离散时间信号和离散时间系统.ppt

西北大学信息科学与技术学院 2007年,2.1 离散时间信号序列 2.2 离散时间系统 2.3 系统的稳定性和因果性 2.4 离散时间信号和系统的频域表示 2.5 序列傅里叶变换的对称性质 2.6 连续时间信号的采样 2.7 Z变换 2.8 系统函数 2.9 系统的信号流图,第2章 离散时间信号和离散时间系统,西北大学信息科学与技术学院 2007年,2.1 离散时间信号序列,2.1.1 序列的定义 2.1.2 常用的基本序列 2.1.3 序列的基本运算,西北大学信息科学与技术学院 2007年,2.1.1 序列的定义,信号在数学上定义为一个函数，这个函 数表示一种信息，通常是关于一个物理系统的状态或特性的。信号的函数表示是关于一个或几个独立变量的，关于一个独立变量的信号称为一维信号，关于多个独立变量的信号称为多维信号。在本书中，主要讨论的信号是一维信号x(t), 一般情况下x(t)为随时间变化的信号，简称时间信号或时域信号。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,若t是定义在时间上的连续变量，称x(t)为连续时间信号，也就是模拟信号；若t仅在时间的离散点上取值，称x(t)为离散时间信号或时域离散信号。离散时间信号可以通过对连续时间信号的采样得到,这种情况下把信号记为x(nT) ，T表示的是采样点之间的时间间隔，n是一个整数。 离散时间信号可以表示成下列形式： x(nT) n=0,1,2,3,.,西北大学信息科学与技术学院 2007年,在大多数DSP系统中，x(nT)的存放是按n下标来放置的，不同的x(nT)只要靠n就可区别。因此，将x(nT)表示为x(n)，这是一种数学的抽象。所以一个离散时间信号定义为： x(n) n=0,1,2,3,. x(n)定义在n等于整数点上，在n不等于整数点上，x(n)没有定义，但并不表示信号值为零。从数学的角度看，上面的定义式表示一个序列，因此也把离散时间信号称作离散时间序列，简称序列 。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,序列除了数学表达式外，还常常采用图形方式来表示，如图2.1所示。虽然横坐标画成一条连续的直线，但x(n)仅仅对于整数的n值才有意义。 图2.1 离散时间信号的图形表示,西北大学信息科学与技术学院 2007年,离散时间信号在幅度上定义成连续 的，如果将幅度进行量化，一般为等间隔量化。在时间和幅度上都取离散值的信号称为“数字信号”。因此，离散时间信号并不等于数字信号，但由于数字信号是幅度量化得到的，在数学表示和推导中不如序列形式方便和容易，所以一般都采用离散时间信号来讨论数字信号处理的理论和算法。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,2.1.2 常用的基本序列,1.单位取样序列,(n)的定义简单而精确，是一个真实的物理信号，而(t)采用的是极限定义，是一种纯粹的数学抽象，不表示一种实际的信号。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,2.单位阶跃序列 u(n)可以表示成很多移位的(n)序列之和： u(n)也可以用来表示移位的(n)：,西北大学信息科学与技术学院 2007年,3.实指数序列 其中，a为实常数，它的绝对值一般小于1。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,4.矩形序列,该序列称为矩形序列，也称作“矩形窗”，其中，N称为窗的宽度。 可以用来得到一个有限长(宽)序列，通过下式运算把一个无限长或很长序列变成长度为N点的序列 ， 的图形如下图所示：,西北大学信息科学与技术学院 2007年,5.正弦和余弦序列 正弦序列定义为 余弦序列定义为,其中，A为信号的最大幅度，称为序列的数字频率，如图是一个正弦序列的图形表示。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,若 其中， 是整数, N 为大于零的整数。称 是一个周期为N 点的周期序列，这个周期对应的数字频率为=2/N，下面以余弦序列为例来证明数字频率和周期的关系。 假设余弦序列可以写成 只有当 时，其中 均是正整数，上式才成立，即该余弦序列是一个周期序列，周期等于 ，否则，该余弦序列不是一个周期序列。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,分析 这一条件，可以写成 当上式为整数或有理数时，余弦序列才是周期序列 ，若为无理数，序列就不是周期序列。因此，判断一个正弦或余弦序列是否是周期序列的方法是：用2除以它的数字频率，若得出的是整数或有理数，则序列为周期序列；若得出的是无理数，序列就不是周期序列。但无论序列是否为周期序列，仍把称作序列的数字频率。