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2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考 数学试卷（文科） 本试卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟。第卷1至2页，第卷3至5页。考试结束后，将答题纸和答题卡一并交回。第I卷（选择题，共40分）注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。一. 选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）1已知是虚数单位，则复数 【答案】A，选A.2已知x、y满足约束条件则目标函数 的最大值为 0 3 4 6【答案】C由得。做出可行域，平移直线，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大，此时最大。由，解得，即,代入直线得，所以目标函数 的最大值为4，选C.3阅读如图的程序框图，若运行相应的程序,则输出的是 【答案】D第一次循环，;第二次循环，;第三次循环，;第四次循环，不满足条件，输出，选D.4“”是“函数是奇函数”的充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件【答案】A因为函数的定义域为所以，即，解得，所以“”是“函数是奇函数”的充分不必要条件，选A.5.设，则的大小关系是 【答案】B,所以，选B.6函数为增函数的区间是 【答案】C,由，得，因为，所以当时，得函数的增区间为，选C.7若抛物线的准线与双曲线的一条渐近线交点的纵坐标为，则这个双曲线的离心率为 【答案】D抛物线的准线方程为，双曲线的一条渐近线为，当，即，所以，即，所以，即，所以双曲线的离心率为，选D.8已知函数，若方程在区间内有个不等实根，则实数的取值范围是 或 或【答案】D当时，函数，做出函数的图象如图设，由图象可知要使方程在区间内有个不等实根，则直线经过点或时，有3个交点。过时，有2个交点。所以实数的取值范围是或，即选D.2013天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考 数学试卷（文科） 第卷 (非选择题，共110分)注意事项：1第卷共3页，用蓝、黑色的钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上。2答卷前，请将密封线内的项目填写清楚。二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在试题的相应的横线上.9设全集是实数集，则图中阴影部分表示的集合等于_.（结果用区间形式作答）【答案】，阴影部分表示的集合为,所以，所以。10. 如图，是圆的切线，切点为，是圆的直径，与圆交于点，则圆的半径等于_ 【答案】由切割线定理可得,，即,所以,因为是圆的直径，所以，所以,所以，即，所以,即。11.一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为 【答案】由三视图可知，该几何体时底面是直角梯形侧棱垂直底面的一个四棱锥。四棱锥的高为2，底面梯形的上底是1，下底为2，梯形的高是2，所以梯形的面积为，所以该几何体的体积为。12已知，且，成等比数列，则的最小值是_. 【答案】因为，所以，因为，成等比数列，所以，所以。因为，即，当且仅当，即取等号，所以的最小值是。13在矩形中，. 若分别在边上运动（包括端点）,且满足,则的取值范围是_. 【答案】将矩形放入坐标系如图，则。设，,，因为,所以，即，所以,即，所以，因为，所以，即的范围是。14定义：表示大于或等于的最小整数（是实数）若函数，则函数的值域为_. 【答案】因为，。若，则，此时，即。若，则，所以，。此时，所以。若，则，所以，。此时，所以。综上或，所以的值域为。三.解答题：本大题6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. （本题满分13分）某市有三所高校，其学生会学习部有“干事”人数分别为36，24，12，现采用分层抽样的方法从这些“干事”中抽取6名进行“大学生学习活动现状”的调查（）求应从这三所高校中分别抽取的“干事”人数；（）若从抽取的6名干事中随机再选2名，求选出的2名干事来自同一所高校的概率16（本题满分13分）中角所对的边之长依次为，且，（）求和角的值； （）若求的面积17.