高中数学常见难题

1、 已知正三棱锥SABC的高SO为3，底面边长为6，过A向它所对侧面SBC作垂线，垂足为O，在AO上取一点P，使APPO=8，求经过P点且平行底面的截面的面积分析：本题的关键在于求出过P平行于底的截面到顶点的距离与底面到顶点的距离之比解答：如图1013，因SABC是正三棱锥，所以O是正三角形ABC的中心连结AO延工交BC于D，则D是BC的中点，故BCAD，BCSD，因而BC平面SAD，从而平面ASD平面SBC又AO平面SBC，故SO在平面SAD内，因而O在SD上，于是由设过P作平行于底的平面与SD的交点为O1，则于是故所求截面面积2、 设正三棱锥PABC的高为PO，M为PO的中点，过AM作与棱BC平行的平面，将正三棱锥截成上、下两部分，试求两部分体积之比分析：设过AM且平行BC的平面交平面PBC于EF（EPB，FPC），要求两部分体积之比，只要求VPABC=SPEFSPBC解答：如图1014，过设AM且平行BC的平面与棱PB、PC分别交于E、F则EF/BC连结AO并延长交BC于D，则D为BC的中点，连结PD交EF于G，则因A到平面PEF的距离即为A到平面ABC的距离，所以在PAD中，过O作PD的平行线，交AG于N因为M为PO的中点，故|ON|=|PG|，故，因而，故所求上下两部分体积之比为3、四面体ABCD被平面所截，对棱AB，CD都与平行且与等距，设截得截面四边形的面积为S，对棱AB与CD的距离为h，求这个四面体ABCD的体积分析：利用“等底、等高的两个四面体的体积相等”将四面体添加几个等体积的四面体，构成一个平行六面体来计算解答：过四面体ABCD的各棱分别作与其对棱平行的平面，六个平面相交得一平行六面体AC1BD1A1CB1D（如图1015）此时VABCD等于平行六面体的体积V减去四个彼此等积的三棱锥的体积，这四个三棱锥分别是AA1CD，BB1DC，CC1AB，DD1AB因为这四个三棱锥的底面积为平行六面体底面积的，其高与平行六面体的高相等，故每一个三棱锥的体积等于于是由于AB，CD与截面等距，如图1015可知K，L，M，N分别是AA1，CC1，BB1，DD1的中点，易知，而h就是平面AC1BD1与平面A1CB1D的距离，所以说明：利用“等积”进行割补，是解决多面体体积问题的一个有效方法例1、已知x、yR，求证：证明：这三者可视为如图中AB、BC、CD三条线段的长度显然|AB|BC|CD|AD|=所以评述：二次根式内是一个二次式，常构造图形，利用余弦定理证明同法可证：例3、函数f (x)在0，1上有定义，f (0)= f (1) 如果对于任意不同的x1，x20，1，都有|f (x1)f (x2)|x1x2|求证：对于任意明：不妨设0x1x21（1）若，则命题成立（2）若，根据条件f (0)= f (1)得|f (x2)f(x1)|=|f (1)f (x2)f (x1)f (0)| f (1)f (x2)| f (x1)f (0)|1x2x10=1(x2x1)命题同样得证综上命题成立例5、已知n2，证明：证明：（1）显然是n的增函数（2）思路分析：易猜出时，A、B、C中任两者不等时，证明：我们先假定C是常量，于是AB=C也是常量显然，当A=B时，上式达到最大值因此，只要A、B、C中任意两个不等，表达式sinAsinBsinC就没有达到最大值因而，当时，sinAsinBsinC取到最大值，不等式得证评述：不等式中含有多个变量时，我们往往固定其中部分变量，求其他变量变化时，相应表达式的最值类似可证：ABC中，锐角ABC中，tanAtanBtanC3