河北省唐山一中2017-2018学年高二数学下学期期中试题理

河北省唐山一中2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理说明：1.考试时间120分钟，满分150分；2.将卷答案用2B铅笔涂在答题卡上,将卷答案答在答题卡上；3.卷答题卡卷头填写姓名、班级、座位号，不要误填学号卷(选择题 共60分)一选择题（共12小题，每小题5分，计60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1若（，为虚数单位），在复平面上对应的点不可能位于 （ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2用反证法证明“若，则全为”时，假设正确的是（ ）A. 中只有一个为 B. 至少一个为C. 全不为 D. 至少有一个不为3.在含有件次品的件产品中，任意抽取件，则至少件是次品的取法种数 （ ）A B C D4. 设函数的导函数为，且，则 （ ）ABCD5. 设随机变量的分布列为，则 （ ）A. B. C. D. 6. 某厂生产的零件外直径，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为和，则可认为 （ ）A上、下午生产情况均正常 B上、下午生产情况均异常 C上午生产情况正常，下午生产情况异常 D上午生产情况异常,下午生产情况正常7. 利用数学归纳法证明不等式：的过程中，由变到时，左边增加了 （ ）A. 项 B. 项 C. 项 D. 项8. 过函数图象上一点及邻近一点作割线，则当时割线的斜率为 （ ） A. B C D9. 从这个整数中同时取个不同的数，其和为偶数，则不同取法共 （ ）A种 B种 C种 D种10. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 （ ）A函数有极大值和极小值 B函数有极大值和极小值 C函数有极大值和极小值 D函数有极大值和极小值11.某学校有个活动小组报名参加个地区的社会实践活动，每个小组必须选择一个地区且每个地区都有小组参加，若组和组不去同一地区，则不同的方案有 （ ） A种 B种 C种 D种12.设函数在上有定义，对于任一给定的正数，定义函数，则称函数为的“界函数”.若给定函数，恒有，则下列结论正确的是 （ ）A的最大值为 B的最小值为 C的最大值为 D的最小值为卷(非选择题 共90分)二填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13的展开式中常数项为，则实数的值为_.14. 已知函数，则=_.15. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为_.16. 下列命题中，正确的命题的序号为_.已知随机变量X服从二项分布，若,则；将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；设随机变量服从正态分布，若，则；某人在10次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大三解答题（共6小题，计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. (本题满分10分)设整数，用数学归纳法证明：当且时，.18.(本题满分12分)已知函数.（1）求曲线在点处的切线的方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标.19.（本题满分12分）2018年某省数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是，每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立（1）求该学生进入省队的概率（2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为，求的分布列及的数学期望.20（本题满分12分）已知二次函数，直线（其中为常数），.若直线与函数的图象以及轴与函数的图象所围成的封闭图形如阴影所示.（1）求阴影面积S关于的函数；（2）已知函数在其定义域上单调递减，求的范围.21.(本题满分12分) 设函数（1）当时，求的展开式中二项式系数最大的项；（2）（A普班、实验班做），证明（的导函数）；（B英才班做）是否存在,使得恒成立？若存在，试证明你的结论并求出的值；若不存在，请说明理由.22.(本题满分12分)已知函数；（1）讨论的单调性；（2）当函数有两个不相等的零点时,证明: .答案一选择题：1-4: DDBB；5-8: CCAB；9-12: CDAB.二填空题：13. ；14. ；15. 0.75；16. .三解答题：17. 用数学归纳法证明:当p=2时,(1+x)2=1+2x+x21+2x,原不等式成立. 2分假设p=k(k2,kN*)时,不等式(1+x)k1+kx成立. 4分当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x,所以p=k+1时,原不等式也成立. 9分综合可得,当x-1且x0时,对一切整数p1,不等式(1+x)p1+px均成立. 10分18. 解：(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上f(x)(x3x16)3x21.f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线的方程为y13(x2)(6)，即y13x32. 4分(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，直线l的方程为:y(3x1)(xx0)xx016，又直线l过点(0，0)，0(3x1)(x0)xx016，10分整理得，x8，x02，y0(2)3(2)1626，k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)12分19. （1）记“该生进入省队”的事件为事件，其对立事件为，则 4分（2）该生参加竞赛次数的可能取值为2，3，4，56分，, 10分故的分布列为：234512分20.（1）由得0t2，直线l1与f（x）的图象的交点坐标为（由定积分的几何意义知：6分(2)，定义域为8分因为单减,则恒成立，即设，在是增函数，在是减函数，所以12分21. （1）展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是2分（2）（普班、实验班）证法一：因=证法二：因=6分而故只需对和进行比较令g（x）=x-lnx（x1），有由，得x=1因为当0x1时，g（x）0，g（x）单调递减；当1x+时，g（x）0，g（x）单调递增，所以在x=1处g（x）有极小值1故当x1时，g（x）g（1）=1，从而有x-lnx1，亦即xlnx+1lnx故有恒成立所以f（2x）+f（2）2f（x），原不等式成立12分（2）（英才班）对mN，且m1有4分=8分=3；又因0（k=2，3，m），故10分，从而有成立，即存在a=2，使得恒成立12分22. （1）当时，在单调递增；当时，在单调递增；在单调递减；4分（2）不妨设，由题意得相减得：，要证，只需证6分=，只需证只需证，设，只需证10分设，则，所以原命题成立.12分