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直线与圆考点1直线的方程及应用1(2020全国卷)点(0，1)到直线yk(x1)距离的最大值为()A1BCD2B法一：由点到直线的距离公式知点(0，1)到直线yk(x1)的距离d.当k0时，d1；当k0时，d，要使d最大，需k0且k最小，当k1时，dmax，故选B法二：记点A(0，1)，直线yk(x1)恒过点B(1,0)，当AB垂直于直线yk(x1)时，点A(0，1)到直线yk(x1)的距离最大，且最大值为|AB|，故选B2(2021全国卷乙)双曲线1的右焦点到直线x2y80的距离为_由双曲线的性质知c2a2b2459，则c3，双曲线右焦点的坐标为(3,0)，所以双曲线的右焦点到直线x2y80的距离d.命题规律：考查重点是直线间的平行和垂直的应用、与距离、最值有关的问题，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现通性通法：求直线方程的方法求直线方程主要有直接法和待定系数法直接法是选择适当的形式，直接求出直线方程待定系数法通常先由条件建立含参数的方程，再将条件代入求参数，即可得到直线方程提醒：求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要验证与x、y轴垂直的特殊情况1与充分必要条件交汇已知直线l1：x(m1)ym0，l2：mx2y10，则“l1l2”的必要不充分条件是()Am2Bm1Cm2或m1Dm2或m1C直线l1：x(m1)ym0，l2：mx2y10，若l1l2，则m(m1)20，解得m2或m1；当m1时，l1与l2重合，故“l1l2”“m2”，故“l1l2”的必要不充分条件是“m2或m1”，故选C2与物理学交汇在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，点P是边上异于A，B的一点光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)若光线QR经过ABC的重心，则AP等于()A2 B1 C DD以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系如图所示则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)设ABC的重心为D，则D点坐标为，设P点坐标为(m,0)，则P点关于y轴对称点P1为(m,0)，因为直线BC方程为xy40，所以P点关于BC的对称点P2为(4,4m)，根据光线反射原理，P1，P2均在QR所在直线上，kP1DkP2D，即，解得m或m0.当m0时，P点与A点重合，故舍去m.故选D3与不等式交汇已知直线l1：kxy40与直线l2：xky30(k0)分别过定点A，B，又l1，l2相交于点M，则|MA|MB|的最大值为_由题意可知，直线l1：kxy40经过定点A(0,4)，直线l2：xky30经过定点B(3,0)易知直线l1：kxy40和直线l2：xky30始终垂直，又M是两条直线的交点，所以MAMB，所以|MA|2|MB|2|AB|225，故|MA|MB|.考点2圆的方程及应用1(2020全国卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2xy30的距离为()ABCDB因为圆与两坐标轴都相切，点(2,1)在该圆上，所以可设该圆的方程为(xa)2(ya)2a2(a0)，所以(2a)2(1a)2a2，即a26a50，解得a1或a5，所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)，所以圆心到直线2xy30的距离为或，故选B2(2018天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为_.x2y22x0法一：设圆的方程为x2y2DxEyF0.圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，解得圆的方程为x2y22x0.法二：画出示意图如图所示，则OAB为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1，所求圆的方程为(x1)2y21，即x2y22x0.命题规律：圆的方程求法以待定系数法为主，主要考查方程思想及数学运算的能力，属于中档题目通性通法： 解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数1以阿波罗尼圆为载体古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著圆锥曲线论中提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数，则该点轨迹是一个圆”现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个特定的三角形信号覆盖区域，以实现5G商用，已知甲、乙两地相距4 km，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的倍，则这个三角形信号覆盖区域的最大面积(单位：km2)是()A2B4C3D4B以甲、乙两地所在直线为x轴，线段甲乙的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，设甲、乙两地的坐标分别为(2,0)，(2,0)，丙地坐标为(x，y)(y0)，则，整理得(x4)2y212，可知丙地所在的圆的半径为r2.