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第四十讲 椭圆,回归课本 1.椭圆的定义 (1)定义:平面内两定点为F1F2,当动点P满足条件点P到点F1F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)时,P点的轨迹为椭圆;F1F2是椭圆的两个焦点. (2)定义的数学表达式为:|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|). (3)注意:定义中,“定值大于|F1F2|”(即2a2c)是必要条件.当2a=2c时,动点轨迹是两焦点的连线段;而当2a2c时,动点轨迹不存在.,2.椭圆的标准方程与几何性质,考点陪练 1.已知两定点A(-1,0),B(1,0),点M满足|MA|+|MB|=2,则点M的轨迹是( ) A.圆B.椭圆 C.线段D.直线 答案:C,答案:D,答案:A,答案:C,类型一 椭圆的定义 解题准备:(1)椭圆是圆锥曲线中最重要的内容之一,因而也是高考命题的热点.而椭圆的定义与标准方程往往是主要的考查点,也是研究其它椭圆问题的基础. (2)椭圆的定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的和为常数(大于|F1F2|)的动点的轨迹(或集合)叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.用集合表示:椭圆上的点M满足集合 均为常数且2a2c.,(3)涉及椭圆定义的问题时,一定要注意“2a2c”这一个前提条件.因为当平面内的动点与定点F1F2的距离之和等于|F1F2|时,其动点轨迹就是线段F1F2;当平面内的动点与定点F1F2的距离之和小于|F1F2|时,其轨迹不存在.,【典例1】一动圆与已知圆O1:(x+3)2+y2=1外切,与圆O2:(x-3)2+y2=81内切,试求动圆圆心的轨迹方程. 解两定圆的圆心和半径分别是O1(-3,0),r1=1, O2(3,0),r2=9.设动圆圆心为M(x,y),半径为R, 则由题设条件,可知 |MO1|=1+R,|MO2|=9-R, |MO1|+|MO2|=10, 由椭圆的定义知:M在以O1O2为焦点的椭圆上,且 a=5,c=3,b2=a2-c2=25-9=16, 故动圆圆心的轨迹方程为,反思感悟先根据定义判断轨迹的类型,再用待定系数法求轨迹方程的方法叫定义法.用定义法求轨迹方程时,应首先充分挖掘图形的几何性质,找出动点满足的几何条件,看其是否符合某种曲线的定义,如本例,根据平面几何知识,列出内切外切的条件后,可发现利用动圆的半径过渡,恰好符合椭圆的定义,从而用待定系数法求解,这里充分利用椭圆的定义是解题的关键.,类型二求椭圆的标准方程 解题准备:(1)定义法; (2)待定系数法.若已知焦点的位置可唯一确定标准方程;若焦点位置不确定,可采用分类讨论来确定方程的形式,也可以直接设椭圆的方程为Ax2+By2=1,其中A,B为不相等的正常数或由已知条件设椭圆系 来求解,以避免讨论和繁琐的计算.,类型三椭圆的几何性质 解题准备:1.对椭圆几何性质的考查一直是高考命题的一个热点,尤其是对椭圆离心率的求解问题,更是考查的重点.,2.对于焦点在x轴上,中心在原点的椭圆 有以下性质:范围:-axa,-byb.椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形框里;对称性:椭圆关于x轴y轴和原点都是对称的;椭圆有四个顶点A1(-a,0)A2(a,0)B1(0,-b)B2(0,b).线段A1A2和B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于2a和2b;椭圆的离心率,反思感悟求解与几何性质有关的问题时要结合图形进行分析,即使不画出图形,思考时也要联想到图形.当涉及到顶点焦点长轴短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系,建立基本量之间的联系.,类型四直线与椭圆的位置关系 解题准备:1.直线方程与椭圆方程联立,消元后得到一元二次方程,然后通过判别式来判断直线和椭圆相交相切或相离. 2.消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标,通常是写成两根之和与两根之积的形式,这是进一步解题的基础.,【典例4】已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于AB两点(AB不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.,分析(1)由a+c=3,a-c=1,可求a、c.(2)直线方程与椭圆方程联立后得到交点AB的坐标关系,再根据以AB为直径的圆过椭圆的右顶点可得到两直线垂直,从而求得交点AB的坐标关系,联立后可求k、m的关系.,反思感悟(1)直线方程与椭圆方程联立,消元后得到一元二次方程,然后通过判别式来判断直线和椭圆相交相切或相离的情况. (2)消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标,通常是写成两根之和与两根之积的形式,这是进一步解题的基础.,错源一 定义理解不清致错 【典例1】已知A(4,0),B(2,2)是椭圆 内的一点,如图所示,M是椭圆上的一动点,求|MA|+|MB|的范围. 错解欲使|MA|+|MB|最大或最小,考虑动点M在椭圆上的位置,再结合图形,由于A是椭圆的右焦点,当M是左顶点时,|MA|最大,当M是右顶点时,|MA|最小.于是|MA|+|MB|的最大值为 最小值为,剖析当|MA|最大时,|MA|+|MB|就一定最大吗?显然,不一定. 正解易知A(4,0)为椭圆的右焦点,设左焦点为F1,由a2=25知|MF1|+|MA|=10,因此|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF1|.问题转化为“求椭圆上一点到B,F1两点距离之差的最大值与最小值”;连接B,F1并延长交椭圆于两点;其一使|MB|-|MF1|最大,另一个使|MB|-|MF1|最小.则|MA|+|MB|的最大值为 最小值为,错源二 忽视焦点位置致错,答案12或20,错源三 忽视变量的范围致错,剖析0只能保证方程x2-6x+2k=0有解,而不能保证原方程组有解.因为原方程组中有隐含条件0 x2,消去y后得到关于x的一元二次方程看不到这个限制条件.,技法一 求焦点位置不确定的椭圆方程 焦点位置不确定的椭圆标准方程常设为:mx2+ny2=1(m0,n0且mn). 【典例1】已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的2倍,并且过点P(2,-6),求椭圆的方程.,技法二 求与已知椭圆共焦点的椭圆方程,
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