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考试要求1.平面的基本性质及其简单应用(证明一些空间图形的位置关系的简单命题)(A级要求)；2.空间点、线、面的位置关系(A级要求).,第45节 空间点、线、面之间的位置关系,1.下列命题中正确的个数为_.,梯形可以确定一个平面； 若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合. 解析中两直线可以平行、相交或异面，中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，正确. 答案2,诊 断 自 测,2.(必修2P23练习2改编)用集合符号表示“点P在直线l外，直线l在平面内”为_.,解析考查点、线、面之间的符号表示. 答案Pl，l,3.(必修2P31习题5改编)下列说法中正确的是_(填序号).,两两相交的三条直线共面； 四条线段首尾相接，所得的图形是平面图形； 平行四边形的四边所在的四条直线共面； 若AB，CD是两条异面直线，则直线AC，BD不一定异面. 解析当三条直线交于一点时有可能不共面；四条线段首尾相接，所得的图形可以构成空间四边形；若AB，CD是两条异面直线，则直线AC，BD一定异面，可反证. 答案,答案4560,5.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，,GH与EF平行； BD与MN为异面直线； GH与MN成60角； DE与MN垂直,以上四个命题中正确命题的序号是_,解析把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角，DEMN.,答案,1.四个公理,公理1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的_. 公理3：经过_的三点，有且只有一个平面. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相_.,知 识 梳 理,两点,一条直线,不在同一条直线上,平行,2.直线与直线的位置关系,(2)异面直线所成的角 定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线aa，bb，把直线a与b所成的_叫做异面直线a，b所成的角.,平行,相交,任何,锐角(或直角),3.直线与平面的位置关系有_、_、_三种情况. 4.平面与平面的位置关系有_、 _两种情况. 5.等角定理 如果一个角的两边和另一个角的_，那么这两个角相等.,直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面平行,平行,相交,两边分别平行并且方向相同,考点一平面基本性质的应用 【例1】 (1)(2016山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的_条件.,E、F、G、H四点共面； 三直线FH、EG、AC共点.,(1)解析若直线a和直线b相交，则平面和平面相交；若平面和平面相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交. 答案充分不必要 (2)证明连接EF，GH，如图所示， E，F分别是AB，AD的中点， EFBD.,GHBD，EFGH， E、F、G、H四点共面. 易知FH与直线AC不平行，但共面， 设FHACM，M平面EFHG，M平面ABC. 又平面EFHG平面ABCEG， MEG，FH、EG、AC共点.,规律方法共面、共线、共点问题的证明 (1)证明点或线共面问题的两种方法：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合. (2)证明点共线问题的两种方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.,(1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？ (1)证明由已知FGGA，FHHD，,四边形BCHG为平行四边形.,四边形BEFG为平行四边形，EFBG. 由(1)知BG綊CH，EFCH，EF与CH共面. 又DFH，C、D、F、E四点共面.,考点二判断空间两直线的位置关系 【例2】 (1)(2015广东改编)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是_(填序号).,l与l1，l2都不相交； l与l1，l2都相交； l至多与l1，l2中的一条相交； l至少与l1，l2中的一条相交.,(2)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是_(填序号).,MN与CC1垂直； MN与AC垂直； MN与BD平行； MN与A1B1平行. (3)在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号).,解析(1)若l与l1，l2都不相交，则ll1，ll2，l1l2，这与l1和l2异面矛盾，l至少与l1，l2中的一条相交.,(2)连接B1C，B1D1，如图所示，则点M是B1C的中点，MN是B1CD1的中位线，MNB1D1，又BDB1D1， MNBD. CC1B1D1，ACB1D1，,MNCC1，MNAC. 又A1B1与B1D1相交，MN与A1B1不平行. (3)图中，直线GHMN； 图中，G、H、N三点共面，但M平面GHN，NGH， 因此直线GH与MN异面； 图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面； 图中，G、M、N共面，但H平面GMN，GMN， 因此GH与MN异面. 所以图中GH与MN异面. 答案(1)(2)(3),规律方法空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决.,【训练2】 (1)已知a，b，c为三条不重合的直线，有下列结论：,AA1MN；A1C1MN； MN平面A1B1C1D1；MN与A1C1是异面直线. 其中正确结论的序号是_(注：把你认为正确结论的序号都填上). 解析(1)在空间中，若ab，ac，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以错，显然成立.,答案(1)1(2),考点三求两条异面直线所成的角 【例3】 (2018南京模拟)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为_.,解析如图，将原图补成正方体ABCDQGHP，连接GP，则GPBD，,所以APG为异面直线AP与BD所成的角，,规律方法用平移法求异面直线所成的角的三步法 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角； (3)三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.,【训练3】 (2018盐城模拟)已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为_.,解析画出正四面体ABCD的直观图，如图所示.,设其棱长为2，取AD的中点F，连接EF， 设EF的中点为O，连接CO， 则EFBD， 则FEC就是异面直线CE与BD所成的角. ABC为等边三角形，则CEAB，,故CECF. 因为OEOF，所以COEF.,
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