所以三角形信号覆盖区域的最大面积为424.2与圆锥曲线交汇已知A，B分别是双曲线C：1的左、右顶点，P(3,4)为C上一点，则PAB的外接圆的标准方程为_x2(y3)210P(3,4)为C上一点，1，解得m1，则B(1,0)，kPB2，PB的中点坐标为(2,2)，PB的中垂线方程为y(x2)2，令x0，则y3，设外接圆圆心为M(0，t)，则M(0,3)，r|MB|，PAB外接圆的标准方程为x2(y3)210.3由圆的一般方程求参数(或范围)(2021珠海一模)若方程x2y2xy2kx4y5k0表示圆，则k的取值范围为_(，1)(4，)根据题意，若方程x2y2xy2kx4y5k0表示圆，则0，方程为x2y22kx4y5k0，即(xk)2(y2)2k25k4，必有k25k40，解得k1或k4，即k的取值范围为(，1)(4，)考点3直线与圆的位置关系1(2021新高考卷改编)已知点P在圆(x5)2(y5)216上，点A(4,0)，B(0,2)，则下列结论成立的是()点P到直线AB的距离小于10；点P到直线AB的距离大于2；当PBA最小时，|PB|3；当PBA最大时，|PB|3.ABCDD设圆(x5)2(y5)216的圆心为M(5,5)，由题易知直线AB的方程为1，即x2y40，则圆心M到直线AB的距离d4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4d4，4510，故正确易知点P到直线AB的距离的最小值为d44，441，故不正确过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当PBA最小时，点P与N重合，|PB|3，当PBA最大时，点P与Q重合，|PB|3，故都正确综上，选D2(2020全国卷)已知M：x2y22x2y20，直线l：2xy20，P为l上的动点过点P作M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|AB|最小时，直线AB的方程为()A2xy10B2xy10C2xy10D2xy10D法一：由M：x2y22x2y20，得M：(x1)2(y1)24，所以圆心M(1,1)如图，连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为|PM|AB|，欲使|PM|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需PAM的面积最小因为|AM|2，所以只需|PA|最小又|PA|，所以只需直线2xy20上的动点P到M的距离最小，其最小值为，此时PMl，易求出直线PM的方程为x2y10.由得所以P(1,0)易知P，A，M，B四点共圆，所以以PM为直径的圆的方程为x2，即x2y2y10，由得，直线AB的方程为2xy10，故选D法二：因为M：(x1)2(y1)24，所以圆心M(1,1)连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为|PM|AB|，欲使|PM|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需PAM的面积最小因为|AM|2，所以只需|PA|最小又|PA|，所以只需|PM|最小，此时PMl.因为PMAB，所以lAB，所以kAB2，排除A，C易求出直线PM的方程为x2y10，由得所以P(1,0)因为点M到直线x1的距离为2，所以直线x1过点P且与M相切，所以A(1,1)因为点A(1,1)在直线AB上，故排除B故选D3(2020天津高考)已知直线xy80和圆x2y2r2(r0)相交于A，B两点若|AB|6，则r的值为_5依题意得，圆心(0,0)到直线xy80的距离d4，因此r2d225，又r0，所以r5.命题规律：以直线与圆的位置关系为切入点，结合圆的几何性质，勾股定理及距离等相关知识考查数形结合及数学运算能力一般以选择题、填空题的形式出现，知识相对综合，有一定的区分度通性通法：解决直线与圆的位置关系问题应关注3点(1)处理直线与圆的位置关系问题时，主要利用几何法，即利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判断，并依据相关几何性质求解(2)弦长问题，主要依据弦长的一半、弦心距、半径之间的关系求解(3)过圆内一点且垂直于过这点的半径的弦最短1直线与圆的关系(2021广东二模)设直线l：ykx1(kR)与圆C：x2y25，则下列结论正确的为()Al与C可能相离Bl可能将C的周长平分C当k1时，l被C截得的弦长为Dl被C截得的最短弦长为4D对于A选项，直线l过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C内，则直线l与圆C必相交，A选项错误；对于B选项，若直线l将圆C平分，则直线l过原点，此时直线l的斜率不存在，B选项错误；对于C选项，当k1时，直线l的方程为xy10，圆心C到直线l的距离为d，所以，直线l被C截得的弦长为23，C选项错误；对于D选项，圆心C到直线l的距离为d1，所以，直线l被C截得的弦长为24，D选项正确故选D2圆与圆的位置关系若圆x2y24与圆x2y2ax2ay90(a0)相交，公共弦的长为2，则a_.联立两圆方程可得公共弦所在直线方程为ax2ay50，故圆心(0,0)到直线ax2ay50的距离为(a0)故22，解得a2，因为a0，所以a.3切线问题设P为直线3x4y110上的动点，过点P作圆C：x2y22x2y10的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为_圆的标准方程为(x1)2(y1)21，圆心为C(1,1)，半径为r1，根据对称性可知，四边形PACB的面积为2SAPC2|PA|r|PA|，要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，最小值为圆心到直线l：3x4y110的距离d2.所以四边形PACB面积的最小值为.10/10
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