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8.3空间点、直线、平面之间 的位置关系,知识梳理,考点自测,1.平面的基本性质,两点,同一条直线上的三点,知识梳理,考点自测,有且只有一条,知识梳理,考点自测,平行,相交,任何,锐角(或直角),知识梳理,考点自测,4.等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 5.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况. 6.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.,知识梳理,考点自测,1.公理2的三个推论 推论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面. 2.异面直线判定的一个定理 过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.,知识梳理,考点自测,知识梳理,考点自测,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.() (2)两个平面,有一个公共点A,就说,相交于A点,记作=A. () (3)已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,则c与b不可能是平行直线. () (4)两个不重合的平面,有一条公共直线a,就说平面,相交,并记作=a. () (5)若a,b是两条直线,是两个平面,且a,b,则a,b是异面直线. (),知识梳理,考点自测,2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BC,BB1的中点,则下列直线与直线EF相交的是() A.直线AA1 B.直线A1B1 C.直线A1D1 D.直线B1C1,D,解析:只有B1C1与EF在同一平面内,是相交的.选项A,B,C中直线与EF都是异面直线,故选D.,知识梳理,考点自测,3.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,则c与b () A.一定是异面直线B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线,C,解析:由已知得,直线c与b可能为异面直线,也可能为相交直线,但不可能为平行直线,若bc,则ab,与已知a,b为异面直线相矛盾.,知识梳理,考点自测,4.(2017全国,文6)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是(),A,知识梳理,考点自测,解析:易知选项B中,ABMQ,且MQ平面MNQ,AB平面MNQ,则AB平面MNQ;选项C中,ABMQ,且MQ平面MNQ,AB平面MNQ,则AB平面MNQ;选项D中,ABNQ,且NQ平面MNQ,AB平面MNQ,则AB平面MNQ.故排除选项B,C,D.故选A.,知识梳理,考点自测,5.下列命题正确的个数为. 经过三点确定一个平面; 梯形可以确定一个平面; 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面; 若两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.,2,解析:经过不共线的三点可以确定一个平面,不正确;两条平行线可以确定一个平面,正确;两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面,正确;命题中没有说清三个点是否共线,不正确.,考点一,考点二,考点三,平面的基本性质及应用 例1(1)如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,BAD= FAB=90, ,G,H分别为FA,FD的中点. 四边形BCHG的形状是; 点C,D,E,F,G中,能共面的四点是. (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC与BD交于点M,则点O与直线C1M的关系是.,平行四边形,C,D,E,F,点O在直线C1M上,考点一,考点二,考点三,考点一,考点二,考点三,(2)如图所示,因为A1C平面A1ACC1,OA1C,所以O平面A1ACC1,而O是平面BDC1与直线A1C的交点,所以O平面BDC1,所以点O在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上.因为ACBD=M,所以M平面BDC1.又M平面A1ACC1,所以平面BDC1平面A1ACC1=C1M,所以OC1M.,考点一,考点二,考点三,思考共面、共线、共点问题的证明有哪些方法? 解题心得共面、共线、共点问题的证明 (1)证明点或线共面问题的两种方法:首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后证其余的线(或点)在这个平面内;将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合. (2)证明点共线问题的两种方法:先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;直接证明这些点都在同一条特定直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.,考点一,考点二,考点三,对点训练1(1)如图,=l,A,B,C,且Cl,直线ABl=M,过A,B,C三点的平面记作,则与的交线必通过() A.点A B.点B C.点C但不过点M D.点C和点M (2)以下四个命题中: 不共面的四点中,其中任意三点不共线;若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面;若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;依次首尾相接的四条线段必共面.正确命题的个数是() A.0B.1C.2D.3,D,B,考点一,考点二,考点三,解析: (1)A,B,MAB,M. 又=l,Ml,M. 根据公理3可知,M在与的交线上. 同理可知,点C也在与的交线上. (2)正确,否则三点共线和第四点必共面;错,如图三棱锥,能符合题意,但A,B,C,D,E不共面;从的几何体知,错;由空间四边形可知,错.,考点一,考点二,考点三,空间两条直线的位置关系(多考向) 考向1两直线位置关系的判定 例2a,b,c为三条不重合的直线,已知下列结论: 若ab,ac,则bc; 若ab,ac,则bc; 若ab,bc,则ac. 其中正确的个数为() A.0B.1C.2D.3,B,解析:方法一:在空间中,若ab,ac,则b,c可能平行,也可能相交,还可能异面,所以错误,显然成立. 方法二:构造长方体或正方体模型可快速判断,错误,正确.,思考如何比较直观地判断两直线的位置关系?,考点一,考点二,考点三,考向2异面直线的判定 例3如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论: 直线AM与CC1是相交直线; 直线AM与BN是平行直线; 直线BN与MB1是异面直线; 直线AM与DD1是异面直线. 