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章末复习,第一章立体几何初步,学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识. 2.熟练掌握平行关系与垂直关系，能自主解决一些实际问题. 3.掌握几何体的三视图与直观图，能计算几何体的表面积与体积.,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.空间几何体的结构特征及其侧面积和体积,互相平行,四边形,互相平行,多边形,公共顶点,有一个,锥底面,平行于棱,矩形的一边,一条直角边,平行于圆锥底面,底面和截面,半圆的直径,半圆面,2.空间几何体的三视图与直观图 (1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形； 它包括主视图、左视图、俯视图三种.画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则.注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出.熟记常见几何体的三视图.画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验.,(2)斜二测画法：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法.它的主要步骤： 画轴；画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x、y、z轴的线段；截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半. 三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化. (3)转化思想在本章应用较多，主要体现在以下几个方面 曲面化平面，如几何体的侧面展开，把曲线(折线)化为线段. 等积变换，如三棱锥转移顶点等. 复杂化简单，把不规则几何体通过分割，补体化为规则的几何体等.,3.四个公理 公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2：过 的三点，有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 . 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 .,两点,不在同一条直线上,一条过该点的公共直线,平行,4.直线与直线的位置关系 _ 共面直线 _ 异面直线：不同在_一个平面内，没有公共点,平行,任何,相交,5.平行的判定与性质 (1)直线与平面平行的判定与性质,a,a，b， ab,a，a， b,a,(2)面面平行的判定与性质,a，b， abP， a，b,， a， b,(3)空间中的平行关系的内在联系,6.垂直的判定与性质 (1)直线与平面垂直,任意,mnO,a,b,ab,(2)平面与平面垂直的判定与性质定理,垂线,(3)空间中的垂直关系的内在联系,7.空间角 (1)异面直线所成的角 定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的 叫作异面直线a，b所成的角(或夹角). 范围：设两异面直线所成角为，则 . (2)二面角的有关概念 二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫作二面角. 二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作 的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.,锐角(或直角),090,两个半平面,垂直于棱,1.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，若m，n，则mn.( ) 2.已知a，b是两异面直线，ab，点Pa且Pb，一定存在平面，使P，a且b.( ) 3.平面平面，直线a，直线b，那么直线a与直线b的位置关系一定是垂直.( ) 4.球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径.( ) 5.若m，n在平面内的射影依次是一个点和一条直线，且mn，则n或n.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,类型一由三视图求几何体的表面积与体积,例1某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.12 B.18 C.24 D.30,答案,解析,解析由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由主视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的.在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示.,故几何体ABCPA1C1的体积为30624.故选C.,在图(1)中，,反思与感悟(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量. (2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积问题要注意衔接部分的处理. (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.,跟踪训练1已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为,答案,解析,解析将三视图还原为直观图求体积. 由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，,类型二平行问题,例2如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB平面ABCD，MAPB，PB2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.,解答,解当点F是PB的中点时，平面AFC平面PMD，证明如下： 如图连接AC和BD交于点O，连接FO， 四边形ABCD是平行四边形， O是BD的中点. OFPD. 又OF平面PMD，PD平面PMD，,PFMA，PFMA. 四边形AFPM是平行四边形. AFPM.又AF平面PMD，PM平面PMD. AF平面PMD. 又AFOFF，AF平面AFC，OF平面AFC. 平面AFC平面PMD.,反思与感悟(1)证明线线平行的依据 平面几何法(常用的有三角形中位线、平行四边形对边平行)；公理4；线面平行的性质定理；面面平行的性质定理；线面垂直的性质定理. (2)证明线面平行的依据 定义；线面平行的判定定理；面面平行的性质. (3)证明面面平行的依据 定义；面面平行的判定定理；线面垂直的性质；面面平行的传递性.,证明,跟踪训练2如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2 .点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH. (1)证明：GHEF；,证明因为BC平面GEFH，BC平面PBC， 且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC. 