（本题满分13分）在如图的多面体中，平面，,，是的中点（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正切值； （）求证：18(本题满分13分）已知数列的前项和为，且，数列满足，且.（）求数列、的通项公式，并求数列的前项的和；（）设，求数列的前项的和19. (本题满分14分) 已知函数，是实数.（）若在处取得极大值，求的值；（）若在区间为增函数，求的取值范围；（）在（）的条件下，函数有三个零点，求的取值范围20. (本题满分14分) 已知椭圆的焦点是,其上的动点满足.点为坐标原点，椭圆的下顶点为.（）求椭圆的标准方程；()设直线与椭圆的交于，两点，求过三点的圆的方程；（）设过点且斜率为的直线交椭圆于两点，试证明：无论取何值时，恒为定值.（以下可作草稿）2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考数学试卷（文科）评分标准一、选择题： 二、填空题： ；三、解答题：15. （本题满分13分）某市有三所高校，其学生会学习部有“干事”人数分别为36，24，12，现采用分层抽样的方法从这些“干事”中抽取6名进行“大学生学习活动现状”的调查()求应从这三所高校中分别抽取的“干事”人数；()若从抽取的6名干事中随机再选2名，求选出的2名干事来自同一所高校的概率15解：（I）抽样比为 2分故应从这三所高校抽取的“干事”人数分别为3，2，1 4分（II）在抽取到的6名干事中，来自高校的3名分别记为1、2、3；来自高校的2名分别记为a、b；来自高校的1名记为c 5分则选出2名干事的所有可能结果为：1，2，1，3，1，a，1，b，1，c；2，3， 2，a，2，b，2，c； 3，a，3，b，3，c；a，b，a，c；b，c， 8分共15种 9分设A=所选2名干事来自同一高校，事件A的所有可能结果为1，2，1，3， 2，3，a，b 10分共4种， 11分 13分16（本小题满分13分）中，角A，B，C所对的边之长依次为，且(I)求和角的值；(II)若求的面积16解：(I)由，得 1分由得， 3分，5分7分， 8分， 9分(II)应用正弦定理，得， 10分由条件得 12分 13分17（本题满分13分）在如图的多面体中，平面，,，是的中点（）求证：平面；（）求直线与平面所成的角的正切值 （）求证：17解：（）证明：， 1分又,是的中点， 2分四边形是平行四边形， 3分平面，平面，平面 4分（）证明：平面，平面， ， 5分又，平面，平面 6分过作交于，连接，则平面， 是在平面内的射影，故直线与平面所成的角. 7分，四边形平行四边形，在中，在中， 所以，直线与平面所成的角的正切值是9分（） 解法1平面，平面， 10分，四边形为正方形， 11分又平面，平面，平面 12分平面， 13分解法2平面，平面，平面，又，两两垂直以点E为坐标原点，分别为轴建立如图的空间直角坐标系由已知得（2，0，0），（2，4，0），（0，2，2），（2，2，0）， 13分18（本题满分13分）已知数列的前项和为，且，数列满足，且.（）求数列、的通项公式，并求数列的前项的和；（）设，求数列的前项和18解：（）当，； 1分当时， ， ， 2分 是等比数列，公比为2，首项， 3分 由，得是等差数列，公差为2. 4分又首项， 5分 2得 6分得：7分 8分， 9分 10分 （） 11分 12分 13分19（本题满分14分）已知函数，是实数.(I)若在处取得极大值，求的值；(II)若在区间为增函数，求的取值范围；(III)在(II)的条件下，函数有三个零点，求的取值范围19(I)解： 1分由在处取得极大值，得，2分所以（适合题意）. 3分(II)，因为在区间为增函数，所以在区间恒成立， 5分所以恒成立，即恒成立 6分由于，得的取值范围是 7分(III)， 故，得或8分当时，在上是增函数，显然不合题意9分当时，、随的变化情况如下表：+00+极大值极小值11分要使有三个零点，故需， 13分解得所以的取值范围是 14分20（本题满分14分）已知椭圆的焦点是,其上的动点满足.点为坐标原点，椭圆的下顶点为.（）求椭圆的标准方程；()设直线与椭圆的交于，两点，求过三点的圆的方程；（）设过点且斜率为的直线交椭圆于两点，试证明：无论取何值时，恒为定值。20解：（） ， 1分, 3分椭圆的标准方程为. 4分()联立方程得 消得，解得 6分设所求圆的方程为： 依题有 8分解得所以所求圆的方程为：. 9分（）证明：设，联立方程组消得 -10分在椭圆内，恒成立。设，则， -11分， -12分 -13分为定值。 -14分
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