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2,第四节 随机变量的函数及其分布,离散型情形 连续型情形,3,一 离散型情形,随机变量,的函数,其中 为连续函数,其分布?,例1 设 的分布律为,则 的分布律为,4,其中 ,其余类似.,由上面可知,若 的分布律为,则 的分布律为,5,但要注意将 取值相同的概率相加，如例1,二 连续型情形,设 的概率密度函数为 ，求 之密度 ，方法有以下两种:,1 分布函数法,求出 的值域,对 ,由定义 , 确定 的表达式,6,2 公式法,当 是可导的单调函数时，则,当 非单调函数，设其分两段单调，其反函数为 与 ,则,7,例2 设随机变量 服从(0,1)上的均匀分布，分别求随机变量(1) , (2) 的概率密度 和,例3 , 证明 即正态随机变量的线性组合仍为正态随机变量.,例4 设 ，求 的密度 .,思 考 题 1.随机变量引入的意义是什么？ 2.随机变量与分布函数的区别是什么？为什么要引入分布函数？ 3.除离散型随机变量和连续型随机变量，还有第三种随机变量吗？ 4.对概率密度函数的不连续点，如何由分布函数求出？ 5.“连续型随机变量的分布函数是可导的，概率密度函数是连续的”这个说法对吗？为什么？,证明 (1)当 时,故,即,(2)略,(1)函数 有唯一反函数 ，且 ，故由(4.1)得,(2)在区间(0,1)上，函数 ，它有唯一反函数 ,且 ，从而由(4.1)得,例2解 由题意 的密度为,例3证明 已知,方法一 （分布函数法）,1)当 时,2) 当 时,综合而得：,即,方法二 公式法,今 单调可导，其反函数为 从而,由此例可得，若 ,则 ,则,称为 的标准化随机变量,由,可得2.3的关于正态分布性质(5),例4解 易知 的值域为(0,1),方法一 分布函数法,当 时,当 时,当 时,从而,方法二 公式法,此时 在 及 分别有反函数 及 ，从而由(4.2),
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