同理可证EFBC， 因此GHEF.,解答,(2)若EB2，求四边形GEFH的面积.,解连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK. 因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC，同理可得POBD. 又BDACO，且AC，BD平面ABCD， 所以PO平面ABCD. 又因为平面GEFH平面ABCD， 所以平面GEFH必过平面ABCD的一条垂线， 所以PO平行于这条垂线， 且PO平面GEFH， 所以PO平面GEFH. 又因为平面PBD平面GEFHGK，PO平面PBD，,所以POGK， 所以GK平面ABCD. 又EF平面ABCD， 所以GKEF， 所以GK是梯形GEFH的高. 由AB8，EB2，得EBABKBDB14，,所以GK3，,类型三垂直问题,例3如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点. 证明：(1)CDAE；,证明在四棱锥PABCD中， PA底面ABCD，CD平面ABCD， PACD. ACCD，PAACA，PA，AC平面PAC， CD平面PAC. 而AE平面PAC，CDAE.,证明,(2)PD平面ABE.,证明,证明由PAABBC，ABC60，可得ACPA. E是PC的中点， AEPC. 由(1)知，AECD， 且PCCDC，PC，CD平面PCD， AE平面PCD. 而PD平面PCD， AEPD. PA底面ABCD，AB底面ABCD，,PAAB. 又ABAD且PAADA，PA，AD平面PAD， AB平面PAD，而PD平面PAD， ABPD. 又ABAEA，AB，AE平面ABE， PD平面ABE.,反思与感悟(1)两条异面直线相互垂直的证明方法 定义； 线面垂直的性质. (2)直线和平面垂直的证明方法 线面垂直的判定定理； 面面垂直的性质定理. (3)平面和平面相互垂直的证明方法 定义； 面面垂直的判定定理.,证明,跟踪训练3如图，斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是直角三角形，ACB90，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BCCAAA1. (1)求证：平面ACC1A1平面B1C1CB；,证明设BC的中点为M， 点B1在底面ABC上的射影恰好是点M， B1M平面ABC. AC平面ABC， B1MAC. 又BCAC，B1MBCM，B1M，BC平面B1C1CB， AC平面B1C1CB. 又AC平面ACC1A1， 平面ACC1A1平面B1C1CB.,证明,(2)求证：BC1AB1.,证明连接B1C. AC平面B1C1CB， ACBC1. 在斜三棱柱ABCA1B1C1中， BCCC1. 四边形B1C1CB是菱形， B1CBC1. 又B1CACC， BC1平面ACB1， BC1AB1.,类型四空间角问题,例4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点. (1)求证：平面MNF平面ENF；,证明,证明连接MN， N，F均为所在棱的中点， NF平面A1B1C1D1. 而MN平面A1B1C1D1， NFMN. 又M，E均为所在棱的中点， C1MN和B1NE均为等腰直角三角形. MNC1B1NE45， MNE90，,MNNE，又NENFN， MN平面NEF. 而MN平面MNF， 平面MNF平面ENF.,(2)求二面角MEFN的正切值.,解答,解在平面NEF中，过点N作NGEF于点G，连接MG. 由(1)知MN平面NEF， 又EF平面NEF， MNEF.又MNNGN， EF平面MNG， EFMG. MGN为二面角MEFN的平面角. 设该正方体的棱长为2，,反思与感悟(1)面面垂直的证明要化归为线面垂直的证明，利用垂直关系的相互转化是证明的基本方法； (2)找二面角的平面角的方法有以下两种：作棱的垂面；过一个平面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线.,证明,跟踪训练4如图，在圆锥PO中，已知PO底面O，PO ，O的直径AB2，C是 的中点，D为AC的中点. (1)证明：平面POD平面PAC；,证明连接OC. PO底面O，AC底面O， ACPO. OAOC，D是AC的中点， ACOD. 又ODPOO， AC平面POD. 又AC平面PAC， 平面POD平面PAC.,解答,(2)求二面角BPAC的余弦值.,解在平面POD内，过点O作OHPD于点H. 由(1)知，平面POD平面PAC， 又平面POD平面PACPD， OH平面PAC. 又PA平面PAC， PAOH. 在平面PAO中，过点O作OGPA于点G，连接HG， 则有PA平面OGH， PAHG. 故OGH为二面角BPAC的平面角.,C是 的中点，AB是直径， OCAB. 在RtPOD中， 在RtPOA中，,达标检测,1.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是 A.是棱台 B.是圆台 C.是棱锥 D.不是棱柱,答案,1,2,3,4,5,解析,1,2,3,4,解析图不是由棱锥截来的，所以不是棱台； 图上、下两个面不平行，所以不是圆台； 图是棱锥，图前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以是棱柱，故选C.,5,解析如果m，则m不平行于； 若m，n，则m，n相交，平行或异面， 若，则，相交或平行.,1,2,3,4,解析,答案,5,2.设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个说法： 若m，n，则mn；若，m，则m；若m，n，则mn；若，则. 其中正确说法的序号是 A. B. C. D.,3.正方体的8个顶点中，有4个为每个面都是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为,答案,解析,解析设正方体棱长为a，S正方体表面积6a2，,1,2,3,4,5,1,2,3,4,解析,答案,5,4.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是_cm2，体积是_cm3.,40,80,1,2,3,4,5,解析由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成， 上面正方体的边长为2 cm，下面长方体的底面边长为4 cm，高为2 cm， 其直观图如图所示， 其表面积S62224242422280(cm2). 体积V22244240(cm3).,1,2,3,4,证明,5,5.如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点. (1)求证：VB平面MOC； 证明因为O，M分别为AB，VA的中点， 所以OMVB. 又因为VB平面MOC，OM平面MOC， 所以VB平面MOC.,1,2,3,4,证明,5,(2)求证：平面MOC平面VAB. 证明因为ACBC，O为AB的中点， 所以OCAB. 又因为平面VAB平面ABC， 平面VAB平面ABCAB， 且OC平面ABC， 所以OC平面VAB. 又因为OC平面MOC， 所以平面MOC平面VAB.,1.转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为,规律与方法,2.研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决. 另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决.,
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