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Chapter 5,二次曲面与二次型小结,一、内容小结,二次曲面 与空间图形,2. 二次型及正定二次型,1. 曲面及其方程,旋转曲面:,柱面: (方程为缺项的方程),表母线平行于 z 轴的柱面;,表母线平行于 x 轴的柱面;,表母线平行于 y 轴的柱面.,单叶双曲面:,双叶双曲面:,2. 曲线及其投影曲线方程,曲线关于 的投影柱面,空间曲线在 面上的投影曲线:,面上的投影曲线:,面上的投影曲线:,3. 二次型及标准形与矩阵表示,4. 正定二次型及判别法,定义.,定理.,二、题型及方法,1. 写出旋转曲面方程，投影柱面方程，投影曲线方程,2. 将二次型化为标准形（正交变换法）,3. 判别二次型的正定性 （特征值法、顺序主子式法与定义法）,1. 关于曲面及投影的例题,Solution.,Solution.,Solution.,2. 将二次型化为标准形,Solution.,单位化得,单位化得,于是正交变换为 x Py ,ex5. 判别二次型的正定性：,Solution.,3. 判别二次型的正定性,ex6. t 为何值时, 下列二次型是正定的：,Solution.,Solution.,4. 综合题,特征值为：,从而有标准形方程，,(舍去),为椭圆柱面,标准方程为:,Solution.,Solution.,The end,Proof.,存在正交矩阵P, 使得,Proof.,存在正交矩阵P, 使得,Proof.,The end,定理1.,设A为n阶实对称矩阵, 则下列命题等价:,定理2.,设A为n阶实对称矩阵, 则下列命题等价:,
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