资源描述
章末复习,第一章立体几何初步,学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识. 2.熟练掌握平行关系与垂直关系，能自主解决一些实际问题. 3.掌握几何体的直观图，能计算几何体的表面积与体积.,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.空间几何体的结构特征及其侧面积和体积,互相平行,四边形,互相平行,多边形,公共顶点,有一个,锥底面,平行于棱,矩形的一边,一条直角边,平行于圆锥底面,底面和截面,半圆的直径,半圆面,2.空间几何体的直观图 (1)斜二测画法：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法.它的主要步骤： 画轴；画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x、y、z轴的线段；截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半.,(2)转化思想在本章应用较多，主要体现在以下几个方面 曲面化平面，如几何体的侧面展开，把曲线(折线)化为线段. 等积变换，如三棱锥转移顶点等. 复杂化简单，把不规则几何体通过分割，补体化为规则的几何体等.,3.四个公理 公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2：过 的三点，有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 . 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 .,两点,不在同一条直线上,一条过该点的公共直线,平行,4.直线与直线的位置关系 _ 共面直线 _ 异面直线：不同在_一个平面内，没有公共点,平行,任何,相交,5.平行的判定与性质 (1)直线与平面平行的判定与性质,a,a，b， ab,a，a， b,a,(2)面面平行的判定与性质,a，b， abP， a，b,， a， b,(3)空间中的平行关系的内在联系,6.垂直的判定与性质 (1)直线与平面垂直,任意,mnO,a,b,ab,(2)平面与平面垂直的判定与性质定理,垂线,(3)空间中的垂直关系的内在联系,7.空间角 (1)异面直线所成的角 定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的 叫作异面直线a，b所成的角(或夹角). 范围：设两异面直线所成角为，则 . (2)二面角的有关概念 二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫作二面角. 二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作 的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.,锐角(或直角),090,两个半平面,垂直于棱,1.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，若m，n，则mn.( ) 2.已知a，b是两异面直线，ab，点Pa且Pb，一定存在平面，使P，a且b.( ) 3.平面平面，直线a，直线b，那么直线a与直线b的位置关系一定是垂直.( ) 4.球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径.( ) 5.若m，n在平面内的射影依次是一个点和一条直线，且mn，则n或n.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,类型一平行问题,例1如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB平面ABCD，MAPB，PB2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.,解答,解当点F是PB的中点时，平面AFC平面PMD， 证明如下：如图连接AC和BD交于点O，连接FO， 四边形ABCD是平行四边形， O是BD的中点.OFPD. 又OF平面PMD，PD平面PMD， PFMA，PFMA. 四边形AFPM是平行四边形.,AFPM. 又AF平面PMD，PM平面PMD. AF平面PMD. 又AFOFF，AF平面AFC，OF平面AFC. 平面AFC平面PMD.,反思与感悟(1)证明线线平行的依据 平面几何法(常用的有三角形中位线、平行四边形对边平行)；公理4；线面平行的性质定理；面面平行的性质定理；线面垂直的性质定理. (2)证明线面平行的依据 定义；线面平行的判定定理；面面平行的性质. (3)证明面面平行的依据 定义；面面平行的判定定理；线面垂直的性质；面面平行的传递性.,跟踪训练1如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2 .点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH. (1)证明：GHEF；,证明,证明因为BC平面GEFH，BC平面PBC， 且平面PBC平面GEFHGH， 所以GHBC. 同理可证EFBC， 因此GHEF.,(2)若EB2，求四边形GEFH的面积.,解答,解连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK. 因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC， 同理可得POBD. 又BDACO，且AC，BD平面ABCD， 所以PO平面ABCD. 又因为平面GEFH平面ABCD， 所以平面GEFH必过平面ABCD的一条垂线， 所以PO平行于这条垂线， 且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.,又因为平面PBD平面GEFHGK，PO平面PBD， 所以POGK， 所以GK平面ABCD. 又EF平面ABCD， 所以GKEF，所以GK是梯形GEFH的高. 由AB8，EB2，得EBABKBDB14，,所以GK3，,类型二垂直问题,例2如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点. 证明：(1)CDAE；,证明在四棱锥PABCD中， PA底面ABCD，CD平面ABCD， PACD. ACCD，PAACA，PA，AC平面PAC， CD平面PAC. 