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第二章 数列,2.2 等差数列,观察：这些数列有什么共同特点？,(1)第23到第28届奥运会举行的年份依次为 1984,1988,1992,1996,2000,2004 (2)某剧场前10排的座位数分别是： 38,40,42,44,46,48,50,52,54,56 (3)3,0,-3,-6,-9,-12, (4)2,4,6,8,10 (5)1,1,1,1,1,1,从第二项起，第一项与前一项的差都是同一个常数.,等差数列的定义,一般地，如果一个数列an,从第2项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母 d 表示。,定义的符号表示是：an - an-1=d(n2,nN),这就是数列的递推公式。,（1）从0开始，将5的倍数按从小到大的顺序排列，组成的数列为：,（2）在2000年悉尼奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目，该项目共设置了7个级别，其中较轻的4个级别体重（单位：kg），组成数列 : 48，53，58，63.,0，5，10，15，20，25，.,（3）水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放 水清库的办法清理水库中的杂鱼.如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位（单位m）组成的数列为：,18，15.5，13，10.5，8，5.5.,（4）我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本息计算下一期的利息.按照单利计算本利和的公式是：本利和本金(1利率存期）.按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和（单位：元）组成的数列为：,10072，10144，10216，10288，10360.,请你写出这些数列的公差,3、常数列a，a，a，是否为等差数列?若是，则公差是多少?若不是，说明理由,公差d=0,4、数列0，1，0，1，0，1是否为等差数列?若是，则公差是多少?若不是，说明理由,2、若将数列中各项的次序作一次颠倒所得的数列29,22,15,8,1;是否为等差数列？若是，是否与原数列相同?公差是多少?若不是，说明理由,公差d=7,不是,公差d=7,1 、已知数列1, 8, 15, 22, 29；,在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：,（1）2 ，( ) ， 4 （2）-12，( ) ，0,3,-6,如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列， 那么A叫做a与b的等差中项。,等差中项,( 3 ) , ( ) ,通项公式的推导一：,已知等差数列an的首项是a1，公差是d,a2-a1=d,a2=a1+d,a3-a2=d,a3=a2+d,=(a1+d)+d,=a1+2d,a4-a3=d,an+1an=d,a4=a3+d,=(a1+2d)+d,=a1+3d,a5呢?,a9呢?, 由此得到,an=,a1+（n-1）d , nN+,d是常数,通项公式的推导二：,a2-a1=d,a3-a2=d,an-an-1=d,a3-a2=d,+),an-a1=(n-1)d,an=a1+(n-1)d,这个方法我们称之为累加法，或者叠加法。,总之,已知等差数列是的首项为a1，公差为d,则等差数列的通项公式为：,例3:已知等差数列的首项 a1=3 ，公差 d =2，求它的通项公式an。,分析：知道a1,d ,求an ;代入通项公式。,解： a1=3 , d=2 an=a1+(n-1)d,等差数列的通项公式为:an=a1+(n-1)d,=3+(n-1) 2,=2n+1,典例展示,例4: (1) 求等差数列8，5，2，的第20项。,解：,(2) 等差数列 -5，-9，-13，的第几项是 401？,解：,因此，,解得,1. 求等差数列3，7，11，的第4，7，10项；,2. 100是不是等差数列2，9，16，中的项？,3. -20是不是等差数列0，- ，-7中的项；,变式1：,例5：在等差数列中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.,解：由题意可知,这是一个以 和 为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得,即这个等差数列的首项是-，公差是.,1.求基本量a1和d ：根据已知条件列方程，由此解出a1和d ，再代入通项公式。,2.像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称方程思想。这是数学中的常用思想方法之一。,求通项公式的关键步骤：,变式2：(1)求等差数列9，5，1，的第10项；,an = a1+(n-1)d9(n-1)(4)134n.,当n10时，,所以，等差数列an的首项a11，公差d4.,(2)已知等差数列an，an4n3，求首项a1和公差d.,解：(1)由a19，d594，得,a10 =1341027.,(2)由an4n3知,a14131 且 da2a1(423)14,an = a1+(n-1)d 有,变式3：已知等差数列an中，a520， a2035，试求出数列的通项公式.,故数列an的通项公式为 an16(n1)(1)15n.,解：由等差数列的通项公式：,解得：a1=16，d=1,思考：,等差数列,an=a1+(n-1)d,定义:,如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,公差: d=an-an-1 (n2，nN*),通项公式:,等差中项,性质,
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