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第3节空间点、直线、平面之间的位置关系,最新考纲1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.,1.平面的基本性质,(1)公理1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线在此平面内. (2)公理2：过_的三点，有且只有一个平面. (3)公理3：如果两个不重合的平面有_公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.,知 识 梳 理,两点,不在同一条直线上,一个,2.空间点、直线、平面之间的位置关系,3.平行公理(公理4)和等角定理,平行公理：平行于同一条直线的两条直线_. 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_.,4.异面直线所成的角,(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的_叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).,(2)范围：_.,互相平行,相等或互补,锐角(或直角),常用结论与微点提醒,1.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交. 2.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”. 3.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.,诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“”或“”),(1)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线.() (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.() (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.() (4)若直线a不平行于平面，且a，则内的所有直线与a异面.(),解析(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误. (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误. (4)由于a不平行于平面，且a，则a与平面相交，故平面内有与a相交的直线，故错误. 答案(1)(2)(3)(4),2.(必修2P52B1(2)改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(),A.30 B.45C.60 D.90,解析连接B1D1，D1C，则B1D1EF，故D1B1C为所求的角. 又B1D1B1CD1C，D1B1C60. 答案C,3.在下列命题中，不是公理的是() A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线,解析选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的. 答案A,4.(2016山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面 ，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的(),A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,解析由题意知a，b，若a，b相交，则a，b有公共点，从而，有公共点，可得出，相交；反之，若，相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件. 答案A,5.若直线ab，且直线a平面，则直线b与平面的位置关系是_. 答案b与相交或b或b 6.如图所示，平面，两两相交，a，b，c为三条交线，且ab，则a与c的位置关系是_；b与c的位置关系是_.,答案acbc,考点一平面的基本性质及应用,【例1】 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点.求证：,(1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点.,证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点， EFA1B. 又A1BCD1，EFCD1， E，C，D1，F四点共面. (2)EFCD1，EFCD1， CE与D1F必相交，设交点为P， 则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD. 同理P平面ADD1A1. 又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA.CE，D1F，DA三线共点.,规律方法(1)证明线共面或点共面的常用方法 直接法，证明直线平行或相交，从而证明线共面. 纳入平面法，先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内. 辅助平面法，先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合. (2)证明点共线问题的常用方法 基本性质法，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上. 纳入直线法，选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.,(1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？,考点二判断空间两直线的位置关系,【例2】 (1)(一题多解)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是() A.l与l1，l2都不相交 B.l与l1，l2都相交 C.l至多与l1，l2中的一条相交 D.l至少与l1，l2中的一条相交,(2)(2017嘉兴七校联考)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号).,解析(1)法一由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交. 若ll1，ll2，则l1l2，这与l1，l2是异面直线矛盾. 故l至少与l1，l2中的一条相交. 法二如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.,(2)在图中，直线GHMN； 在图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，NGH，因此直线GH与MN异面； 在图中，连接QM，GMHN，因此GH与MN共面； 在图中，G，M，N共面，但H平面GMN，GMN， 因此GH与MN异面. 所以在图中GH与MN异面. 答案(1)D(2),规律方法(1)异面直线的判定方法 反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面. 定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. (2)点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.,【训练2】 (1)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是(),A.MN与CC1垂直B.MN与AC垂直 C.MN与BD平行D.MN与A1B1平行,(2)(2017武汉调研)a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：若aM，bM，则ab或a，b相交或a，b异面；若bM，ab，则aM；若ac，bc，则ab；若aM，bM，则ab.其中正确的为() A. B. C. D.,解析(1)如图，连接C1D， 在C1DB中，MNBD，故C正确； CC1平面ABCD，BD平面ABCD，CC1BD， MNCC1，故A正确； ACBD，MNBD，MNAC，故B正确； A1B1与BD异面，MNBD， MN与A1B1不可能平行，故选项D错误.,(2)对于，当aM，bM时，则a与b平行、相交或异面，为真命题.中，bM，ab，则aM或aM，为假命题.命题中，a与b相交、平行或异面，为假命题.由线面垂直的性质，命题为真命题，所以，为真命题. 答案(1)D(2)A,考点三异面直线所成的角,(2)(2016全国卷)平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为(),(2)根据平面与平面平行的性质，将m，n所成的角转化为平面CB1D1与平面ABCD的交线及平面CB1D1与平面ABB1A1的交线所成的角.设平面CB1D1平面ABCDm1.,平面平面CB1D1，m1m. 又平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1， B1D1m1，B1D1m. 平面ABB1A1平面DCC1D1， 且平面CB1D1平面DCC1D1CD1，同理可证CD1n. 因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角.,答案(1)60(2)A,规律方法(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移. (2)求异面直线所成角的三个步骤 作：通过作平行线，得到相交直线的夹角. 证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角. 求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.,解析法一以B为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系.,图(2),图(1),答案C,
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