而引出用天平称的方法，这样的设计既顺应了学生的思维，又调动了学生的积极性。（2）用直观的方式表达推理过程。师：同学们的推理过程很清晰，我们可以用直观图将这个过程表示出来。师：为了能清楚地表述，我们分别用数字卡片 1、2、3 代表这 3 瓶钙片。师：先把 1、2 放在天平的两边，会有几种情况呢？【学情预设】学生会说有两种情况，平衡或不平衡；也有学生可能会说，有三种情况：第一种平衡，第二种左边轻一些，第三种右边轻一些，此时教师引导学生归纳，不管哪边轻一些，都是不平衡。师：这两种情况，我们可以这样表示。板书： 【教学提示】师：如果平衡，能得到什么结论？如果不平衡，又能得到什么结论？学生小组内交流后派代表发言。结合学生的发言，教师完善板书：师：同桌之间互相说说这个推理过程。（3）梳理过程。课件边呈现推理过程，学生边跟着一起说。师：需要称几次才能找出次品？（称 1 次就可以找到次品。）【设计意图】由简单的数据开始，让学生经历分析推理的过程，并掌握基本的思路和表 达方法。3.自主探索从 5 瓶钙片中找出次品，理解“至少”“保证”的含义。（1）学生自主尝试。师：如果 5 瓶钙片中有一瓶是次品(次品轻一些)，用天平至少称几次能保证找到次品？从 3 瓶钙片中 找出一瓶次品，相对 比较简单，但其中的 推理和表示方法很 重要。所以一定要让 每位同学都说清楚 推理过程，掌握一定 的表达方法。Earlybird晨鸟教育请同学们独立思考，用手中的扑克牌摆一摆，并将找次品的过程清楚地表示出来。完成 的同学同桌间交流一下找的方法。师：能边说边将你找次品的过程在黑板上表示出来吗？【学情预设】有了前面从 3 瓶中找次品的经验，学生会用天平的形式来表示。学生会想 出多种找出次品的方法，并将从 5 瓶钙片中找次品的过程展示出来：5(1,1,1,1,1)； 5(1,1,1,2)；5(2,2,1)；5(1,1,3)。但是由于要考虑到多种可能，有的学生可能会考虑不全 面。预设 1：分成 3 份。（2，2，1）称 2 次预设 2：分成 3 份。（1，1，3）教学笔记称 2 次预设 3：分成 5 份再称。（1，1，1，1，1）预设 4：分成 4 份再称。（1，1，1，2）（2）理解“至少”“保证”。师：这里有的时候 1 次就能找出次品，为什么至少要称 2 次呢？【学情预设】学生会说，1 次是运气比较好，不能保证找出次品。师：同学们用不同的方法找出了 5 瓶钙片中的次品，我看见这些方法的不同主要是因为 一开始分的份数不同。如果每次画天平，都很麻烦，我们可以这样简洁表示。教师边说边板书：5(1,1,1,1,1)2 次；5(1,1,1,2)2 次；5(2,2,1)2 次；5(1,1,3)2 次。 师：整体观察，应该怎么分保证能找到次品称的次数最少？至少应称几次？师：分的份数不同，但都是至少称 2 次就能保证找到次品，谁能解释这其中的道理？ 【学情预设】面对这样的问题，可能有的学生在理解上会有些困难，教师要让学生说出自己的想法，如果学生实在无法解释，教师要引导学生继续去感受和理解：当天平左右两边 各放 1 瓶钙片时，无论分成 5 份还是 4 份，天平外都是 3 瓶钙片，和 5(1,1,3)这种情况是 一样的，次品的位置同样只有两个托盘和天平外三个地方。【设计意图】呈现不同的解决策略，在多样的方法中找到共同的规律。加深对“至 少”“保证”的理解。通过不同方法的交流、对比，让学生感受到解决问题的方法的多样性， 初步感悟分成的份数与称的次数之间的关系。4.探索从 8 瓶钙片中找次品，掌握找次品的最优策略。师：如果 8 瓶中有一瓶是次品(次品轻一些)，用天平至少称几次就能保证找到次品？ 师：同桌之间研究一下，看能不能也用刚才的符号或方法来研究，将探索情况填在记录单上，如果实在有困难的话也可以摆一摆。【学情预设】有了前面找次品的经验方法，学生会很自然地将之前的方法迁移过来，但 不排除还有部分学生存在困难，所以教师提醒学生实在有困难的话也可以摆一摆，尽可能让 每一位学生都能掌握基本的方法。【教学提示】 学生的方法有很多，教学时要照顾 到不同的方法，特别 是错误的方法，要引 导学生分析，错在哪 里，为什么错，该如 何更正。Earlybird晨鸟教育学生独立完成， 交流反馈。教学笔记师：哪个组来说说你们研究的情况？学生汇报，教师完善表格。师：现在我们静下心来，静静地观察表格并回顾刚才的研究过程，你能发现什么？ 师：从 8 瓶中找一瓶次品时很多同学都分成了三份，但只有分成 3 瓶、3 瓶和 2 瓶时才能保证找出次品称的次数最少，结合表格中的数据，谁能分析一下？学生交流反馈。