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意林数学思维方法讲义之八 年级: 九年级九年级中考二轮专题:二次函数图象的应用【今日目标】1、二次函数图象与系数的关系(二次函数中a,b,c的作用):决定_。当_ 时,图象开口向上,当x=_时,函数有最_值_;当x-时,y随x的增大而_;当x-时,y随x的增大而_。当_时,图象开口向下,当x=_时,函数有最_值_;x-时,y随x的增大而_;当x-时,y随x的增大而_。当|越大,图象开口越_。(2) 和b共同决定_。b=0时,对称轴为_; 和b同号时对称轴在y轴_侧; 和b异号时对称轴在y轴_侧。简记为 。(3)c的大小决定抛物线与_的交点的位置。当_ 时,图象与y轴正半轴相交;当_ 时,图象与y轴负半轴相交;当_ 时,图象过原点。(4)当_ _时,图象与x轴有两个交点;当_ 时,图象与x轴仅有一个交点;当_ _时,图象与x轴没有交点。2、以二次函数图象为载体,通过对四大要素的理解,结合动点、特殊三角形、特殊四边形、相似,利用勾股定理、相似为框架、以方程为工具解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等。【思想方法】数形结合法、特殊值法、整体思想、构造思想等。【精彩知识】题型一 二次函数的图象与系数的关系【例1】已知:二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,下列结论中:abc0;2a+b0;a+bm(am+b)(m1的实数);(a+c)2b2;a1其中正确的项是 (填番号)变式练习:如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标为,下列结论:ac0;a+b=0;4acb2=4a;a+b+c0.其中正确的个数是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4题型二 二次函数的图象和性质的基本应用【例2】已知,二次函数的解析式y1=x2+2x+3(1)求这个二次函数的顶点坐标;(2)求这个二次函数图象与x轴的交点坐标;(3)x取什么值时,抛物线在x轴上方?(4)x取什么值时,y的值随x值的增大而减小?(5)若直线y2=ax+b(a0)的图象与该二次图象交于A(,m),B(2,n)两点,结合图象直接写出当x取何值时y1y2?变式练习:对于二次函数,有下列说法:它的图象与轴有两个公共点; 如果当1时随的增大而减小,则;如果将它的图象向左平移3个单位后过原点,则;如果当时的函数值与时的函数值相等,则当时的函数值为其中正确的说法是 (把你认为正确说法的序号都填上)【例3】 二次函数的图象如图,若一元二次方程有实数根,则m的最大值为( )A.-3 B.3 C.-5 D.9 变式练习:如图,已知抛物线y1=2x2+2,直线y2=2x+2,当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2若y1y2,取y1、y2中的较小值记为M;若y1=y2,记M=y1=y2例如:当x=1时,y1=0,y2=4,y1y2,此时M=0下列判断:当x0时,y1y2; 当x0时,x值越大,M值越小;使得M大于2的x值不存在; 使得M=1的x值是或其中正确的是 (填番号)题型三 二次函数图象为载体解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等【例4】如图,若抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点A(m,0)、B(0,n),已知一元二次方程x24x3=0的两根是m,n且mn.(1)求抛物线的解析式;(2)若(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C.根据图像回答,当x取何值时,抛物线的图像在直线BC的上方?(3)点P在线段OC上,作PEx轴与抛物线交与点E,若直线BC将CPE的面积分成相等的两部分,求点P的坐标.变式练习:如图,已知二次函数的图象经过A(,),B(0,7)两点求该抛物线的解析式及对称轴;当为何值时,?在轴上方作平行于轴的直线,与抛物线交于C,D两点(点C在对称轴的左侧),过点C,D作轴的垂线,垂足分别为F,E当矩形CDEF为正方形时,求C点的坐标【例5】如图,在平面直角坐标系中,把抛物线向左平移1个单位,再向下平移4个单位,得到抛物线y=ax2+bx+c(a0).所得抛物线与轴交于两点(点在点的左边),与轴交于点,顶点为. (1)求抛物线的解析式; (2)判断的形状,并说明理由;xy(3)在线段上是否存在点,使?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.【例6】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,4),OB2,抛物线yax2bxc经过点A、O、B三点(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点M是抛物线对称轴上一点,试求AMOM的最小值;(3)在此抛物线上,是否存在点P,使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由【例7】如图,在平面直角坐标系xOy中,ABx轴于点B,AB=3,tanAOB=。