系泊系统建模

系泊系统的设计摘要本文通过建立数学模型，对系泊系统的传输节点示意图进行受力分析，建立 了静力学模型，并通过增加风力、水流力等对系泊系统进行更优化的设计。对于问题一，在海平面处于静止状态下，对风速为12m/s和24m/s时钢桶和 各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标吃水深度和浮标游动区域的计算，首先对 锚链运用微元法对其中一节进行分析，再对其他物体进行受力分析和力矩平衡， 得到静力学平衡的方程组，使用MATLAB对其求解，可得锚链形状（见图1和 图2）其它求解结果：风速12m/s时，钢桶的倾斜角度为1.1023，从上到下的 倾斜角度为 1.0746 1.0814 1.0882 1.0953，吃水深度为 0.7045（ m）, 游动区域为14.785（ m）。风速24m/s时，钢桶的倾斜角度为4.0641，从上 到下的倾斜角度为3.968 3.9916 4.0155 4.0397，吃水深度为0.7287（ m）, 游动区域为17.9502（ m）。对于问题二，在风速为36m/s时，钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、 和浮标游动区域的计算问题，首先利用问题1中的算法求解出结果，发现在风速 为36m/s时，钢桶的倾斜角度超过了 5度，锚链在锚点与海床的夹角超过了 16 度，调节重物球的质量为3000kg，其调节前和调节后36m/s的求解结果，调节 前：钢桶的倾斜角度为8.0293。从上到下的倾斜角度为2.1008 2.1061 2.1114 2.1168，游动区域为15.5842（ m）。调节后：钢桶的倾斜角度为 2.1222从上到下的倾斜角度为 7.85757.89987.94257.9856，游动区 域为 16.7009（ m）。对于问题三，在考虑风力和水流力的情况下，本文基于风力和水流力为一对 阻力的基础上，在布放点水的深度变化下，首先分别对浮标、钢管、钢桶及重物 球系统进行受力分析，重新建立静力学模型，再利用、二乙二软件进行求解出 在水深为:下，钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和 游动区域（结果见文中），同时推出更合理的系泊系统的设计。关键词：系泊系统的设计 静力学模型 单目标优化 力学方程组1问题重述1.1问题背景近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图 1所示）。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮 标的质量为1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖 移锚组成。锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链（链环中间没有档撑的0型 环）环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共4节，每节长 度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。要求锚链末端与锚的链接处的切 线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声 通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量 为100kg。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的 工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度（钢桶与 竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度， 钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。1.2问题提出问题一：假设海水静止时，在题中所给的浮标、钢管、钢桶、重物球、锚链、 锚的相关数据，分别别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜 角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。问题二：在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾 斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角 度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。问题三：由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m20m之间。 布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、 水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、 锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。