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第2节直接证明与间接证明,最新考纲1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程和特点.,1.直接证明,知 识 梳 理,充分,2.间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法. (1)反证法的定义：假设原命题 (即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了 的证明方法. (2)用反证法证明的一般步骤：反设假设命题的结论不成立；归谬根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；结论断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.,不成立,原命题成立,1.思考辨析(在括号内打“”或“”),(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.() (2)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”.() (3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.() (4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.() 解析(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件. (2)应假设“ab”. (3)反证法只否定结论. 答案(1)(2)(3)(4),诊 断 自 测,解析a2aba(ab)，a0，a2ab. 又abb2b(ab)0，abb2， 由得a2abb2. 答案B,解析a2b21a2b20(a21)(b21)0. 答案D,4.用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数.用反证法证明时，下列假设正确的是() A.假设a，b，c都是偶数 B.假设a，b，c都不是偶数 C.假设a，b，c至多有一个偶数 D.假设a，b，c至多有两个偶数 解析“至少有一个”的否定为“都不是”，故B正确. 答案B,5.(选修12P37例3改编)在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则ABC的形状为_.,由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac， a2c22ac0，即(ac)20，ac，,答案等边三角形,考点一综合法的应用,规律方法1.综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性. 2.综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.,(2)a0，3a10，,考点二分析法的应用,【例2】 已知ab0，求证：2a3b32ab2a2b. 证明要证明2a3b32ab2a2b成立， 只需证2a3b32ab2a2b0， 即2a(a2b2)b(a2b2)0， 即(ab)(ab)(2ab)0. ab0，ab0，ab0，2ab0， 从而(ab)(ab)(2ab)0成立， 2a3b32ab2a2b.,规律方法1.逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键. 2.证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.,只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)， 需证c2a2acb2， 又ABC三内角A，B，C成等差数列，故B60， 由余弦定理，得b2c2a22accos 60， 即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立. 于是原等式成立.,考点三反证法的应用,数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.,规律方法1.当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等. 2.用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须否定结论；(2)必须从否定结论进行推理；(3)推导出的矛盾必须是明显的.,【训练3】 (2018郑州一中月考)已知a1a2a3a4100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25. 证明假设a1，a2，a3，a4均不大于25， 即a125，a225，a325，a425， 则a1a2a3a425252525100， 这与已知a1a2a3a4100矛盾，故假设错误. 所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.,
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