将OAB绕着原点O逆时针旋转90o,得到OA1B1;再将OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180o,得到OA2B1,抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过点B、B1、A2。(1)求抛物线的解析式;(2)在第三象限内,抛物线上的点P在什么位置时,PBB1的面积最大?求出这时点P的坐标;(3)在第三象限内,抛物线上是否存在点Q,使点Q到线段BB1的距离为?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。变式练习:如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C (0,4),顶点为(1,)(1)求抛物线的函数表达式;(2)设抛物线的对称轴与轴交于点D,试在对称轴上找出点P,使CDP为等腰三角形,请直接写出满足条件的所有点P的坐标(3)若点E是线段AB上的一个动点(点E与A、B不重合),分别连接AC、BC,过点E作EFAC交线段BC于点F,连接CE,记CEF的面积为S,S是否存在最大值?若存在,求出S的最大值及此时E点的坐标;若不存在,请说明理由BxyOCAD【课后测控】1、抛物线的开口_ _,对称轴为_ _,顶点坐标为_ _;当x= 时,函数有最 值,其最值为 。2、已知实数x,y满足x2+3x+y3=0,则x+y的最大值为 。 3、二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)图象的对称轴是直线x=1,其图像的一部分如图所示,对于下列说法:abc0;ab+c0; 3a+c0; 当1x0其中正确的是_(把正确说法的序号都填上)4、已知二次函数的图象如图所示,有下列5个结论: ; ; ; ; (的实数),其中正确的结论有( )A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个yxO5、如图,点A,B的坐标分别为(1, 4)和(4, 4),抛物线的顶点在线段AB上运动,与x轴交于C、D两点(C在D的左侧),点C的横坐标最小值为,则点D的横坐标最大值为( ) A3 B1 C5 D8 6、抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:x21012y04664从上表可知,下列说法中正确的是 (填写序号)抛物线与x轴的一个交点为(3,0); 函数y=ax2+bx+c的最大值为6;抛物线的对称轴是直线x= ; 在对称轴左侧,y随x增大而增大7、如图11,已知抛物线与x 轴交于两点A、B,其顶点为C (1)对于任意实数m,点M(m,-2)是否在该抛物线上?请说明理由;(2)求证:ABC是等腰直角三角形;(3)已知点D在x轴上,那么在抛物线上是否存在点P,使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由8、如图,抛物线y=x2x+c的顶点A在直线l:y=x5上.(1)求抛物线顶点A的坐标;(2)设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C、D(C点在D点的左侧),试判断ABD的形状;(3)在直线l上是否存在一点P,使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形,若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由。部分答案:【例1】解答:解:抛物线的开口向上,a0,与y轴的交点为在y轴的负半轴上,c0,对称轴为x=0,a、b异号,即b0,又c0,abc0,故本选项正确;对称轴为x=0,a0,b2a,2a+b0;故本选项错误;当x=1时,y1=a+b+c;当x=m时,y2=m(am+b)+c,当m1,y2y1;当m1,y2y1,所以不能确定;故本选项错误;当x=1时,a+b+c=0;当x=1时,ab+c0;(a+b+c)(ab+c)=0,即(a+c)2b2=0;(a+c)2=b2 故本选项错误;当x=1时,ab+c=2;当x=1时,a+b+c=0,a+c=1,a=1+(c)1,即a1;故本选项正确;综上所述,正确的是例3变式【答案】。【考点】二次函数的图象和性质。【分析】当x0时,利用函数图象可以得出y2y1。此判断错误。抛物线y1=2x2+2,直线y2=2x+2,当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2,若y1y2,取y1、y2中的较小值记为M。当x0时,根据函数图象可以得出x值越大,M值越大。此判断错误。抛物线y1=2x2+2,直线y2=2x+2,与y轴交点坐标为:(0,2),当x=0时,M=2,抛物线y1=2x2+2,最大值为2,故M大于2的x值不存在;此判断正确。 使得M=1时,若y1=2x2+2=1,解得:x1=,x2=;若y2=2x+2=1,解得:x=。