2问题分析问题要求锚链末端与锚的连接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否 则锚会被拖行，且对于钢桶的倾斜角度超过5度时，设备的工作效果较差，为此， 我们要通过确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度与游动 区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。2.1问题1的分析问题要求在海水静止时，分别计算海面为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管 的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。为此，首先对传输节点示 意图进行整体分析进而分析浮标的受力情况，由立体几何中的相关知识平面直角 坐标系，对浮标、钢管、锚链、钢桶及重物球系统进行局部受力分析，然后通过 牛顿第一定律保持平衡静止，进而建立了静力学模型。对于吃水深度，通过水的 深度来计算，而浮标的游动区域，通过各个物体在水平方向的投影长度求解出游 动区域半径，然后利用MATLAB软件，求解出风速为12m/s时钢桶和各节钢管 的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域，风速为24m/s以此类推。2.2问题2的分析问题2是在问题1的假设下，求出风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角 度、锚链形状和浮标的游动区域；首先利用问题1的模型进行求解，发现钢桶的 倾斜角度超过5度，锚链在锚点与海床的夹角超过16度，为此，可将问题2建 立一个优化模型，并对所建立的模型，在满足钢桶的倾斜角度不超过5度、 锚链在锚点与海床的夹角不超过16度的情况下，利用MATLAB软件求解出尽可 能小的浮标吃水深度、钢桶倾斜角度及游动区域所对应的的重物球质量。2.3问题3的分析对于问题三，因为受到潮汐等因素的影响，布放点的海水速度最大可达到 1.5m/s、风速最大可达到36m/s，为此，在考虑风力、水流力和水深情况下的系 泊系统的设计，本文将在第一问的基础上，加上风力、水流力和水深情况，再对 各个物体进行受力分析，重新建立静力学模型。然后，以此模型为背景，设计出 更加合理的系泊系统。3模型假设1. 假设海水的密度是分布均匀的。2. 假设各个深度的水流的流速近似相等。3. 假设不考虑锚链自身的弹性伸长。4. 假设所用的重力加速度为9.8kg/m。5. 假设一切阻力忽略不计。4定义与符号说明符号符号说明P海水的密度G0浮标的重力l钢管的长度s物体在风向法平面的投影面积(m2)h吃浮标的吃水深度g重力加速度G球重物球的质量G桶钢桶的重力P钢桶与竖直方向的角度o单位长度锚链的质量R浮标游动区域半径S浮标游动区域m球重物球的质量5模型的建立与求解5.1问题一的解答5.1.1模型一的建立稳定后的系泊系统可以分为锚、锚链、钢桶和重物球、钢管、浮标五个 部分标五个部分，如图为系泊系统的结构图：图1系泊系统结构图下面对浮标、钢管、钢桶和重物球、锚链依次进行分析(一) 浮标的受力分析如图1所示，浮力在风速为v的情况下处于平衡状态，且对于浮力收到4个 力作用。G图2浮力的受力图其中，心为风速引起的力，F为在水中的浮力，其方向竖直向上，F1为 钢管对浮标的作用力，G为浮标的重力，s为物体在风向法平面的投影面积(m2)， h为浮标的高度，假设浮标的吃水深度为h ，由阿基米德原理可知，有如下关F = pg 丸 r 2 h浮吃针对浮标而言，当其处于受力平衡时，其受力方程如下所示:F浮=F cos 9 + G/ = F sin 9F = 0. 625sv21 = 0. 625d（h - h ）-风吃（二）四根钢管的受力分析图3钢管的受力分析（F cos 以1 1F1 cos 气 + F浮F sin 以F cos 以）上 l sin 922 21F2 cos 以2 + F浮F cos 以（F cos 以一 F cos 以）2 l sin 9=G + F cos 以33F sin 以（F2sin以2F sin 以）2 l cos 9由图2可知，对于第一节钢管的受力平衡为:=G + F cos 以=F sin 以=（F sin 以一 F sin 以）上 l cos 91122 21其中，l为钢管的长度，F2为第二节钢管对第一节钢管的作用力。 而对于其他钢管的受力分析以及力矩平衡，可以以此类推：第二节钢管的受力和力矩平衡分析：第三节钢管的受力和力矩平衡分析:F cos 以 + F浮 = G + F cos 以F cos 以=F sin 以（F cos 以33sin 以）-l cos 9423cos 以）4 l sin 9 = （F sin 以一 F4 23334第四节钢管的受力和力矩平衡分析:1（F4cos以4-F5F4 cos 以4 + F浮F cos 以cos 以）上 l sin 9524=G + F cos 以=F sin 以=（F sin 以一 F sin 以）4455l cos 94（三）对钢桶的受力分析aF桶浮4图4钢桶与重物球的受力分析图3的受力和力矩平衡状态如下:F4 cos 气 + F浮F cos 以（F cos 以-F cos 以）上 l sin 94455 24=G + F cos 以55F sin 以（F sin 以44sin以5）上 l cos 924其中，G、为重物球（铁球，密度为7900kg / m）的质量，G为钢桶的质量，F 为锚链对钢桶的作用力，F4为钢管对钢桶的作用力，p为钢桶与竖直方向的角5（四）对锚链的受力分析：利用微元法对锚链其中一节进行分析其中，T为锚对锚链的作用力，邛为作用力与水平面的夹角，mg为AB这一节 的重力。