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,下面来说明模拟频率和数字频率之间的关系。 设模拟余弦信号为 对该 以T为采样间隔进行采样离散,得 将离散后的信号表示成离散余弦序列，即,西北大学信息科学与技术学院 2007年,可知 或 其中， 称为采样频率。该式即为数字频率 和模拟频率，f 之间关系式，它们是依靠采样间隔T 或采样频率进行关联的。 可以得到 整理后可得 上式的意义是 倍采样周期等于 倍信号周期，当 均为整数时，序列的周期是 。,整理后可得,西北大学信息科学与技术学院 2007年,数字频率的特点： （1）是一个连续取值的量； （2）的量纲为一种角度的量纲单位：弧度（rad）。它表示序列在采样间隔T内正弦或余弦信号变化的角度，表示了信号相对变化的快慢程度； （3） 序列对于是以2为周期的，或者说，的独立取值范围为0,2)或-,)。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,6.复指数序列 该序列也称作复正弦序列，由余弦序列作实 部，正弦序列作虚部构成 。称为复指数序列的 数字频率，复指数序列在实际中不存在，它是为 了数学上的表示和分析方便而引入的，它的特性 和正弦或余弦序列的特性基本一致。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,2.1.3 序列的基本运算,1. 序列加减 若 x(n)y(n)=z(n), 则 z(n)=x(n)y(n) 2.序列数乘 若 ax(n)=z(n), 则 z(n)=ax(n) 其中， a是常数。 3.序列移位 若 x(n-n0) =z(n), 则 z(n) = x(n-n0) 其中，n0为整数 4. 序列相乘 若 x(n)y(n) = z(n), 则 z(n)= x(n)y(n),西北大学信息科学与技术学院 2007年,5.序列反转 若 x(-n) = z(n), 则 z(n) = x(-n) 6.序列卷积 若x(n)*y(n) = z(n) 则 其中，符号“*”表示一种特定的运算形式，称作“卷积”。 7. 序列加窗 若 RN(n)x(n) = z(n) 则 z(n) = x(n)RN(n) n = 0,1,2， ，N-1,西北大学信息科学与技术学院 2007年,（n）序列是一种最基本的序列，任何一个序列x(n)可以表示成单位取样序列（n）的移位加权和，如下式所示： 如图，可以表示成,西北大学信息科学与技术学院 2007年,2.2 离散时间系统,2.2.1 系统定义 数字信号处理的任何处理都是依靠系统来完成的,所以系统是数字信号处理的核心，系统一般包括系统硬件和系统所完成的处理算法。 系统在数学上定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一性变换或运算。这种映射是广义的，实际上表示的是一种具体的处理，或是变换，或是滤波。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,系统可以表示为 其中，符号T 表示系统的映射或处理，可以把T 简称为系统。 系统的图形表示如下图所示，输入x(n)称为系统的激励，输出y(n)称为系统的响应。由于它们均为离散时间信号，将系统T 称为离散时间系统或时域离散系统。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,2.2.2 线形离散时间系统 满足叠加原理的系统，或满足齐次性和可加 性的系统称为线性系统。 设y1(n)=Tx1(n)， y2(n)=Tx2(n) 对任意常数a,b，若 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n) =a y1(n)+b y2(n) 则称T 为线性离散时间系统。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,推广到一般情况，设 yk(n) = Txk(n) ， k=1，2，.N 线性系统满足 1kN 线性系统的特点是多个输入的线性组合的系统输出等于各输入单独作用的输出的线性组合。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,例2.1 证明由线性方程表示的系统 是非线性系统。 证明 设 所以，该系统是非线性系统。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,2.2.3 非时变离散时间系统 若满足下列条件，系统称为非时变（非移变）系统，或时不变（移不变）系统。 设 y(n) = Tx(n) 对任意整数k,有 y(n-k)=Tx(n-k) 即系统的映射T 不随时间变化，只要输入x(n)是相同的，无论何时进行激励，输出y（n）总是相同的，这正是系统非时变性的特征。