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第2课时平面与平面垂直,第一章1.2.3空间中的垂直关系,学习目标 1.理解面面垂直的定义，并能画出面面垂直的图形. 2.掌握面面垂直的判定定理及性质定理，并能进行空间垂直的相互转化. 3.掌握面面垂直的证明方法，并能在几何体中应用.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一平面与平面垂直的定义,1.条件：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直. 2.结论：两个平面互相垂直. 3.记法：平面，互相垂直，记作.,知识点二平面与平面垂直的判定定理,思考建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直.当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？,答案都是垂直.,梳理平面与平面垂直的判定定理,垂线,a,知识点三平面与平面垂直的性质定理,思考黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？,答案容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直.,梳理,垂直于它们,交线的直线,思考辨析 判断正误 1.若l，则过l有无数个平面与垂直.() 2.若平面平面，任取直线l，则必有l.() 3.已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.(),题型探究,例1如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面 ABCD，点E在棱PB上，求证：平面AEC平面PDB.,类型一面面垂直的判定,证明,证明设ACBDO，连接OE， ACBD，ACPD，PD，BD为 平面PDB内两条相交直线， AC平面PDB. 又AC平面AEC， 平面AEC平面PDB.,反思与感悟应用判定定理证明平面与平面垂直的基本步骤,跟踪训练1如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB90，AC AA1，D是棱AA1的中点.证明：平面BDC1平面BDC.,证明,证明由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC， 所以BC平面ACC1A1. 又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC. 由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190， 即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面BDC. 又DC1平面BDC1，所以平面BDC1平面BDC.,类型二面面垂直的性质定理及应用,例2如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，平面PAB平面PBC. 求证：BCAB.,证明,证明如图，在平面PAB内， 作ADPB于D. 平面PAB平面PBC， 且平面PAB平面PBCPB. AD平面PBC. 又BC平面PBC，ADBC. 又PA平面ABC，BC平面ABC，PABC， 又PAADA，BC平面PAB. 又AB平面PAB，BCAB.,反思与感悟证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直.(2)直线必须在其中一个平面内.(3)直线必须垂直于它们的交线.,跟踪训练2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是DAB60且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点. 求证：(1)BG平面PAD；,证明平面PAD平面ABCD， 平面PAD平面ABCDAD， 又四边形ABCD是菱形且DAB60， ABD是正三角形，BGAD. BG平面PAD.,证明,(2)ADPB.,证明由(1)可知BGAD，PGAD. 又BGPGG， AD平面PBG，又PB平面PBG， ADPB.,证明,类型三垂直关系的综合应用,例3如图所示，ABC为正三角形，CE平面ABC，BDCE，且CEAC2BD，M，N分别是AE，AC的中点，求证： (1)DEDA；,解答,解取CE的中点F，连接DF，易知DFBC， 因为CE平面ABC， 所以CEBC，所以CEDF. 因为BDCE，所以BD平面ABC， 所以BDAB. 在RtEFD和RtDBA中，,所以RtEFDRtDBA， 所以DEDA.,(2)平面BDMN平面ECA；,解因为EC平面ABC，所以ECBN， 因为ABC为正三角形，所以BNAC. 因为ECACC， 所以BN平面ECA. 又因为BN平面BDMN， 所以平面BDMN平面ECA.,解答,(3)平面DEA平面ECA.,解因为M，N分别是AE，AC的中点，,解答,所以四边形MNBD是平行四边形， 所以DMBN， 由(2)知BN平面ECA， 所以DM平面ECA. 又因为DM平面DEA， 所以平面DEA平面ECA.,反思与感悟在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：,跟踪训练3如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分别是CD和PC的中点，求证： (1)PA底面ABCD；,证明PAAD，平面PAD平面ABCD， 平面PAD平面ABCDAD， 由平面和平面垂直的性质定理可得PA平面ABCD.,证明,(2)BE平面PAD；,证明ABCD，ABAD，CD2AB，E和F分别是CD和PC的中点， 故四边形ABED为平行四边形，故有BEAD. 又AD平面PAD，BE平面PAD，BE平面PAD.,证明,(3)平面BEF平面PCD.,证明,证明在平行四边形ABED中，由ABAD可得，ABED为矩形，故有BECD. 由PA平面ABCD，可得PAAB，再由ABAD可得AB平面PAD， CD平面PAD，故有CDPD. 再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EFPD， CDEF. 而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD平面BEF. 由于CD平面PCD，平面BEF平面PCD.,达标检测,答案,1.下列四个命题 垂直于同一条直线的两条直线相互平行； 垂直于同一个平面的两条直线相互平行； 垂直于同一条直线的两个平面相互平行； 垂直于同一个平面的两个平面相互平行. 其中错误的命题有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,1,2,3,4,5,解析,1,2,3,4,5,解析垂直于同一条直线的两条直线相互平行，不正确，如正方体的一个顶角的三个边就不成立； 垂直于同一个平面的两条直线相互平行，根据线面垂直的性质定理可知正确； 垂直于同一条直线的两个平面相互平行，根据面面平行的判定定理可知正确； 垂直于同一个平面的两个平面相互平行，不正确，如正方体相邻的三个面就不成立.故选B.,2.如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是 A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直 B.它们两两垂直 C.平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直 D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直,1,2,3,4,5,答案,解析,解析PA平面ABCD，PABC. 又BCAB，PAABA， BC平面PAB，BC平面PBC， 平面PBC平面PAB. 由ADPA，ADAB，PAABA， 得AD平面PAB. AD平面PAD，平面PAD平面PAB. 由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直，故选A.,1,2,3,4,5,1,2,3,3.如图，在四面体ABCD中，已知ABAC，BDAC，那么D在面ABC内的正投影H必在 A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.ABC内部,4,5,解析,解析在四面体ABCD中，已知ABAC， BDAC，ABBDB， AC平面ABD. 又AC平面ABC， 平面ABC平面ABD，平面ABC平面ABDAB， D在面ABC内的射影H必在AB上.故选A.,答案,1,2,3,4,5,4.如图所示，已知AF平面ABCD，DE平面ABCD，且AFDE，AD6，则EF_.,解析,解析AF平面ABCD，DE平面ABCD， AFDE. 又AFDE，四边形AFED为平行四边形， 故EFAD6.,答案,6,5.如图所示，在四棱锥SABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC平面ABCD，E为SA的中点. 求证：平面EBD平面ABCD.,证明,证明连接AC与BD交于O点，连接OE. O为AC的中点，E为SA的中点， EOSC. SC平面ABCD， EO平面ABCD. 又EO平面EBD， 平面EBD平面ABCD.,1,2,3,4,5,1.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：,规律与方法,2.运用平面垂直的性质定理时，一般需要作铺助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.,
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