教师根据学生反馈板书：8（1,1,1,1,1,1,1,1）4 次；8（2,2,2,2,）3 次；8（3,3,2） 2 次；8（4,4）3 次。师：如果 9 瓶钙片中有一瓶是次品(次品轻一些)，至少称几次能保证找到次品？是怎么 称的？学生思考，小组交流。【学情预设】学生会发现将 8 瓶钙片分成 3 份，每份分别为 3 瓶、3 瓶和 2 瓶时，保证 找出次品称的次数最少。同样是分成三份，为什么这种分法保证找出次品称的次数最少呢？【设计意图】本环节是在学生动手操作的基础上，将学习的主动权继续交给学生，让学 生将自己的研究成果展示在同伴面前。在学生汇报的过程中，可能又会有不同的意见出现： 对于从 8 瓶中找一瓶次品时很多同学都分成了三份，但只有分成 3 瓶、3 瓶和 2 瓶时，保证 找出次品称的次数最少。这将会再次引发学生的二次研究，促使学生对研究成果不断进行修 正。5.验证发现。师：用你发现的方法算一算，要找出 10 瓶、11 瓶、12 瓶钙片中的一瓶次品(次品轻一 些)，看看是不是保证找出次品称的次数也是最少的。学生独立验证并交流。师小结：经过研究、验证，我们发现，平均分成3 份找次品，保证找到次品称的次数最 少，不能平均分成 3 份的，要把余下的平均分到各组。师：回头想想，我们是用了哪些方法得出了这样的结论？【设计意图】学生只有在经历知识形成的过程中所掌握的知识和方法才是鲜活的、可迁 移的，学生的数学素质才能得到质的飞跃。所以在本环节教师需要引导学生进行了数学学习 方法的小结，让学生感受到结论的得出依托于数学学习方法，将这些学习方法渗透到学生今 后的数学学习中。三、实践应用，加深理解1.课件出示教科书 P113“练习二十七”第 1 题。学生独立解答后小组内交流。2.课件出示习题。【教学提示】在 教学时，教师要设计 问题，引导学生进行Earlybird晨鸟教育推理。教学笔记【学情预设】在学生掌握了基本方法后，很多学生直接运用规律，不进行推理。 四、课堂小结师：同学们，这节课就要结束了。你今天学了些什么？师：学了今天的知识能帮我们解决什么问题呢？板书设计5（1，1，1，1，1，） 2 次 8（1，1，1，1，1，1，1，1） 4 次5（1，1，1，2） 2 次 8（2，2，2，2） 3 次5（2，2，1） 2 次 8（3，3，2） 2 次5（1，1，3） 2 次 8（4，4） 3 次教学反思教学设计中，考虑到学生通过思考总结出方法比较困难，而从 3 瓶中找次品，只有一种 方法，从 8 瓶中找次品数据相对又比较大，所以增加了找 5 瓶中的次品这个环节，分解难点， 在较小数据中理解思路，掌握方法。所以到后来找 8 瓶中的次品时，直接填表格，学生相对 比较容易接受。另外，从 3 瓶中找出一瓶次品，对于学生来说，得到这个结论不是很难。但是在表述时， 因为出现了“如果”，这个跟以前的单一性结论和过程有很大的区别的说法，所以学生 在理解上还是有一定难度，特别是后面的从 5 瓶钙片中找出一瓶次品时，学生很难表述清楚， 之后还需要加强学生的语言表达能力，帮他们理顺思路。作业设计一、有 3 个零件，其中 1 个是次品，比其他零件略重，请你用天平称量的方法找到次品， 并记录下来。三、有 4 瓶同样的降压药。1. 用天平称一称，找出已经吃了的那一瓶，用、代表这 4 瓶降压药）表示称的过程。（可以用、Earlybird晨鸟教育2.至少称几次可以保证找出吃了的那一瓶？参考答案一、 1三、2.至少称两次可以保证找出吃了的那一瓶。教学笔记第 2 课时找次品（2）教学内容完成教科书 P113114“练习二 十七”中第 26 题。教学目标1.通过练习，进 一步掌握找次品的 基本方法，了解稍复 杂的找次品问题的 解题策略。2.运用数学的 方法解决生活中的 简单问题，培养观 察、分析、概括和推 理能力。3.体会解决问 题策略的多样性，初 步培养学生的应用 意识和解决实际问 题的能力，渗透优化 思想。教学重点进一步掌握找 次品的方法，运用数 学的方法解决生活 中的简单问题。教学难点灵活运用找次 品的方法解决类似 问题。教学准备课件。教学过程一、复习找次品 的方法1.巩固练习。Earlybird晨鸟教育课件出示教科书 P114 第 5 题问题。师：猜一猜，至少称几次能保证找出质量较轻的这袋糖果，并用图来表示出找次品的过 程。学生猜测后，课件继续出示。【教学提示】 学生完成填写前，引导学生理解图 示的意思，再填。师：请你们把找的过程在教科书 P114“练习二十七”第 5 题中写出来。（1）学生独立在教科书上解答。（2）全班展示交流。【学情预设】学生可能能正确地推理，但是不一定能清晰地表达。只要思路正确，都可 以，教师适当地规范学生的语言。【设计意图】再次经历推理的过程，熟悉找次品的最优方法。