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课时知能训练一、选择题1设随机变量服从正态分布N(2,9)，若P(c1)P(c1)，则c()A1B2C3D4【解析】因为N(2,9)，正态密度曲线关于x2对称，又概率表示它与x轴所围成的面积2，c2.【答案】B2(2012阳江调研)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A100 B200 C300 D400【解析】记不发芽的种子数为，则B(1000,0.1)E()10000.1100.又X2，E(X)E(2)2E()200.【答案】B3已知随机变量服从正态分布N(0，2)若P(2)0.023，则P(22)()A0.477 B0.628 C0.954 D0.977【解析】0，则P(2)P(2)0.023，P(22)120.0230.954.【答案】C4一射手对靶射击，直到第一次命中停止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，射击停止后尚余子弹的数目X的期望值为()A2.44 B3.376 C2.376 D2.4【解析】X的所有可能取值为3,2,1,0，其分布列为X3210P0.60.240.0960.064E(X)30.620.2410.09600.0642.376.【答案】C5体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止，设学生一次发球成功的概率为p(p0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)1.75，则p的取值范围是()A(0，) B(，1)C(0，) D(，1)【解析】X的可能取值为1,2,3，P(X1)p，P(X2)(1p)p，P(X3)(1p)2，E(X)p2p(1p)3(1p)2p23p3，由E(X)1.75，即p23p31.75，解之得p或p(舍)，0P.【答案】C二、填空题6(2012中山调研)已知X的分布列为X101Pa设Y2X1，则Y的数学期望E(Y)的值是_【解析】由分布列的性质，a1，E(X)101，因此E(Y)E(2X1)2E(X)1.【答案】7已知离散型随机变量X的分布列如下若EX0，DX1，则a_，b_.X1012Pabc【解析】由题知abc，ac0，12a12c221，解得a，b.【答案】8某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192例8例则该公司一年后估计可获收益的期望是_元【解析】由题意知，一年后获利6 000元的概率为0.96，获利25 000元的概率为0.04，故一年后收益的期望是6 0000.96(25 000)0.044 760(元)【答案】4 760三、解答题9(2011安徽高考)工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为p1，p2，p3，假设p1，p2，p3互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立(1)如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？(2)若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q1，q2，q3，其中q1，q2，q3是p1，p2，p3的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值(数学期望)EX.【解】(1)无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是(1p1)(1p2)(1p3)所以任务能被完成的概率是1(1p1)(1p2)(1p3)p1p2p3p1p2p2p3p3p1p1p2p3.因此任务被完成的概率与派出的人的先后顺序无关(2)当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为q1，q2，q3时，随机变量X的分布列为X123Pq1(1q1)q2(1q1)(1q2)所需派出的人员数目的均值(数学期望)是EXq12(1q1)q23(1q1)(1q2)32q1q2q1q210(2012湛江质检)如图1091是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图图1091(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列、数学期望与方差【解】(1)依题意及频率分布直方图知，0020.1x0.370.391，解得x0.12.(2)由题意知，XB(3,0.1)因此P(X0)C0.930.729，P(X1)C0.10.920.243，P(X2)C0.120.90.027，P(X3)C0.130.001.故随机变量X的分布列为X0123P0.7290.2430.0270.001X的数学期望为E(X)30.10.3.X的方差为D(X)30.1(10.1)0.27.11现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(0p1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X，对乙项目每投资十万元，X取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元随机变量X1、X2分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润(1)求X1，X2的概率分布列和均值E(X1)，E(X2)；(2)当E(X1)E(X2)时，求p的取值范围【解】(1)X1的概率分布列为X11.21.181.17PE(X1)1.21.181.171.18.由题设得XB(2，p)，即X的概率分布列为X012P(1p)22p(1p)p2故X2的概率分布列为X21.31.250.2P(1p)22p(1p)p2所以E(X2)1.3(1p)21.252p(1p)0.2p21.3(12pp2)2.5(pp2)0.2p2p20.1p1.3.(2)由E(X1)E(X2)，得p20.1p1.31.18，整理得(p0.4)(p0.3)0，解得0.4p0.3.因为0p1，所以当E(X1)E(X2)时，p的取值范围是0p0.3.
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