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,下图形象说明了系统非时变性的概念。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,例2.2 设系统的映射 y = Tx(n) = nx(n) ，判断系统的线性和时不变性。 解 设 y1(n) = nx1(n), y2(n) =nx2(n) a1x1(n)+a2x2(n) = x(n) 则 Tx(n) = nx(n) = na1x1(n)+na2x2 = a1y1(n)+ a2y2(n) 所以，系统为线性系统。 设 y(n) = nx(n), x1(n) = x(n-k) y1(n) = nx1(n) = nx(n-k) 而 y(n-k) = (n-k)x(n-k)y1(n) 所以，系统为时变系统。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,2.2.4 线性时不变离散系统 定义 同时具备线性和时不变性的系统称作线 性非时变系统或线性时不变系统。 它的重要意义在于，系统的处理过程可以统一采用这种系统的特征描述之一单位采样响应，以一种相同的运算方式卷积运算，进行统一的表示。 任何一个信号可以表示成单位采样序列的线性组合，即,西北大学信息科学与技术学院 2007年,系统对 的响应为 设系统对单位采样序列 的响应为 ， 即 称为系统的“单位采样响应”，它是描述系统的一个非常重要的信号。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,根据时不变性，有 则系统输出y(n)可表示为 上式表明：当线性非时变系统的单位采样响应h(n)确定时，系统对任何一个输入x(n)的响应y(n)就确定了， y(n)可以表示成x(n)和h(n)之间的一种简单的运算形式。将上式的运算方式称作“离散卷积”，简称“卷积”，采用符号“*”表示，即,西北大学信息科学与技术学院 2007年,2.2.5 离散卷积的计算 卷积的计算一般采用两种方法：解析法和图解法，或是两种方法的结合。 例2.3 设线性时不变系统的单位脉冲响应和输入序列如下图所示，画出输出的波形。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,西北大学信息科学与技术学院 2007年,图2.2 例2.2图解法,西北大学信息科学与技术学院 2007年,（2）采用解析法。 因为 所以 将x(n)的表达式代入上式，得到 两种方法结果一致。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,2.2.6 离散卷积的运算规律 (1) 交换率 h(n)*x(n) = x(n)*h(n) 它的意义可以解释为，如果互换系统的单位采样响应h(n)和输入x(n)，系统的输出保持不变。 (2) 结合率 x(n)*h1(n)*h2(n)=x(n)*h2(n)*h1(n) =x(n)*h2(n)*h1(n) 它的意义可以解释为一种级联系统结构，级联顺序可以交换，或系统级联可以等效为一个系统，输出保持不变。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,(3) 分配率 x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n) = x(n)*h1(n)+ h2(n) 它的意义可以解释为一个并联系统结构，或并联系统可以等效为一个系统，输出保持不变。 (4) 与(n)卷积不变性 x(n)*(n) = x(n) 它的意义可以解释为输入通过一个零相位的全通系统。 (5) 与(n-k)卷积的移位性 x(n)*(n-k) = x(n-k) 它的意义可以解释为输入通过一个线性相位的全通系统。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,2.3 系统的稳定性和因果性,2.3.1 稳定性 稳定系统是有界输入产生有界输出的系统。 若 则 线性时不变离散系统是稳定系统的充要条件：,西北大学信息科学与技术学院 2007年,2.3.2 因果性 若系统 n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而与n时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统。 线性时不变离散系统是因果系统的充要条件：,西北大学信息科学与技术学院 2007年,例2.4 某线性时不变离散系统，其单位采样响 应为 试讨论其是否是因果的、稳定的。 解 讨论因果性: 该系统是非因果系统 讨论稳定性: 当 时系统稳定,当 时系统不稳定。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,结论:因果稳定的线性时不变系统的单位取样响应是因果的,且是绝对可和的,即,