而AE平面PAC，CDAE.,证明,(2)PD平面ABE.,证明,证明由PAABBC，ABC60，可得ACPA. E是PC的中点， AEPC. 由(1)知，AECD， 且PCCDC，PC，CD平面PCD， AE平面PCD. 而PD平面PCD， AEPD. PA底面ABCD，AB底面ABCD，,PAAB. 又ABAD且PAADA，PA，AD平面PAD， AB平面PAD，而PD平面PAD， ABPD. 又ABAEA，AB，AE平面ABE， PD平面ABE.,反思与感悟(1)两条异面直线相互垂直的证明方法 定义； 线面垂直的性质. (2)直线和平面垂直的证明方法 线面垂直的判定定理； 面面垂直的性质定理. (3)平面和平面相互垂直的证明方法 定义； 面面垂直的判定定理.,证明,跟踪训练2如图，斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是直角三角形，ACB90，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BCCAAA1. (1)求证：平面ACC1A1平面B1C1CB；,证明设BC的中点为M， 点B1在底面ABC上的射影恰好是点M， B1M平面ABC. AC平面ABC， B1MAC. 又BCAC，B1MBCM，B1M，BC平面B1C1CB， AC平面B1C1CB. 又AC平面ACC1A1， 平面ACC1A1平面B1C1CB.,证明,(2)求证：BC1AB1.,证明连接B1C. AC平面B1C1CB， ACBC1. 在斜三棱柱ABCA1B1C1中， BCCC1. 四边形B1C1CB是菱形， B1CBC1. 又B1CACC， BC1平面ACB1， BC1AB1.,类型三空间角问题,例3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点. (1)求证：平面MNF平面ENF；,证明,证明连接MN， N，F均为所在棱的中点， NF平面A1B1C1D1. 而MN平面A1B1C1D1， NFMN. 又M，E均为所在棱的中点， C1MN和B1NE均为等腰直角三角形. MNC1B1NE45， MNE90，,MNNE，又NENFN， MN平面NEF. 而MN平面MNF， 平面MNF平面ENF.,(2)求二面角MEFN的正切值.,解答,解在平面NEF中，过点N作NGEF于点G，连接MG. 由(1)知MN平面NEF， 又EF平面NEF， MNEF.又MNNGN， EF平面MNG， EFMG. MGN为二面角MEFN的平面角. 设该正方体的棱长为2，,反思与感悟(1)面面垂直的证明要化归为线面垂直的证明，利用垂直关系的相互转化是证明的基本方法； (2)找二面角的平面角的方法有以下两种：作棱的垂面；过一个平面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线.,证明,跟踪训练3如图，在圆锥PO中，已知PO底面O，PO ，O的直径AB2，C是 的中点，D为AC的中点. (1)证明：平面POD平面PAC；,证明连接OC. PO底面O，AC底面O， ACPO. OAOC，D是AC的中点， ACOD. 又ODPOO， AC平面POD. 又AC平面PAC， 平面POD平面PAC.,解答,(2)求二面角BPAC的余弦值.,解在平面POD内，过点O作OHPD于点H. 由(1)知，平面POD平面PAC， 又平面POD平面PACPD， OH平面PAC. 又PA平面PAC， PAOH. 在平面PAO中，过点O作OGPA于点G，连接HG， 则有PA平面OGH， PAHG. 故OGH为二面角BPAC的平面角.,C是 的中点，AB是直径， OCAB. 在RtPOD中， 在RtPOA中，,达标检测,1.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是 A.是棱台 B.是圆台 C.是棱锥 D.不是棱柱,答案,1,2,3,4,5,解析,1,2,3,4,解析图不是由棱锥截来的，所以不是棱台； 图上、下两个面不平行，所以不是圆台； 图是棱锥，图前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以是棱柱，故选C.,5,解析如果m，则m不平行于； 若m，n，则m，n相交，平行或异面， 若，则，相交或平行.,1,2,3,4,解析,答案,5,2.设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个说法： 若m，n，则mn；若，m，则m；若m，n，则mn；若，则. 其中正确说法的序号是 A. B. C. D.,3.正方体的8个顶点中，有4个为每个面都是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为,答案,解析,解析设正方体棱长为a，S正方体表面积6a2，,1,2,3,4,5,1,2,3,4,解析,答案,5,4.水平放置的ABC的直观图如图所示，其中BOCO1，AO ，那么原ABC是一个 A.等边三角形 B.直角三角形 C.三边中只有两边相等的等腰三角形 D.三边互不相等的三角形,1,2,3,4,5,解析由图形，知在原ABC中，AOBC.,BOCO1，BC2，ABAC2， ABC为等边三角形.故选A.,1,2,3,4,证明,5,5.如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点. (1)求证：VB平面MOC； 证明因为O，M分别为AB，VA的中点， 所以OMVB. 又因为VB平面MOC，OM平面MOC， 所以VB平面MOC.,1,2,3,4,证明,5,(2)求证：平面MOC平面VAB. 证明因为ACBC，O为AB的中点， 所以OCAB. 又因为平面VAB平面ABC， 平面VAB平面ABCAB， 且OC平面ABC， 所以OC平面VAB. 又因为OC平面MOC， 所以平面MOC平面VAB.,1.转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为,规律与方法,2.研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决. 另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决.,
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