2.归纳找次品的方法。师：从上节课到这节课，我们学会了用天平找次品，它的方法是怎样的？教学笔记Earlybird晨鸟教育【学情预设】找次品的方法：我们可以把这些物体分成3 份，能平均分的就平均分，不 能平均分的就尽量使最多的一份与最少的一份相差 1。师：你在找次品的过程中发现了什么规律呢？学生同桌讨论。【学情预设】学生可能会发现找次品时，从23 个物品中找次品，只需要 1 次，从 49 个物品中找次品，都需要 2 次师：请同学们看教科书 P114“你知道吗？”，你又可以知道什么？教学笔记【教学提示】 发现规律有一定的难度，在此充分【学情预设】教科书没有直接给出结论，但是根据给出的数据，学生一般能发现规律： 让学生表达，在表达小于或等于 3n 个物体中有一个次品，至少需要称 n 次才能保证找出次品。（板书） 【设计意图】结合具体的数据，让学生读一读“你知道吗？”发现找次品问题中蕴含的规律，并通过展示、交流，自己发现规律，理解规律并能在实际问题中应用规律。 3.运用规律，解决问题。师：有 20 个物品，其中有一个次品（已知次品比正品重或轻。），保证能找出次品至少 需要称几次？【学情预设】学生直接运用规律，发现只要称 3 次就可以了，因为 92027，即 20 33。师：要保证 6 次能测出次品，待测物品可能是多少个？待测物品可能是 244 个。【学情预设】这个问题是对前面发现的规律的逆运用，对于学生而言有难度。若学生无 法独立完成，就让学生小组讨论。有的可能说是 243，有的可能说是 729，引导学生讨论。师：到底是多少个呢？【学情预设】让学生讨论、辨析，发现244 个到 729 个都有可能，最多是 729 个，最少 是 244 个。【设计意图】通过具体的问题，加深学生对规律的理解。二、通过探索，了解稍复杂的找次品问题课件出示问题。中理顺思路。（1）学生尝试解答。（2）反馈交流。【学情预设】预设 1：随意取出两袋，天平平衡的话，剩下的一袋就是次品。如果天平 不平衡，托盘较高的一袋(托盘较低的一袋)就是次品。师：我们知道次品比正品轻还是重吗？师：这样称一次能不能找到次品？师小结：这样称一次是不能知道这袋糖是比 500 克重还是比 500 克轻的。当天平不平衡 的时候，不知道重的是次品，还是轻的是次品。预设 2：随意取出两袋，如果天平平衡的话，剩下的一袋就是次品，接着用剩下的一袋 和刚才其中一袋称一称，就能知道剩下的一袋比 500 克重还是比 500 克轻。如果天平不平衡 的话，取轻的一袋与剩下一袋称一称，如果还是不平衡的话，说明轻的一袋就是次品，如果Earlybird晨鸟教育教学笔记平衡的话，说明第一次称的偏重的那一袋就是次品。师：这种方法能找到次品吗？师：为什么平衡和不平衡都要将多的那一袋再称一次？师小结：这样用天平多称一次的目的就是帮助我们找到次品是偏重的还是偏轻的。（3）拓展延伸。师：有 8 袋白糖，其中 7 袋每袋 500 克，另一袋不是 500 克，但不知道比 500 克重还是 轻，至少称几次才能保证判断出另一袋比 500 克轻还是重呢？学生独立思考后把答案写在练 习本上。【设计意图】没有深入的思考是不可能得出准确的答案的，所以这是本节课我第二次安 排的有意培养学生独立思考的能力的环节，让学生在思考的基础上写出答案，但多数同学写 出来的答案还是有问题。于是“想一想你写对了吗”的提示语就显得很有必要了。三、基础练习1.完成教科书 P113“练习二十七”第 2 题。（1）学生独立解答。（2）在巡视过程中发现典型做法，指名上台板演出称的过程。（3）结合学生的板演，集中评价交流。【设计意图】巩固用最优的方法“找次品”，进一步体验随机思想，进一步理解“至少 称几次保证一定能够找出次品”的含义。2.完成教科书 P113“练习二十七”第 3、4 题。（1）学生独立完成两道题。（2）全班集中评价。【设计意图】这两道题都是运用已有的经验和知识解决问题，对于学生来说并不难，让 学生独立解答，充分发挥他们的主观能动性。四、课堂小结师：本节课，我们又学习了找次品的方法，从中有哪些新的收获呢？【学情预设】引导学生说出找次品的基本方法，结合具体的事例用简单的语言表述稍复 杂的情况该如何处理。板书设计找次品（2）小于或等于 3n个物体中有一个次品，至少需要称 n 次才能保证找出次品。教学反思本节课主要是通过进一步“找次品”的活动，让学生在观察、猜测、实验等方式中感受 解决问题的多样性，并通过归纳、推理的方法进一步渗透优化思想。作业设计Earlybird
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