其中正确的结论为(把你认为正确的结论序号都填上).,解析:因为点A在平面CDD1C1外,点M在平面CDD1C1内,直线CC1在平面CDD1C1内,CC1不过点M,所以AM与CC1是异面直线,故错;取DD1中点E,连接AE,则BNAE,但AE与AM相交,故错;因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内,点M在平面BCC1B1外,BN不过点B1,所以BN与MB1是异面直线,故正确;同理正确.故填.,考点一,考点二,考点三,思考空间两条直线位置关系的判定方法有哪些?,考点一,考点二,考点三,考向3异面直线所成的角 例4(2017全国,理10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中, ABC=120,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(),C,解析:方法一:如图,取AB,BB1,B1C1的中点M,N,P,连接MN,NP,PM, 可知AB1与BC1所成的角等于MN与NP所成的角.,考点一,考点二,考点三,考点一,考点二,考点三,思考求异面直线所成角的方法有哪些?,考点一,考点二,考点三,解题心得1.点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型,以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系,准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直. 2.空间两条直线位置关系的判定方法,考点一,考点二,考点三,3.求解异面直线所成角的方法,考点一,考点二,考点三,对点训练2(1)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面内,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列命题正确的是() A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交 (2)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是() A.l1l4 B.l1l4 C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定,D,D,考点一,考点二,考点三,(3)在图中,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有.(填上所有正确答案的序号),考点一,考点二,考点三,(4)(2017四川成都三诊,文8)在我国古代数学名著九章算术中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑,如图,在鳖臑ABCD中,AB平面BCD,且AB=BC=CD,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为(),A,考点一,考点二,考点三,解析: (1)l1与l在平面内,l2与l在平面内,若l1,l2与l都不相交,则l1l,l2l,根据直线平行的传递性,则l1l2,与已知矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交. (2)构造如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1,取l1为AD,l2为AA1,l3为A1B1,当取l4为B1C1时,l1l4,当取l4为BB1时,l1l4,故排除A,B,C,选D.,考点一,考点二,考点三,(3)图中,直线GHMN;图中,G,H,N三点共面,但M平面GHN,因此直线GH与MN异面;图中,连接GM,则GMHN,因此GH与MN共面;图中,G,M,N共面,但H平面GMN,因此GH与MN异面.所以在图中,GH与MN异面. (4)如图所示,分别取AB,AD,BC,BD的中点E,F,G,O, 则EFBD,EGAC,FOOG, FEG为异面直线AC与BD所成角.,考点一,考点二,考点三,空间中线面的位置关系 例5设直线m与平面相交但不垂直,则下列说法正确的是() A.在平面内有且只有一条直线与直线m垂直 B.过直线m有且只有一个平面与平面垂直 C.与直线m垂直的直线不可能与平面平行 D.与直线m平行的平面不可能与平面垂直,B,考点一,考点二,考点三,解析:如图,m是平面的斜线,PA,l,lAB,则lm,平面内所有与l平行的直线都垂直于m,故A错; 由题意可知过m有且只有一个平面PAB与平面垂直,假设有两个平面都与平面垂直,则这两个平面的交线m应与平面垂直,与条件矛盾,故B正确; 又l,ll,l, lm,lm,故C错; 又在平面内取不在直线AB上的一点D, 过D可作平面与平面PAB平行, m, 平面PAB,平面,故D错.,考点一,考点二,考点三,思考如何借助空间图形确定线面位置关系? 解题心得解决这类问题的关键就是熟悉直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系及相应的公理定理,归纳整理平面几何中成立但立体几何中不成立的命题,并在解题过程中注意避免掉入由此设下的陷阱.判断时可由易到难进行,一般是作图分析,构造出符合题设条件的图形或反例来判断.,考点一,考点二,考点三,对点训练3已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点P,Q,R分别是线段B1B,AB和A1C上的动点,观察直线CP与D1Q,CP与D1R,给出下列结论: 对于任意给定的点P,存在点Q,使得D1QCP; 对于任意给定的点Q,存在点P,使得CPD1Q; 对于任意给定的点P,存在点R,使得D1RCP; 对于任意给定的点R,存在点P,使得CPD1R. 其中正确的结论是.(填序号),考点一,考点二,考点三,解析:当点P与B重合时,DD1CP,若D1QCP,又DD1D1Q=D1,则CP平面DD1Q,CPDQ,此时,在AB上不存在点Q使CPDQ,所以错误; 当点P与B1重合时,CPAB,且CPAD1,所以CP平面ABD1. 因为对于任意给定的点Q,都有D1Q平面ABD1,所以对于任意给定的点Q,存在点P,使得CPD1Q,所以正确; 只有CP垂直D1R在平面BCC1B1中的射影时,D1RCP,所以正确; 当点R与A1重合时,D1RB1C1,若D1RCP,则B1C1CP,此时在BB1上不存在点P使B1C1CP,所以错误.,考点一,考点二,考点三,1.公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据;公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据;公理3是证明三线共点或三点共线的依据.要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理. 2.判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面.,考点一,考点二,考点三,1.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”,实质上两异面直线不能确定任何一个平面,因此异面直线既不平行,也不相交. 2.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.,
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