2则对于B点的受力分析如下：mg + T sin y = T sin y（1）T cos y = T cos y（2）利用*可得：tan y = mg + T业L（3）（2）T cos y 2由坐标系可知：d = tan y（4）dx联合（3）、（4）可知： 空=mg + T sin y2 dx T cos y对于锚链，m = 3七其中，s为单位长度锚链的质量，七为AB的长度。则有：空=3g + T2siny2（5）dxT2 cos y 2有弓瓜长公式：（dL）2 = （dx）2 + （dy）2得：dL = 1 + (空)2dx对其进行积分可得：L = j1 + (空)2dx代入(5)可 dx dx得：x T cos y = T sin y + l gj 1 + （空）2dx dx 2222 adx令空=k则有: dxk x T cos y = T sin y + gj J1 + k2dx对x进行求导：dk 十T cos y =g%1 + k2然后对x和k进行分离：金=Tdosr dx求解可得：ln（k + k 2 + 1） = g x + C（6）2 cos y2又因为arcsin hx = ln（x + vx2 + 1）代入（6）中得:dy = sinh(T 莫 x + C1)x2 y2对上式变量分离并积分得到锚链的曲线方程为：y = T2 cOsy2 cosh( x + C ) + CgT cos y 12基于以上对各物体的受力分析，便可得出所求问题的方程。1. 吃水深度的计算：对于吃水深度，我们利用整个系统在水中的深度减去除浮标以外的各物体在 竖直方向的高度，其公式如下：h = H -(I cos。+ l cos。+ l cos。+ l cos 0 + l cos 0 + y)吃12345 c其中，y为锚链的高度，H为水的深度。2. 游动区域的计算针对浮标的游动区域，可以把浮标行走的区域看成圆形区域，在风力达到最 大且方向保持不变时，游动区域半径达到最大，而半径的长度就为各个物体在水 平方向的投影区域，其中锚链在水平方向的距离为X，则浮标的游动区域半径& 如下：R = X + l sin P + l（sin 0 + sin 0 + sin 0 + sin 0 + sin 0b12345再利用圆的面积公式S =兀r 2便可得出浮标的游动区域。5.1.2模型一的求解与结果分析为求解当选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将 该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025X 103kg/m3的海域。 在海平面静止时，海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚 链形状、浮标的吃水深度和游动区域，利用所建立的静力学模型，通过MATLAB 软件便可求解。针对12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、浮标的吃水深度和游动区 域如表1所示表1倾斜角度、吃水深度和游动区域风速（m/s）1224第一节钢管倾斜角度1.07463.968第二节钢管倾斜角度1.08143.9916第三节钢管倾斜角度1.08824.0155第四节钢管倾斜角度1.09584.0397钢桶倾斜角度1.10234.0641吃水深度0.70450.7287游动区域14.78517.9502锚链末端与锚的切线方 向与海床的角度04.6当V为12m/s时，锚链的形状由图4可见:12108m位6单42005 单位：m 1015风速：12m/s时的锚链形状图6 12m/s的锚链形状由图4可知，当风速为12m/s时，锚链有一部分拖地，其拖地长度为6.3m，故 锚链与锚的倾斜角度为0度。当风速为24m/s时的锚链形状（锚链不拖地）为：图7 24m/s时锚链的形状5.2问题二的解答5.2.1模型二的建立由题目可知，当锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角超过16度， 锚就会被拖行，钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳，若钢桶倾斜则影响 设备的工作效果。当钢桶与竖直方向的夹角即倾斜角超过5度时，设备工作效 果较差，为此，我们建立以钢桶的倾斜角度尽可能小为目标函数，并以重物球的 质量范围、钢桶的倾斜角度不超过5度为约束条件的优化模型如下：min PJ1200 m 4000 0。 p 5。其中，P为钢桶的倾斜角度，m讦为重物球的质量，对所选取得变量进行无 球量钢化处理，再利用MATLAB软件进行求解并对结果进行比较和分析。