资源描述
第第一一章章导导数数及及其其应应用用一创设情景一创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体求物体在任意时刻的速度与加速度等在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大小值等问题最一般、最有效的变化快慢、最大小值等问题最一般、最有效的工具。工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度对于另一个变量变化的快慢程度?.:,.?高度是多少高度是多少距水面的最大距水面的最大他他度度速速如何求他在某时刻的如何求他在某时刻的示示表表可用函数可用函数单位单位度度运动员相对于水面的高运动员相对于水面的高后后已知起跳已知起跳赛的瞬间赛的瞬间照片中锁定了运动员比照片中锁定了运动员比你看过高台跳水比赛吗你看过高台跳水比赛吗10569412 ttthmhs1 1.变变化化率率与与导导数数.,!丰丰富富多多彩彩的的变变化化率率问问题题随随处处可可见见让让我我们们从从其其中中的的两两个个问问题题 开开始始变变化化率率与与导导数数的的学学习习吧吧1 1 1.变变化化率率问问题题气球膨胀率气球膨胀率问题问题1?,.,.描述这种现象呢描述这种现象呢如何如何从数学的角度从数学的角度的半径增加得越来越慢的半径增加得越来越慢气球气球增加增加随着气球内空气容量的随着气球内空气容量的可以发现可以发现回忆一下吹气球的过程回忆一下吹气球的过程很多人都吹过气球很多人都吹过气球 ,):(:,334rrVdmrLV 之间的函数关系是位单与半径单位气球的体积我们知道 .,343VVrVr 那么的函数表示为体积如果把半径 ,.,cmrrLV6200110 气球半径增加了时增加到从当空气容积 ./.Ldmrr6200101 气球的平均膨胀率为 ,.,dmrrLL1601221 增加了气球半径时增加到当空气容量从类似地 ./.Ldmrr1601212 气球的平均膨胀率为.,胀率逐渐变小了它的平均膨随着气球体积逐渐变大可以看出?,均均膨膨胀胀率率是是多多少少气气球球的的平平时时增增加加到到当当空空气气的的容容量量从从思思考考21VV2121()()r Vr VVV高台跳水高台跳水问题问题2 .:,1056942 ttthstmh存在函数关系存在函数关系单位单位与起跳后的时间与起跳后的时间单位单位面的高度面的高度运动员相对于水运动员相对于水在高台跳水运动中在高台跳水运动中人们发现人们发现那么述其运动状态描时间内的平均速度如果我们用运动员某段,v ;/.,.smhhvt054050050500 这段时间里在 ./.,smhhvt28121221 这段时间里在?:,状状态态有有什什么么问问题题吗吗动动运运动动员员运运度度描描述述你你认认为为用用平平均均速速静静止止的的吗吗运运动动员员在在这这段段时时间间里里是是并并思思考考下下面面的的问问题题里里的的平平均均速速度度这这段段时时间间计计算算运运动动员员在在探探究究2149650 t65049065049()()(/)hhvs m虽然运动员在虽然运动员在 这段时间里的平均速度这段时间里的平均速度为为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态动员的运动状态49650t)/(0ms定义定义:平均变化率平均变化率:式子式子 称为称为函数函数 y=f(x)从从x1到到 x2的平均变化率的平均变化率.2121()()f xf xxx令令x=x2x1,f=f(x2)f(x1),那么那么2121()().f xf xfxxx定义定义注意：注意：式子中式子中x、f 的值可正、可负，的值可正、可负，但但x的值不能为的值不能为0，f 的值可以为的值可以为0 变式变式211121()()()().f xf xf xxf xxxx.,相乘相乘与与而不是而不是是一个整体符号是一个整体符号xx研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度?,.表示什么表示什么变化率变化率平均平均图图的图象的图象观察函数观察函数思考思考1212111xxxfxfxfxf Oxy 1xf 2xf xfy 12xfxf 12xx 1x2x111.图图直线直线AB的斜率的斜率AB.)()()(2211两两点点的的割割线线的的斜斜率率，上上的的点点它它是是曲曲线线xfxxfxxfy 某婴儿从出生到第某婴儿从出生到第1212个月的体重变个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到化如图所示，试分别计算从出生到第第3 3个月与第个月与第6 6个月到第个月到第1212个月该婴个月该婴儿体重的平均变化率儿体重的平均变化率T(月)W(kg)639123.56.58.611)月/(4.06126.811:个月体重12个月到第6第);月/(1035.35.6:个月体重3前:解kgkg平均变化率为平均变化率为练习：练习：1、2、3、4、292324yxx 在在 到到 的的平平均均变变化化率率为为32cos,yxx 当当的的平平均均变变化化率率为为0010yxxxxx 在在到到之之间间的的平平均均变变化化率率（）为为2211111_.yxyxyx 在在图图象象上上取取一一点点（，）及及邻邻近近一一点点（，），则则493001()xx xx+2小结：函数的平均变化率小结：函数的平均变化率（1代数意义：代数意义：（2几何意义：几何意义：212100()(),()()fxfxxxfxxxxfxxxyf 函函 数数 值值 变变 增增 量量自自量量 增增 量量121122()(,(),(,()f xxxA xf xB xf x从从 到到的的平平均均变变化化率率就就是是两两点点的的割割线线斜斜率率xyABX1X2fX1）fX2）ABykxXY
展开阅读全文