由图象可得出:当x=0,此时对应y1=M。抛物线y1=2x2+2与x轴交点坐标为:(1,0),(1,0),当1x0,此时对应y2=M, M=1时,x=或x=。此判断正确。因此正确的有:。【例4】(1)x24x+3=0的两个根为 x1=1,x2=3A点的坐标为(1,0),B点的坐标为(0,3)又抛物线y=x2+bx+c的图像经过点A(1,0)、B(0,3)两点抛物线的解析式为 y=x2-2x+31. 作直线BC由(1)得,y=x2-2x+3 抛物线y=x22x+3与x轴的另一个交点为C 令x22x+3=0解得:x1=1,x2=3C点的坐标为(3,0)由图可知:当3x0时,抛物线的图像在直线BC的上方.(3)设直线BC交PE于F,P点坐标为(a,0),则E点坐标为(a,a22a+3)直线BC将CPE的面积分成相等的两部分.F是线段PE的中点.即F点的坐标是(a,)直线BC过点B(0.3)和C(-3,0)易得直线BC的解析式为y=x+3xyMFEG点F在直线BC上,所以点F的坐标满足直线BC的解析式即=a+3解得 a1=1,a2=3(此时P点与点C重合,舍去)P点的坐标是(1,0)【例6】 解:(1)的顶点坐标为(,), . 分 (2)由(1)得. 当时, 解之,得 .又当时,C点坐标为.4分又抛物线顶点坐标,作抛物线的对称轴交轴于点E, 轴于点易知在中,;在中,;在中,; ACD是直角三角形分(3)存在作OMBC交AC于M,点即为所求点由(2)知,为等腰直角三角形,由,得即. 分过点作于点,则,.又点M在第三象限,所以. 10分【例7】解:(1)由OB2,可知B(2,0)将A(2,4),B(2,0),O(0,0)三点坐标代入抛物线yax2bxc,得解得:抛物线的函数表达式为。(2)由,可得,抛物线的对称轴为直线,且对称轴是线段OB的垂直平分线,连结AB交直线于点M,即为所求。MO=MB,则MO+MA=MA+MB=AB作ACx轴,垂足为C,则AC=4,BC=4,AB=MO+MA的最小值为。(3)若OBAP,此时点A与点P关于直线对称,由A(2,4),得P(4,4),则得梯形OAPB。若OABP,设直线OA的表达式为,由A(2,4)得,。设直线BP的表达式为,由B(2,0)得,即,直线BP的表达式为由,解得,(不合题意,舍去)当时,点P(),则得梯形OAPB。若ABOP,设直线AB的表达式为,则,解得,AB的表达式为。直线OP的表达式为。由,得 ,解得,(不合题意,舍去),此时点P不存在。综上所述,存在两点P(4,4)或P()使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形。【例8】思路导引:确定二次函数解析式,寻找经过三点的坐标十分关键,运用点绕原点旋转直角后坐标的变化规律进行界定,计算动点构造的三角形的面积并且确定最值,因此运用面积构造面积的函数式,结合得出的函数形式,运用其性质解答;判断符合某种条件的点的存在性问题,注意三点O、B、B1构成的特殊三角形的性质结合图形信息,确定符合第三象限这一条件的有关面积的方程,通过解方程并且检验得出符合题意的解;解析:(1)ABx轴,AB=3,tanAOB=,OB=4,点B坐标是(4,0),B1(0,4),A2(3,0),抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过点B、B1、A2, ,解得:a=,b=,c=4,抛物线的解析式是y=x2+x4,(2)点P 是第三象限内抛物线y=x2+x4上一点,过点P 作PCx轴,垂足是点C,设点P 的坐标是(m,n),则m0,n0,n=m2+m4,则有PC=n=n=m2m4,OC=m=m,BC=OBOC=4m=4m,SPBB1= SPBCS梯形PB1OCSOBB1=BCPC(PCOB1)OCOBOB1=(4m)(m2m4)(m2m4)4(m)44=m2=(m2)2.(3)假设在第三象限的抛物线上存在点Q(x,y),使得点Q到BB1的距离是,过点Q作QDBB1于点D,由(2)可知,这时PBB1的面积可以表示为(x2)2. 在RtO BB1中,BB1=,SPBB1=BB1QD=2,(x2)2=2,解得:x 的值是1或者是3,当x=1时,y=4,当x=3时,y=2,因此在第三象限内,抛物线上存在点Q,使得Q点到线段BB1的距离是,这样的点Q 的坐标是(1,4)(3,2);【例8】变式(1)抛物线的顶点为(1,)设抛物线的函数关系式为ya ( x1) 22分抛物线与y轴交于点C (0,4),a (01) 24解得a所求抛物线的函数关系式为y( x1) 2 4分(2)解:P1 (1,),P2 (1,), P3 (1,8),P4 (1,), 8分(3)解:令( x1) 20,解得x12,x14抛物线y( x1) 2与x轴的交点为A (2,0) C (4,0) 9分过点F作FMOB于点M,EFAC,BEFBAC, 又OC4,AB6,MFOCEB设E点坐标为 (x,0),则EB4x,MF (4x) 10分SSBCESBEF EBOC EBMF EB(OCMF) (4x)4 (4x)x2x( x1) 23a0,S有最大值当x1时,S最大值3 11分此时点E的坐标为 (1,0) 12分
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