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第6节数学归纳法,最新考纲1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.,1.数学归纳法,证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取_时命题成立； (2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当_时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.,知 识 梳 理,第一个值n0(n0N*),nk1,2.数学归纳法的框图表示,常用结论与微点提醒,1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1. 2.推证nk1时一定要用上nk时的假设，否则不是数学归纳法.,诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“”或“”),(1)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223.() (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.() (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.() (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项.(),解析对于(2)，有些命题也可以直接证明；对于(3)，数学归纳法必须用归纳假设；对于(4)，由nk到nk1，有可能增加不止一项. 答案(1)(2)(3)(4),解析三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n3. 答案C,答案D,5.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，当第二步假设n2k1(kN*)命题为真时，进而需证n_时，命题亦真.,解析由于步长为2，所以2k1后一个奇数应为2k1.,答案2k1,6.(2017宁波调研)用数学归纳法证明“当n为正偶数时，xnyn能被xy整除”第一步应验证n_时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成_.,解析因为n为正偶数，故第一个值n2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n2k，故应假设成x2ky2k能被xy整除.,答案2x2ky2k能被xy整除,考点一用数学归纳法证明等式,证明(1)当n1时，,左边右边，所以等式成立.,规律方法(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少. (2)由nk时等式成立，推出nk1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法.,【训练1】 求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*). 证明(1)当n1时，等式左边2，右边2，故等式成立； (2)假设当nk(kN*)时等式成立， 即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)， 那么当nk1时， 左边(k11)(k12)(k1k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2) 2k135(2k1)(2k1)22k1135(2k1)(2k1)， 所以当nk1时等式也成立. 由(1)(2)可知，对所有nN*等式成立.,考点二用数学归纳法证明不等式,【例2】 (2017浙江五校联考)等比数列an的前n项和为Sn.已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0，且b1，b，r均为常数)的图象上. (1)求r的值；,规律方法应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 (1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法. (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法.,考点三归纳猜想证明,规律方法(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性. (2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.,【训练3】 设函数f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的导函数. (1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求gn(x)的表达式； (2)若f(x)ag(x)恒成立，求实数a的取值范围； (3)设nN*，猜想g(1)g(2)g(n)与nf(n)的大小，并加以证明.,
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