5.2.2模型二的求解与结果分析首先，利用问题1的模型和算法求解出风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾 斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。发现使得钢桶的倾斜角度超过了5度，锚 链在锚点与海床的夹角超过了 16度，为此必须调节重物球的质量，所得调节重 物球质量后，铁桶与竖直方向的角度、锚链低端与海床的角度的变化如图：图8角度与重物球的质量变化1.当重物球的质量为1200 kg时的分析结果针对36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、游动区域如表2所示:表2风速36m/s的各倾斜角度、游动区域风速（m/s）36第一节钢管倾斜角度7.8575第二节钢管倾斜角度7.8998第三节钢管倾斜角度7.945第四节钢管倾斜角度7.9856钢桶倾斜角度8.0293游动区域16.7009其风速为36m/s时，锚链的形状如图:图9 36m/s前的锚链形状2.调节重物球质量后，其质量为3000 kg风速为36m/s的分析结果当风速为36m/s时，调节后各钢管的倾斜角度、游动区域如表3：表3各钢管的倾斜角度、游动区域风速（m/s）36第一节钢管倾斜角度2.1008第二节钢管倾斜角度2.1061第三节钢管倾斜角度2.1114第四节钢管倾斜角度2.1168钢桶倾斜角度2.122游动区域15.5842其调节重物球质量后锚链的形状如图:图10调节后的锚链形状5.3问题三的解答5.3.1模型三的建立问题三在潮汐因素的影响下，在考虑到风力、水流力和水深情况下的系泊系 统的设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度 和游动区域。为此，基于问题1的基础上，增加水流力和风力对其每一个物体进 行局部受力分析如下： 对于浮标的受力分析：U G+qcos Xi|F风F水 + F1 sin 七 对于第一节钢管的受力分析：7G + F cos 日 F浮 + F cos 日 F水 + F2 sin 七F1 sin 四, 、1 一一 ， 一 . 、1 一 -（F cos 日一 F cos 日）一 l sin 人（F sin - F sin 日）一 l cos 人1122 211122 21对于其它钢管的受力分析，可以以此类推，这里不做重述。对于钢桶及重物球系统的受力分析：rF cos 日+ F一 + F 一 G + G + T cos 日55 浮 球浮 球 桶 16 F cos 日=F sin 日 + F + F5544 球水 桶水一一、1 r - 一一、 1 r -（F cos 日 一 T cos 日） l sin 人一（F sin 日 一 T sin 日） l cos 人5516 255516255.3.2模型三的求解与结果分析最后，通过MATLAB工具分别分析出在水深为16m20m下钢桶、钢管的倾 斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域，如图：表6不同水深情况下各变量的求解结果水深（m）161820吃水深度0.95210.99681.0053第一节钢管 倾斜角4.80984.30384.2149第二节钢管 倾斜角4.76354.26834.1812第二节钢管 倾斜角4.78004.28234.1947第四节钢管 倾斜角4.79654.29624.2083钢桶倾斜角 度4.81314.31034.2219锚链角度11.88989.98306.1905游动半径25.7322.0022.15单位：m图11水深16m时锚链形状单位：m图12水深18m时锚链形状单位：m图13水深20m时锚链形状对于在风速为36m/s时，处于水深18m、16m、20m时锚链的形状如下图:6模型评价与推广模型的优点：1. 本文模型运用初级的力学知识，通俗易懂，便于推广。2. 利用MATLAB软件进行求解，操作性强、模型的缺点：1. 本文模型为计算锚链、重物球和钢管的浮力。2. 问题二中未考虑多个决策变量对系泊系统的影响。3. 问题二中利用单目标优化模型，是一种比较机械的模型，具有一定的局限性。4. 未考虑浮标在倾斜情况下的受力情况。模型的推广：本文研究的是系泊系统的设计问题，本质上是最优化问题，在综合考虑受 力约束和情况下，给出局部最优解。对于锚链运用悬链线原理进行建立模型，而 悬链线模型可以运用到多个地方，比如：悬索桥、双曲拱桥、架空电缆、双曲拱 坝都用到悬链线的原理。7.模型的改进本文只是基于浮标处于平衡状态时进行受力分析，但实际上浮标可能处于倾 斜状态下，故对于倾斜时的浮标进行受力分析如下：G虽然考虑倾斜的浮标，更符合实际情况，但其受力分析更复杂了，求解也就 更难了。8参考文献1 姜启源，谢金星，叶俊，数学模型，北京；高等教育出版社，2010年。2 唐友刚等。深海系泊系统动力学特性研究，中国知网。3 吴剑锋，王斌。基于悬链线法的锚链长度的计算，中国水运；第13卷 第1期；2013年。4 唐军，胡灵斌；悬链线方程的求解及其应用，船舶，第1期，2004年2 月。2017.8.25.14:005 王丹，刘嘉新，一般状态下悬链线方程的应用J,2007年，2017.8.25.14:359附录